椭圆各种类型题.doc

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1、-_面积类1、已知椭圆：与正半轴、正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值。 【解析】试题分析：先求顶点坐标，再求直线方程，根据椭圆的参数方程表示 出点的坐标，然后再求点到直线的距离，表示出面积，然后求最值 试题解析：依题意，直线：，即设点的坐标为，则点到直线的距离是 ， 当时， 所以面积的最大值是 考点：椭圆的参数方程、点到直线的距离、三角函数求最值2、设点 A（，0），B（，0），直线 AM、BM 相交于点 M，且它们的斜率之积为. （）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （）若直线 过点F（1，0）且绕 F 旋转， 与圆相交于 P、Q 两点， 与轨迹 C 相交于 R、S 两点

2、，若|PQ|求的面积的最大值和最小值（F为轨迹 C 的左焦点）.【解析】（）设，则化简 轨迹的方程为（）设，的距离， ，将代入轨迹方程并整理得：设，则，-_设，则上递增， 考点：椭圆，根与系数关系，基本不等式，坐标表示3、已知椭圆的右焦点为，上顶点为 B，离心率为，圆与轴交于两点 （）求的值； （）若，过点与圆相切的直线 与的另一交点为，求的面积 【解析】 （）由题意， 得，,则， 得，, 则 （）当时，得在圆 F 上， 直线，则设 由得，又点到直线 的距离， 得的面积考点：椭圆，根与系数关系，坐标表示等，考查了学生的综合化简计算能力 -_4、设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被

3、椭圆截得的线段长为. (1) 求椭圆方程. (2) 过点的直线与椭圆交于不同的两点，当面积最大时，求.【解析】 (1)由题意可得，又，解得，所以椭圆方程为 (2)根据题意可知，直线 的斜率存在，故设直线 的方程为，设，由方程组消去得关于的方程由直线 与椭圆相交于两点，则有，即得 由根与系数的关系得故 又因为原点到直线 的距离， 故的面积令则，所以当且仅当时等号成立， 即时，考点：1.椭圆方程；2.椭圆与直线综合；3.基本不等式.5、已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆 上任意一点，且的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）动圆与椭圆相交于 A、B、C、D 四点，当 为何值时，矩形 ABCD

4、 的面积取得最大值？并求出其最大面积.【解析】（1）因为 P 是椭圆上一点，所以. 在中，由余弦定理得 -_. 因为，当且仅当时等号成立. 因为，所以. 因为的最小值为，所以，解得. 又，所以.所以椭圆 C 的方程为. （2）设，则矩形 ABCD 的面积. 因为，所以. 所以. 因为且，所以当时，取得最大值 24. 此时，. 所以当时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为. 考点：椭圆的定义、余弦定理、二次函数6、已知、分别是椭圆: 的左、右焦点，点在直线上，线段的垂直平分线经过点直线与椭圆交于不同的两点、，且椭圆上存在点，使，其中是坐标原点，是实数 （）求的取值范围； （）当取何值时，的面

5、积最大？最大面积等于多少？ 【答案】（）;（）当时，的面积最大，最大面积为. 【解析】（）设椭圆的半焦距为 ，根据题意得 解方程组得 椭圆的方程为-_ 由，得 根据已知 得关于的方程有两个不相等的实数根. ， 化简得： 设、，则 （1）当时，点、关于原点对称， ，满足题意； （2）当时，点、关于原点不对称，. 由，得 即 在椭圆上， 化简得： ， ， ，即且 综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是 （）当时，此时，、三点在一条直线上，不构成. 为使的面积最大，. . 原点到直线的距离， 的面积 ， . -_， “” 成立，即 当时，的面积最大，最大面积为 考点：直线和椭圆的相关问题，综

6、合考查考生的运算求解能力.7、设椭圆的离心率，是其左右焦点，点是直线（其中）上一点，且直线的倾斜角为. （）求椭圆的方程； （）若 是椭圆上两点，满足，求（为坐标原点）面积的最小值.【解析】（） 则,故 （）当直线的斜率不存在时，可设代入椭圆得 ，此时， , 当直线的斜率存在时，设 代入椭圆得： , 设则 由得： 当时，取等号，又，故的最小值为 . 考点：直线与椭圆的位置关系综合应用.8、已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为的菱形的四个顶点. （I）求椭圆的方程； （II）直线 与椭圆交于， 两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.-_【解析】 (I)因为椭圆的四个

7、顶点恰好是一边长为 2， 一 内角为的菱形的四个顶点, 所以,椭圆的方程为(II)设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜 率， 当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则 所以因为， 所以，当且仅当时，取得最大值为 当直线的斜率不为时,则设的方程为 所以，代入得 到 当, 即方程有两个不同的解 又，所以， 又， 化简得到 代入，得到 又原点到直线的距离为 所以化简得到 因为，所以当时，即时，取得最大值 综上，面积的最大值为考点：直线与圆锥曲线的位置关系9、如图，A,B 是椭圆的两个顶点, ，直线 AB 的斜率为求椭圆的方程；（2）设直线 平行于 AB，与 x,y 轴分别交于点-_M、N，与椭圆

8、相交于 C、D， 证明：的面积等于的面积 【解析】（1）解：依题意， 整理得 解得 所以 椭圆的方程为 （2）证明：由于 /，设直线 的方程为，将其代入，消去， 整理得 设， 所以 证法一：记的面积是，的面积是 由， 则因为 ，所以 ，从而 证法二：记的面积是，的面积是 则 线段的中点重合 因为 ，所以 ， 故线段的中点为 因为 ，所以 线段的中点坐标亦为 从而 考点：1.斜率公式；2.直线与曲线的位置关系；3.韦达定理.-_10、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （）求椭圆的方程； （）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.

9、【解析】（1）抛物线的焦点为， 又椭圆离心率， 所以椭圆的方程为 （2）设点，则，连交轴于点， 由对称性知： 由 得： ， （当且仅当即时取等号） 面积的最大值为. 考点：椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系.11、已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若 (为坐标原点)，求的值； (3)设点关于轴的对称点为 （与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【解析】 (1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为 ， 故 圆与轴交与两点，. 1 分 所以，在椭圆中或，又，所以，或 (舍去，), 于是，椭圆的

10、方程为.(2)设，；直线 与椭圆方程联立, 化简并整理得. ，, ， -_. ，,即得 ，即为定值. (3)，, 直线的方程为 令，则 , 当且仅当即时等 号成立. 故的面积存在最大值 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线 与椭圆位置关系的运用，属于中档题。12、已知两点 F1(-1,0)及 F2(1,0),点 P 在以 F1、F2为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列. （1）求椭圆 C的方程; （2）如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直 线 l 上的两点,且 F1Ml, F2Nl

11、.求四边形 F1MNF2面积 S 的最大值.【解析】 (1)依题意,设椭圆的方程为. 构成等差数列, , . 又,. 椭圆的方程为 (2) 将直线 的方程代入椭圆的方程中, 得由直线 与椭圆仅有一个公共点知,-_, 化简得:设, 当时,设直线 的倾斜角为, 则, , , ,当时,. 当时,四边形是矩形, 所以四边形面积的最大值为 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了椭圆方程，以及直线与椭圆 的位置关系的运用，属于中档题。13、如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点 （1）若点的横坐标为，求直线的斜率； （2）记的面积为，（为原点）

12、的面积为试问：是否存在直线，使得？说明理由【解析】 （）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为 将其代入，整理得 设，-_，所以 故点的横坐标为依题意，得， 解得 （）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直 由（）可得 因为 ，所以 ， 解得 ， 即 因为 ，所以 所以 ， 整理得 因为此方程无解，所以不存在直线，使得 考点：直线与椭圆相交的位置关系 点评：直线与椭圆相交时常联立方程借助于 方程根与系数的关系整理化简，此类题目计算量较大要求学生具有较高的数据 处理能力14、已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为 2 求椭圆的方程； 设为椭圆 上任意一点，以为圆心，

13、为半径作圆，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，求面积的最大值【解析】 因为，且，所以 2 分 所以 4 分 所以椭圆的方程为设点的坐标为，则 因为，所以直线的方程为 由于圆与 有公共点，所以到 的距离小于或等于圆的半径 因为，所以， 即 又因为，所以 解得-_，又， 当时，所以考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关 系，不等式的解法。 点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几 何性质，a,b,c,e 的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次 方程，运用韦达定理，简化解题过程。利用函数观点，建立三角形面积的表达 式，确定其最值。15、已知椭圆的

14、中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （）求椭圆的方程； （）过点的直线 与椭圆相切，直线 与轴交于点，当为何值时的面积有最小值？并求出最小值.【解析】（）设方程为，抛物线的焦点为， 则. 双曲线的离心率 所以，得椭圆 C 的方程为. （）设直线 的方程为，由对称性不妨设 由消得： 依题意，得： 由，令，得，即 当且仅当即时取等号.因为故时，有最小值. 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运 用，属于中档题。-_16、已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点。 （1）求椭圆的方程；（2）若坐标原点到

15、直线 的距离为，求面积的最大值。【解析】（1）由，椭圆的方程为： （2）由已知，联立和，消去，整理可得：，设，则，当且仅当时取等号 显然时，。 考点：本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系17、已知椭圆的离心率为,且过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 A C、BD 过原点 O，若, （i） 求的最值 （ii） 求证：四边形ABCD 的面积为定值；【解析】 (1)由题意，又， 解得,椭圆的标准方程为. -_(2)设直线 AB 的方程为，设 联立，得- =(i) 当 k=0(此时满足式),即直线 AB 平行于 x 轴时，的最小值为-2. 又直线 A

16、B 的斜率不存在时，所以的 最大值为 2. 11 分 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d，则 . 即,四边形 ABCD 的面积为定值 考点：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系 点评：对于直线与圆锥曲线的综 合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解； 而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率 k 表示，然后根据题意将其进行 化简结合表达式的形式选取最值的计算方式. 向量点乘类-_1、在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于 4,设点的轨迹为,直线与交于两点. (1)写出的方程; (2) ，求的值.【解析】 (1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点, 长半轴为 2

17、 的椭圆, 它的短半轴, 故曲线的方程为. (2)证明:设,其坐标满足消去并整理,得 故. 即，而， 于是， 解得考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.2、已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点 C（-1，0）且斜率为的直线 与椭圆相交于不同的两点 ，试问在轴上是否存在点，使是与 无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）椭圆离心率为， ，. 1 分 又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得. 所以. 4 分 椭圆方程为，即. （2）在 x 轴上存在点 M，使是与 K 无关的常数. 证明：假设在 x 轴上存在点 M（m,0）,使是与 k 无关

18、的常数， 直线 L 过点 C（-1，0）且斜率为 K,L 方程为， 由 得. 设，则-_ = = 设常数为 t，则.整理得对任意的 k 恒成立， 解得， 即在 x 轴上存在点 M（）， 使是与 K 无关的常数. 考点：椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量 积。 点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程， 运用韦达定理。求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，建立了 a,bac 的方程组。3、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆 C 相交于A、B 两点. （）求椭圆 C 的方程； （）求的取值范围；【

19、解析】（）由题意知，即 又， 故椭圆的方程为 （）解：由得： 设 A(x1，y1)，B (x2，y2)，则-_ ， 的取值范围是 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方 程4、如图，F1，F2是离心率为的椭圆 C：(ab0)的左、右焦点，直线 ：x将线段 F1F2分成两段，其长度之比为 1 : 3设 A，B 是 C 上的两个动点，线段 AB 的中垂线与 C 交于 P，Q 两点，线段 AB 的中点 M 在直线 l 上 () 求椭圆 C 的方程； () 求的取值范围。【解析】（）设 F2(c，0)，则，所以 c1 因为离心率 e，所以 a 所以椭圆 C 的方程为() 当

20、直线 AB 垂直于 x 轴时，直线 AB 方程为 x，此时 P(，0)、Q(,0)， 当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的斜率为k，M(，m) (m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 得(x1x2)2(y1y2)0， 则14mk0，故 k 此时，直线 PQ 斜率为，PQ 的直线方程为即 联立消去 y，整理得 所以-_， 于是(x11)(x21)y1y2 令t132m2，1t29，则 又 1t29，所以 综上，的取值范围为考点：椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理5、如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点 （1）求椭圆的方程； （2

21、）求的最小值，并求此时圆的方程； （3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点， 求证：为定值。【解析】（1）依题意，得，； 故椭圆的方程为 （2）点与点关于轴对称，设， 不妨设 由于点在椭圆上，所以 （*） 由已知，则， 所以 由于，故当时，取得最小值为 由（*）式，故，-_又点在圆上，代入圆的方程得到 故圆的方程为： (3) 设，则直线的方程为：， 令，得， 同理：， 故（*） 又点与点在椭圆上，故， 代入（*）式，得： 所以为定值 考点：1.椭圆方程；2.配方法求最值.6、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆 C 相交于A

22、、B 两点. （1）求椭圆 C 的方程；（2）求的取值范围；【解析】（）由题意知，即 又， 故椭圆的方程为 （）解：由得： 设,则 ， 的取值范围是 考点：1.椭圆的方程；2.椭圆的离心率；3.直线和椭圆的综合应用；4.向量的数 量积.-_7、已知椭圆,为其右焦点，离心率为. ()求椭圆 C的标准方程； ()若点，问是否存在直线，使 与椭圆交于两点，且若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】（）由题意知：，离心率， 故所求椭圆 C 的标准方程为 （）假设存在这样的直线满足题意，并设 因为， 所以：由，得 根据题意，得， 且， 所以即， 解得，或 当时，（），显然符合题意； 当时，

23、代入，得，解得 综上所述，存在这样的直线 ，其斜率 的取值范围是 考点：椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、一元二次方程根和系数的关 系8、已知椭圆的离心率为，且经过点 ()求椭圆的方程； ()如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合）， 求的值； 当为等腰直角三角形时，求直线的方程-_【解析】 ()因为椭圆经过点，因为，解得， 所以椭圆的方程为()若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与点重合， 不满足题目条件 所以直线的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，把代入椭圆方程得，设，则， 因 为，所以 ， 由知：，如果 为等腰直角三角形，设的中点为，则，且， 若，则，显然满足，此时直线的

24、方程为； 若，则，解得，所以直线的方程为，即或 综上所述：直线的方程为或或 考点：1、求椭圆方程，2、直线与二次曲线的位置关系9、已知椭圆：的离心率为，直线 :与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （）求椭圆的方程； （）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线 过点且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点， 线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围.【解析】（） 直线相切， 椭圆的方程是 -_（）， 动点到定直线 ：的距离等于它到定点的距离， 动点的轨迹是为 准线，为焦点的抛物线 点的轨迹的方程为 （），设、 ， ，化简得 当且仅当即时

25、等号成立 ，又 当即时，故的取值范围是 考点：1.椭圆方程；2.抛物线的定义；3.坐标法的应用.10、已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为. (1) 求椭圆的方程；(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共 线，且，求的取值范围. 【解析】 (1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时， 即取最大值，且. 由得 又为定值， 综上得； 又由，可得，即， 经计算得， 故椭圆方程为. (2) 当直线与中有一条直线垂直于轴时，.当直线斜率存在但不为 0 时，设的方程为：，由消去 可得，代入弦长公式得： ， 同理由消去可得-_， 代入弦长公式得：，

26、 所以 令，则，所以， 由可知，的取值范围是. 考点：(1)椭圆方程；（2）直线与椭圆的位置关系；（3）函数的值域.11、在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆 （）若线段是圆的直径，求椭圆的离心率； （）若圆的圆心在直线上，求椭圆的方程; （）若直线交（）中椭圆于，交轴于，求 的最大值 【解析】（）由椭圆的方程知，点，设 F 的坐标为， 是的直径， 2 分 解得，椭圆离心率 （）过点三点， 圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上，也在 BC 的垂直平分线上， FC 的垂直平分线方程为 的中点为，的垂直平分线方程为 由得，即 在直线上，,。 由得，椭圆的方

27、程为 （）由得 （*） 设，则-_当且仅当,时取等号。此时方程（*）中的 0, 的最大值为 1 考点：直线与椭圆的位置关系 12、在平面直角坐标系中，已知定点 A（2，0）、B（2，0），异于 A、B 两点的动点 P 满足，其中 k1、k2分别表示直线 AP、BP 的斜率 （）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （）若 N 是直线 x=2 上异于点 B 的任意 一点，直线 AN 与（I）中轨迹 E 交予点 Q，设直线 QB 与以 NB 为直径的圆的 一个交点为 M（异于点 B），点 C（1，0），求证：|CM|CN| 为定值。【解析】()设,由得 ,其中, 整理得点的轨迹方程为. ()设点(),

28、 设,则, 从而. 而,直线斜率, 直线与以为直径的圆的另一个交点为,. 方程为,即,过定点 定值 证法一:即三点共线,又是以为直径的圆的切线,由切割线定理可知,为定值. 定值证法二:直线:,直-_线:, 联立得,为定值. 考点：椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系 点评：关于曲线的大题，第一问一 般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时，常用到根 与系数的关系式13、如图，已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，联结，交椭圆于点 （1）当，时，设，求的值； （2）若为常数，探究满足的条件？并说明理由； （3）直接写出为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件【解析】（1）直线，

29、解方程组 ，得 所以 （2）设， 因为三点共线，于是，即 又，即 所以 所以 当时，为常数 （3） “设为椭圆的焦点，为短轴的顶点，当为等腰三角形时，为常数或” 或给出“当时，为常数 或”-_考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运 用，属于中档题。14、已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为、,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点 （）求椭圆的方程； （）设是椭圆（垂直于轴的一条弦，所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交定直线于两点、，求证. 【解析】（） 观察知，是圆的一条切线，切点为， 设为圆心，根据圆的切线性质， 所以， 所以直线的方

30、程为. 线与轴相交于，依题意，所求椭圆的方程为 （） 椭圆方程为，设 则有， 在直线的方程中，令，整理得 同理， ，并将代入得 =-_=. 而=且， 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 点评：本题考查直线与圆锥 曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查数形结合思想，考查学生的运算 能力、分析问题解决问题的能力，难度较大15、已知点 P（4， 4），圆 C：与椭圆 E：有一个公共点 A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线 PF1与圆 C 相切 （）求 m 的值与椭圆 E 的方程；（）设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求的取值范围。【解析】（1）代入点 A(3,1)得 m=1

31、 或 5,得 m=1 2 分 设 PF 斜率为 k，列方程组得：解得：所求椭圆方程为(2)设点 Q考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关 系，平面向量的坐标运算，三角函数辅助角公式。 点评：中档题，求椭圆的标 准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e 的关系。曲线关系问题，往往通-_过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理，简化解题过程。通过向量 的坐标运算，得到三角函数式，应用辅助角公式“化一”后，确定数量积的范 围。16、已知椭圆 （）设椭圆的半焦距，且成等差数列，求椭圆的方程； （）设（1）中的椭圆与直线相交于两点，求的取值范围【解析】（）由已知

32、：，且，解得， 4分 所以椭圆的方程是 （）将代入椭圆方程，得， 化简得，设，则， 所以， 由， 所以的取值范围是. 考点：椭圆方程性质及椭圆与直线的位置关系 点评：椭圆中离心率，当直线与椭圆相交时，常将直线与椭圆方程联立方程组，利 用韦达定理设而不求的方法将所求问题转化为交点坐标表示17、已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. ()求椭圆的方程； ()已知点，设点是椭圆上任一点，求的取值范围.【解析】（1）设椭圆的方程为 由椭圆定义， . 故所求的椭圆方程为. -_（2）设 点在椭圆上， 有最小值；，有最大值，的范围是 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，以 及向

33、量的数量积的运用，属于基础题。 垂直平分线类1、如图，A 点在 x 轴上方，外接圆半径，弦在轴上且轴垂直平分边，(1)求外接圆的标准方程 (2)求过点且以为焦点的椭圆方程【答案】(1) (2) 【解析】本试题主要是考查了圆与直线的位置关系，以及椭圆方程的求解。 （1）因为根据已知可知外接圆半径，那 么可知外接圆的半径，然后得到方程。 （2）根据过点且以为焦点的椭 圆，那么可知椭圆中的长轴长为 20，焦距为 10，因此可知椭圆方程。2、在平面直角坐标系中，椭圆为 （1）若一直线与椭圆交于两不同点，且线段恰以点为中点，求直线的方程； （2）若过点的直线 （非轴）与椭圆相交于两个不同点试问在轴上是否

34、存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由. -_【解析】（1）点在椭圆内部，直线与椭圆必有公共点 设点，由已知，则有 两式相减，得而直线的斜率 为 直线的方程为 （2） 假定存在定点，使恒为定值 由于直线 不可能为轴 于是可设直线 的方程为且设点 将代入得 . 显然， 则若存在定点使为定值（与值无关），则必有 在轴上存在定点，使恒为定值3、如图：已知椭圆是长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中心 O，且. （1）求椭圆的方程； （2）若 AB 上的一点 F 满足求证：CF 平分BCA； （3）对于椭圆上的两点 P、Q，PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴时，是否存

35、在实数，使得【解析】(I) 又AOC 是等腰直角三角形. -_A（2，0），C（1，1）而点 C 在椭圆上， . 所求椭圆方程为 （）证明 C（1，1），则 B（1，1） 又即点 F 分所成的定比为 2. 设 CFx 轴， ACF=FCB=45，即 CF 平分BCA. （）对于椭圆上两点 P、Q，PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴 PC 与 CQ 所在直线关于 x=1 对称，kpC=k，则 kcQ=k， 设 C（1，1），则 PC 的直线 方程 y1=k(x1)y=k(x1)+1 QC 的直线方 y1=k(x1) y=k(x1)+1 将代入得(1+3k2)x26k(k1)x+3k26k1=0

36、C（1，1）在椭圆上，x=1 是方程的一个根， xp1=1 同 理将代入 x2+3y2=4 得 （1+3k2）x26k(k+1)x+3k2+6k1=0 C（1，1）在椭圆上， x=1 是方程的一个根， xQ1= 存在实数 ，使得.4、已知椭圆的离心率为，直线 :与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （I）求椭圆的方程； （II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线 过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直 于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；-_【解析】（） 直线相切， 椭圆 C1 的方程是 （）MP=MF2， 动点 M 到定直线的距离等于它到定点 F1（1，0）的距离， 动点 M

37、的轨迹是 C 为 l1 准线，F2 为焦点的抛物线 点 M 的轨迹 C2 的方程为 5、(本小题满分 14 分) 已知椭圆的两焦点分别为，且椭圆上的点到的最小距离为. （）求椭圆的方程； （）过点作直线交椭圆于两点，设线段的中垂线交轴于，求 m 的取值范 围.【解析】（）由题意可设椭圆为， ，故椭圆的方程为 （）当 的斜率不存在时，线段的中垂线为 轴，； 8 分 当 的斜率存在时，设 的方程为，代入得： ，由得， 设，则， ， 线段的中点为，中垂线方程为，令得. 由，易得. 综上可知，实数 m 的取值范围是. 6、 如图所示，已知圆，为定点，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为曲线

38、 E. （）求曲线的方 程； （）过点作直线 交曲线于两点，设线段的中垂线交轴于点，求实数 m 的取值范围.-_【解析】（）由题意知，. 又， 动点 D 的轨迹是以点为焦点的椭圆，且椭圆的长轴长， 焦距. ， 曲线的方程为 （）当 的斜率不存在时，线段的中垂线为 轴，；当 的斜率存在时，设 的方程为，代入 得： ，由得， 设，则， ， 线段的中点为，中垂线方程为， 令得. 由，易得. 综上可知，实数 m 的取值范围是. 7、已知椭圆 E 的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆 E 上一点到两个焦点距离之和为 4； ，是过点且相互垂直的两条直线，交椭圆 E 于，两点，交椭圆 E 于，两点

39、，的中点分别为， （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）求直线 的斜率的取值范围； （3）求证直线与直线的斜率乘积为定值【解析】（1）设椭圆 E 的方程为， 由得所以所求椭圆 E 的标准方程为（2）由题意知，直线 的斜率存在且不为零，由于，则， 由消去并化简整理，得，根据题意，解得 ，同理可得，即， 有，解得 -_（3）设，那么， 则 ，即，同理可得，即， ，即直线与直线的斜率乘积为定值8、已知椭圆 C:,点 M(2,1). （1）求椭圆 C 的焦点坐标和离心率； （2）求通过 M 点且被这点平分的弦所在的直线方程.【解析】（1）由 得 所以 焦点坐标是离心率 （2）显然直线不与 x 轴垂直，

40、可设此直线方程为，且它与椭圆的交点分别为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 所以：又 ，所以：，直线方程为：9、如图，椭圆 C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点 P(2，1)的距离为不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分 ()求椭圆 C 的方程； () 求ABP 的面积取最大时直线 l 的方程【解析】()由题：； (1) 左焦点(c，0)到点 P(2，1)的距离为： (2) 由(1) (2)可解得：所求椭圆 C的方程为：-_()易得直线 OP 的方程：yx，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0 A，B 在

41、椭圆上， 设直线 AB 的方程为l：y(m0)， 代入椭圆： 显然 m且 m0 由上又有：m， |AB| 点 P(2，1)到直线 l 的距离为： SABPd|AB|，其中m且 m0 利用导数解：令， 则当 m时，有 (SABP)max 此时直线 l 的方程10、已知椭圆的左右焦点为 F1，F2，离心率为,以线段F1 F2为直径的圆的面积为， (1)求椭圆的方程； (2) 设直线 l 过椭圆的右焦点 F2（l 不垂直坐标轴），且与椭圆交于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M（m,0），试求 m 的取值范围.【答案】(1)由离心率为得: = 又由线段 F1 F2 为直径的圆的

42、面 积为得: c2=, c2=1 由, 解得 a=,c=1,b2=1,椭圆方程为 (2) 由题意，F2（1，0），设 l 的方程为 整理，得6 分 因为 l 过椭圆的右焦点， 设， 则-_8 分 令10 分 由于11、已知：椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，e，过 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，AF2、AB、BF2成等差数 列，且AB4。 （I）求椭圆 C 的方程； （II）M、N 是椭画 C 上的两点， 若线段 MN 被直线 x1 平分，证明：线段 MN 的中垂线过定点。【答案】 （）、成等差数列， . ，得，又，所以， 所求的椭圆方程为：. （）设， 由题意

43、知：，. 两式相减得：， ， 所以， 易证，此直线经过定点. 平行线类1、已知 A1，A2，B 是椭圆1（ab0）的顶点（如图），直线 l 与椭圆交于异于顶点的 P，Q 两点，且 lA2B，若椭圆的离心率是，且A2B。 （1）求此椭圆的方程； （2）设直线 A1P 和直线 BQ 的倾-_斜角分别为 ，试判断 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由。 【答案】 【解析】略2、已知椭圆： （）的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点. （i）求点的轨迹的方程； （ii）若为点的轨迹的过点的两条相互垂直的弦，求四边形面积的最小值【答案】（1），. 直线 与圆相切，. 椭圆的方程是. -_（2）（i） 动点到定直线的距离等于它到定点的距离， 动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线 点