应力张量例题.ppt

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1、应力张量例题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、应力张量不变量及其应用应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？例例 题题一、应力张量不变量及其应用对于对于同理，对于同理，对于结论结论两个应力张量表示同一应力状态。例例 题题 解解 答答一、应力张量不

2、变量及其应用应力张量不变量问题小结应力张量不变量问题小结 1、由应力张量的三个主不变量可、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特确定应力张量状态特征方程征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由此此定义了应力的状态定义了应力的状态。2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应的三个主不变量是否相同来实现。的三个主不变量是否相同来实现。二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算知识要点回顾知识要点回顾1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时的应力称为主应力。本质上与

3、矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准形的问题相同。(主应力就是法应力，不在矩阵主轴上的分量都是切应力。）1、主应力、主应力应力状态特征方程应力状态特征方程（1）齐次线性应力平衡方程组齐次线性应力平衡方程组（2）方向余弦条件方向余弦条件（3）2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算知识要点回顾知识要点回顾2、最大切应力、最大切应力1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值最大的切应力为最大切应力，记为 。取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分

4、面上的切应力为最大切应力计算公式最大切应力计算公式2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。？二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算知识要点回顾知识要点回顾1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。3、八面体应力、八面体应力Q1232）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究一个应力状态有重要作用。二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算八面体平面的方向余

5、弦八面体平面的方向余弦3、八面体应力、八面体应力Q123知识要点回顾知识要点回顾二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算知识要点回顾知识要点回顾3、等效应力、等效应力2）等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的参数。1）取八面体切应力绝对值的 倍所得的参量称为等效应力，也称为广义应力或应力强度，用 表示。等效应力定义式等效应力定义式二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算对于对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为例例 题题1)画出该点的应力单元体；画出该点的应力单元体；2)试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；试用

6、应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；3)求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算例例 题题 解解 答答1)画出该点的应力单元体画出该点的应力单元体Oxyz5-55-5-5二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算2)用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向例例 题题 解解 答答计算应力张量的三个主不变量应力状态特征方程二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算2)用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向例例

7、 题题 解解 答答齐次线性应力齐次线性应力平衡方程组平衡方程组方向余弦条件方向余弦条件代入数据将各主应力代入方程组（将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向）可得对应的主方向解之二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算2)用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向3)最大切应力最大切应力八面体应力八面体应力二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算等效应力等效应力几种重要应力计算问题小几种重要应力计算问题小 结结 要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力的计算方法。面体应力、

8、等效应力的计算方法。三、应变连续方程问题知识要点回顾知识要点回顾小应变几何方程六个应变分量取决六个应变分量取决于三个位移分量？于三个位移分量？这六个分量这六个分量之间应该存之间应该存在某种联系！在某种联系！三、应变连续方程问题知识要点回顾知识要点回顾小应变几何方程(1)式加(2)式三、应变连续方程问题 在每个坐标平面内，两个线应变在每个坐标平面内，两个线应变一经确定，则切应变分量随之被确定一经确定，则切应变分量随之被确定！切应变到线应变切应变到线应变？知识要点回顾知识要点回顾三、应变连续方程问题 在三维空间内三个切应变分量一经在三维空间内三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就被确定确定，则线

9、应变分量也就被确定！知识要点回顾知识要点回顾三、应变连续方程问题设设试问上述应变场在什么情况下成立？试问上述应变场在什么情况下成立？其中其中a、b为常数，为常数，例例 题题例例 题题 解解 答答应变分析问题小应变分析问题小 结结 1、要求掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、要求掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计算方法，由于与应力问题的计算方法相等效应变的计算方法，由于与应力问题的计算方法相似，此处不再重复。似，此处不再重复。2、注意应变连续方程：由位移求应变，连续方程自、注意应变连续方程：由位移求应变，连续方程自动满足；由应变求位移则对边连续方程进行验证。动满足；由应变求

10、位移则对边连续方程进行验证。应力应变分析问题小结1、掌握应力张量与应变张量的三个主不变量的计算，利用主不变量判断、掌握应力张量与应变张量的三个主不变量的计算，利用主不变量判断应力、应变状态的异同；应力、应变状态的异同；2、掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力、掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力的计算方法的计算方法;掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计算方法。算方法。3、掌握应变连续方程。、掌握应变连续方程。第四节 屈服准则Part 4.Yield Criterion本节主要内容

11、Contents1.基本概念 Concepts2.屈雷斯加屈服准则 Tresca yield criterion3.米塞斯屈服准则 Mises yield criterion4.屈服准则的几何描述 Geometrical representation of yield criterion5.屈服准则的实验验证与比较 Tests&comparison of yield criterions6.应变硬化材料的屈服准则 Yield criterions of strain hardening material掌握标准掌握标准 要求熟练掌要求熟练掌握并能应用握并能应用 要求熟练掌握要求熟练掌握 要求了

12、解要求了解一、屈服准则的基本概念1.Concept of yield criterion1.1 材料的屈服与屈服准则1.1 Yield and yield criterion of material材料的屈服材料的屈服材料在外力的作用下由弹性状态进入塑性状态，称为材料在外力的作用下由弹性状态进入塑性状态，称为材料的屈服材料的屈服。屈服准则屈服准则在一定的变形条件下，当各应力分量之间满足一定关在一定的变形条件下，当各应力分量之间满足一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服屈服准则准则，又称为，又称为塑性条件塑性条件。屈服函数屈服函数弹性状态

13、塑性状态 实际变形中不存在 1.2 有关屈服函数的讨论1.2 Discussion on yield function1.3 关于材料性质的基本概念1.3 Concept on material propertiesb b 理想弹塑性理想弹塑性a a 实际金属材料实际金属材料d d 弹塑性硬化弹塑性硬化c c 理想刚塑性理想刚塑性e e 刚塑性硬化刚塑性硬化真实应力真实应力真实应变真实应变有物理屈服点有物理屈服点无明显物理屈服点无明显物理屈服点1 1、实际金属材料在比例极限以下、实际金属材料在比例极限以下2 2、金属在慢速热变形时、金属在慢速热变形时3 3、金属在冷变形时、金属在冷变形时4 4

14、、金属在冷变形屈服平台部分、金属在冷变形屈服平台部分1.4 实际对材料模型的处理1.4 Actual material model 理想弹性材料理想弹性材料理想塑性材料理想塑性材料弹塑性硬化材料弹塑性硬化材料理想塑性理想塑性二、Tresca屈服准则2.Tresca yield criterion屈雷斯加屈服准则2.1 屈雷斯加屈服准则的内容(1864)2.1 Definition of Tresca yield criterion 当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。又称为最大切应力不变条件。材料单向拉伸时的应力材料单向拉伸时的应力 Stress of uniaxial stret

15、ch屈雷斯加屈服准则的数学表达式屈雷斯加屈服准则的数学表达式Mathematical representation of Tresca yield criterion2.2 单向拉伸时的Tresca屈服准则2.2 Tresca yield criterion in uniaxial stretch test如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为2.3 任意应力状态下的Tresca屈服准则2.3 Tresca yield criterion of any stress state屈雷斯加屈服准则可写成屈雷斯加屈服准则可写成2.4 平面变形状态的Tresca屈服准则2.4 Tresca yie

16、ld criterion of plane strain state或者或者三、Mises屈服准则3.Mises yield criterion米塞斯/米席斯屈服准则3.1 Mises屈服准则的内容(1913)3.1 Contents of Mises yield criterion 在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，该点就应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，该点就进入塑性状态。进入塑性状态。单向拉伸单向拉伸 3.2 几种应力状态下的Mises屈服准则3.2 Mises yield criterion o

17、f several stress states纯切应力状态纯切应力状态 MisesMises屈服准则下单向拉伸屈服强度与剪切屈服强度的关系屈服准则下单向拉伸屈服强度与剪切屈服强度的关系Mises屈服准则的等效形式3.3 Mises屈服准则与等效应力3.3 Mises yield criterion and equivalent stress1 1、相同点、相同点 1)1)屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数。屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数。2)2)三个主应力可以任意置换而不影响屈服，拉应力和压应力作用是一样的。三个主应力可以任意置换而不影响

18、屈服，拉应力和压应力作用是一样的。3)3)各表达式都和应力球张量无关。各表达式都和应力球张量无关。2 2、不同点、不同点 屈雷斯加屈服准则屈雷斯加屈服准则未考虑未考虑中间应力中间应力使用不方便使用不方便米塞斯屈服准则米塞斯屈服准则考虑考虑中间应力中间应力使用方便使用方便3.4 Tresca、Mises屈服准则的比较3.4 Comparison of Tresca&Mises Yield Criterion变形体单位体积内的变形体单位体积内的总总弹性变形能弹性变形能19241924年汉基（年汉基（H.HenckyH.Hencky）在一定的变形条件下，当材料的单位体积在一定的变形条件下，当材料的单

19、位体积形状改变形状改变的的弹性变形能弹性变形能达到某一常数时，材料开始屈服。达到某一常数时，材料开始屈服。3.5 Mises屈服准则的物理意义(P109)3.5 Physical meaning of Mieses YC体积变化体积变化引起的单位体积弹性变形能引起的单位体积弹性变形能3.6 形状变化引起的单位体积弹性变形能3.6 Deformation energy per unit volume induced by shape change形状变化引起的单位体积弹性变形能广义胡克定律广义胡克定律Mises屈服准则又称为屈服准则又称为能量准则能量准则或或能量条件能量条件3.7 Mises屈服

20、准则的能量性质3.7 Energy property of Mises yield criterion应力偏张量第二不变量的能量性质应力偏张量第二不变量的能量性质等效应力的能量性质等效应力的能量性质Mises屈服准则的能量性质屈服准则的能量性质形状变化引起的形状变化引起的单位体积弹性变形能单位体积弹性变形能例题p2rtzp一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁厚为t，受内压力p的作用，试求此圆筒产屈服时的内压力p。（设材料单向拉伸时的屈服应力为 ）解：先求各应力分量解：先求各应力分量（在内表面）（在内表面）（在外表面）（在外表面）例题外表面的屈服条件外表面的屈服条件1 1）由）由MisesMise

21、s屈服准则屈服准则例题2 2）由）由TrescaTresca屈服准则屈服准则两种屈服准则所算出气压的大小比较？两种屈服准则所算出气压的大小比较？知识点小结屈服函数根据应力应变曲线对材料的分类屈雷斯加屈服准则米塞斯屈服准则由屈服准则求解简单力学问题的方法屈服准则的几何描述Geometrical representation of yield criterion屈服表面与屈服轨迹Yield surface and yield locus主应力坐标系下应力对等倾线的分解Stress decomposed to isocline in principal stress coordinates在等倾线上

22、分解出了在等倾线上分解出了静水应力静水应力矢量矢量等倾线定义等倾线定义任意应力矢量任意应力矢量在等倾线上的分量在等倾线上的分量应力对等倾线垂面的分解Stress decomposed to orthogonal plane of isocline在等倾线垂面上分解出在等倾线垂面上分解出等效应力等效应力、应力偏量应力偏量由等倾线垂面内应力分量表示的屈服条件Yield conditions represented in the stress component on the orthogonal plane of isoclineMises屈服准则与屈服准则与PM长度的关系长度的关系点屈服点屈服以

23、以OM 为轴心、以为轴心、以为半径的空间曲面为半径的空间曲面Mises屈服表面屈服表面圆圆Tresca屈服准则在主应力空间的几何表述Geometrical representation of Tresca yield criterion in principal stress spaceTresca屈服准则屈服准则两个互相平行平面之间的区域两个互相平行平面之间的区域平面平面和和与直线与直线的距离的距离同理适用于其它两对表面同理适用于其它两对表面在主应力坐标系中的几何意义在主应力坐标系中的几何意义Mises、Tresca屈服表面的关系Relation of Mises yield surface

24、 and Tresca yield surface三对三对Tresca屈服区域的交集是一正六棱柱。屈服区域的交集是一正六棱柱。Tresca正六棱柱的边长正六棱柱的边长Tresca正六棱柱的中心轴线正六棱柱的中心轴线Mises屈服表面的半径屈服表面的半径Mises屈服表面的中心轴线屈服表面的中心轴线Tresca屈服表面内接于屈服表面内接于Mises屈服表面。屈服表面。Mises、Tresca屈服表面的关系屈服表面的关系屈服表面的几何意义Geometrical meaning of yield surface 若主应力空间中一点应力状态矢量的端点位于屈服表面，若主应力空间中一点应力状态矢量的端点位

25、于屈服表面，则该点处于塑性状态；若在屈服表面内部，则处于弹性状则该点处于塑性状态；若在屈服表面内部，则处于弹性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服表面之外。表面之外。两向应力状态下的屈服方程The yield equation at bidirectional stress state椭椭 圆圆内接于椭圆的六边形内接于椭圆的六边形Mises屈服表面屈服表面Tresca屈服表面屈服表面两向应力状态下的屈服轨迹Yield locus at bidirectional stress stateTresca屈服表面Mises屈服表面23

26、10ABCDEFGHIJKI1C1NL两向应力状态下的屈服轨迹 Yield locus at bidirectional stress stateBDHJACEGIKFLP重合点与差别最大点重合点与差别最大点平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹op纯剪切线 平面上的屈服轨迹Yield locus onplane 在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线ON ON 的平面称为的平面称为 平面。平面。平面平面平面上应力状态的特点平面上应力状态的特点屈服轨迹的几何意义Geometrical meaning of yield locus 若两向主应力平面中一点应

27、力状态矢量的端点位于屈服若两向主应力平面中一点应力状态矢量的端点位于屈服轨迹内部，则该点处于弹性状态；若在屈服轨迹上，则处轨迹内部，则该点处于弹性状态；若在屈服轨迹上，则处于塑性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不于塑性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服轨迹之外。能在屈服轨迹之外。两种屈服准则 的实验验证与比较Test on yield criterions罗德(Lode)屈服准则实验1926 Lodes test on yield criterions薄壁圆管拉伸膨胀罗德(Lode)参数Lode parameterTresca准则准则Mises准则准则Lode参数参

28、数罗德(Lode)实验(1926)Lode test钢钢铜铜镍镍1.301.251.201.151.101.051.0012-1.0-0.6-0.20.200.60.40.81.0-0.8-0.4Lode实验资料实验资料(1926)1米塞斯准则米塞斯准则 2屈雷斯加准则屈雷斯加准则泰勒-奎乃屈服准则实验1931 Taylor-Quinney yield criterion test薄壁圆管拉伸扭转Drawing and torsion of thin wall tube泰勒(Taylor)与奎乃(Quinney)实验(1931)Tresca准则准则Mises准则准则Taylor-Quinney

29、实验结果钢铜铝0.10.20.30.40.50.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91.021 Taylor及及Quinney实验资料实验资料(1931)1-Mises准则准则 2-Tresca准则准则关于屈服准则的一般结论General conclusions1)1)多数金属符合多数金属符合MisesMises屈服准则屈服准则2)2)当主应力大小已知时，当主应力大小已知时，TrescaTresca屈服函数是线性的，屈服函数是线性的，使用起来方便。使用起来方便。用修正系数表示中间应力的影响，用修正系数表示中间应力的影响，MisesMises屈服准则可写成屈服准则可写成简记

30、为简记为应力修正系数应力修正系数简化的能量条件简化的能量条件应变硬化材料的屈服准则Yield criterion of strain hardening materials应变硬化材料的屈服准则Yield criterion of strain hardening materials 初始屈服服从上述屈服准则初始屈服服从上述屈服准则 硬化后，屈服准则发生变化（变形过程每一刻都在变化）硬化后，屈服准则发生变化（变形过程每一刻都在变化）其轨迹或表面称为后继屈服表面或后续屈服轨迹。其轨迹或表面称为后继屈服表面或后续屈服轨迹。初始屈服轨迹初始屈服轨迹后继屈服轨迹后继屈服轨迹各向同性应变硬化材料的后继屈

31、服轨迹各向同性应变硬化材料的后继屈服轨迹各向同性硬化，即等各向同性硬化，即等向强化：向强化：1)1)：材料硬化后仍保：材料硬化后仍保持各向同性持各向同性2 2）应变硬化后屈服轨）应变硬化后屈服轨迹的中心位置和形状迹的中心位置和形状不变不变 屈服准则的一般表述屈服准则的一般表述 对于应变硬化材料，应力状态有三种不同的情况：对于应变硬化材料，应力状态有三种不同的情况：加加 载载卸卸 载载中性变载中性变载应变硬化中的加载卸载条件Loading and unloading conditions of strain hardening小结Summery1.Material properties and actual material model2.Tresca and Mises yield criterion3.Geometrical representation of yield criterion4.Lode,Taylor and Quinneys tests on yield criterion5.Yield criterion of strain hardening materials6.Loading and unloading conditions of strain hardening