微分方程式的建立与求解.ppt

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1、X第第第第 1 1 页页页页微分方程式的建立与求解 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望X第第第第 2 2 页页页页主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法X第第第第 3 3 页页页页一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不

2、随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。X第第第第 4 4 页页页页二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件特性约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与

3、电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。X第第第第 5 5 页页页页三n 阶线性时不变系统的描述 一一个个线线性性系系统统，其其激激励励信信号号 与与响响应应信信号号 之之间间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数

4、决定。X第第第第 6 6 页页页页四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程。列写方程，求解方程。求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解+特解。特解。X第第第第 7 7 页页页页2-2 系统微分方程及其经典解系统微分方程及其经典解任何任何LTI连续时间系统，连续时间系统，n阶一元常系数微分方程一般式为：阶一元常系数微分方程一般式为：全解全解=齐次解齐次解+特解特解通解一般式为：通解一般式为：特征方程为：特征方程为：经典法经典法求解该方程：求解该方程：齐次解齐次解rn(t)是齐次方程的通解：是齐次方程的通解：X第第第第 8 8 页页页页该一

5、元该一元n次方程的次方程的n个特征根为个特征根为：自然频率固有频率讨论通解的形式讨论通解的形式：1 i为互异实根为互异实根：2 1有有k重重根根：其中其中 1为为k重重根，根，j为单根为单根特解的形式特解的形式：根据激励查表：根据激励查表2-1得得rf(t)全解的形式全解的形式：求系数Ci,cjX第第第第 9 9 页页页页例例1：求齐次解：求齐次解：解：解：该微分方程的特征方程为：该微分方程的特征方程为：解得特征根：解得特征根：齐次解为：齐次解为：例例3：求齐次解：求齐次解：解：解：二重根二重根X第第第第 1 10 0 页页页页例：方程为：例：方程为：若激励为：若激励为：求其特解求其特解 rf

6、(t).查表查表2-1得对应的特征解为：得对应的特征解为：代入原微分方程得：代入原微分方程得：等式两边同次幂系数相等：等式两边同次幂系数相等：X第第第第 1 11 1 页页页页例例5：方程为：方程为：求：求：当当时的全解时的全解解：解：特征方程为特征方程为所以齐次解为：所以齐次解为：与例相同：与例相同：所以全解所以全解其一阶导为：其一阶导为：t=0时时 初值代入：初值代入：全解全解:X第第第第 1 12 2 页页页页1 齐次解：其形式与激励齐次解：其形式与激励e(t)无关，仅依赖于系统无关，仅依赖于系统本身特征本身特征自由响应或固有响应自由响应或固有响应，系数，系数ci，cj与激励有关与激励有

7、关2 特解的形式：由激励信号决定特解的形式：由激励信号决定强迫响强迫响应应X第第第第 1 13 3 页页页页齐次解：由特征方程齐次解：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。经典法的例题全全 解：齐次解解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。特解，由初始条件定出齐次解。X第第第第 1 14 4 页页页页 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 初始条件的确定初始条件的确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。