数学文化概论精.ppt

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1、数学文化概论数学文化概论第1页，本讲稿共32页第一章第一章 概论概论 第一节第一节 文化与数学文化文化与数学文化第二节第二节 数学的定义及其重要性数学的定义及其重要性第三节第三节 数学的语言及其特点数学的语言及其特点第四节第四节 数学发展简史数学发展简史第2页，本讲稿共32页1.31.3 数学的语言及其特点数学的语言及其特点第3页，本讲稿共32页抽象性抽象性精确性精确性应用的广泛性应用的广泛性 1.3.11.3.1 数学的特点数学的特点第4页，本讲稿共32页v数学的研究对象本身就是抽象的；数学的研究对象本身就是抽象的；v在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃在数学的抽象中只保留量的关系和

2、空间形式而舍弃了其他一切；了其他一切；v数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；程度大大超过了其它学科中的抽象；v核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系。核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系。1 1、抽象性、抽象性有的同学因数学的抽象性而感觉数学枯燥、难学；有的同学因数学的抽象性而感觉数学枯燥、难学；其实，其实，“抽象抽象”是数学的武器，是数学的优势。是数学的武器，是数学的优势。我们应该喜爱我们应该喜爱“抽象抽象”，学会，学会“抽象抽象”的手段。的手段。第5页，本讲稿共32页哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七

3、桥问题一笔画问题一笔画问题一笔画问题一笔画问题岛岛1 1岛岛2 2 A AB BD DC CB BC CA AD D模型模型模型模型地地桥桥边边第6页，本讲稿共32页 数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。数学结论的确定无疑性。汉克尔说：汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。能在旧建筑上增添一层新楼。”作为对照的三个例子：作为对照的三个例子：电子管电路电子管电路 半导体电路半导体电路 集成电路

4、集成电路 托勒密地心说托勒密地心说哥白尼日心说哥白尼日心说开普勒三定律开普勒三定律 高温超导的上界（朱经武）高温超导的上界（朱经武）30K90K120K 240K 30K90K120K 240K2 2、精确性、精确性第7页，本讲稿共32页关于关于“晶体的结构有多少种晶体的结构有多少种”的讨论的讨论 v曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各不相同的结论。了各不相同的结论。v数学家介入以后，运用数学家介入以后，运用“群群”的理论，得到了的理论，得到了明确的答案：晶体的结构只能有明确的答案：晶体的结构只能有230230种。种。v而且，数学家的推理是如此精

5、确，让人信服，而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得之后就不再有人去研究这一问题了，因为使得之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经确定无疑。结论已经确定无疑。第8页，本讲稿共32页9华罗庚：华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。处不在。例子：例子：哈雷彗星的发现；哈雷彗星的发现；海王星的发现；海王星的发现；电磁波的发现。电磁波的发现。3 3、应用的广泛性、应用的广泛性第9页，本讲稿共32页 古古时时人人们们认认为为彗彗星星的的出出现现是是不不祥祥之之兆兆

6、，直直到到1717世世纪纪，英英国国天天文文学学家家哈哈雷雷开开始始计计算算彗彗星星轨轨道道时时，发发现现16821682年年、16071607年年和和15311531年年出出现现的的彗彗星星有有相相似似的的轨轨道道，他他判判断断这这三三颗颗彗彗星星其其实实是是同同一一颗颗彗彗星星，并并预预言言它它将将在在17581758年年底底或或17591759年年初初再再次次出出现现。17591759年年，这这颗颗彗彗星星果果然然出出现现了了。虽虽然然哈哈雷雷已已在在此此前前的的17421742年年逝逝世世，但但为为了了纪纪念念他他，这这颗颗彗彗星星称称为为“哈哈雷雷彗星彗星”。哈哈雷雷彗彗星星的的回回

7、归归周周期期为为7676年年，最最近近一一次次的的回回归归是是在在19861986年年；下下一一次次回回归是在归是在20622062年。年。哈雷彗星的发现哈雷彗星的发现第10页，本讲稿共32页 这个太阳系最远的行星这个太阳系最远的行星（之一之一），是，是18461846年在数学年在数学计算的基础上发现的。天文计算的基础上发现的。天文学家分析了天王星运动的不学家分析了天王星运动的不规律性，推断出这是由其他规律性，推断出这是由其他行星的引力而产生的。勒未行星的引力而产生的。勒未累计算出它应处的位置，观累计算出它应处的位置，观察员在指定位置发现了该行察员在指定位置发现了该行星。星。航海家航海家2 2

8、号拍摄号拍摄,1989.8.,1989.8.海王星的发现海王星的发现第11页，本讲稿共32页 英英国国物物理理学学家家麦麦克克斯斯韦韦概概括括了了由由实实验验建建立立起起来来的的电电磁磁现现象象规规律律，把把这这些些规规律律表表述述为为“方方程程的的形形式式”，用用纯纯粹粹数数学学的的方方法法推推导导出出可可能能存存在在着着电电磁磁波波并并且且这这些些电电磁磁波波应应该该以以光光速速传传播播者者。据据此此，他他提提出出了了光光的的电电磁磁理理论论。此此外外，他他的的结结论论还还推推动动了了人们去寻找纯电起源的电磁波。人们去寻找纯电起源的电磁波。电磁波的发现电磁波的发现 2424年年后后，德德国

9、国物物理理学学家家赫赫兹兹在在振振荡荡放放电电实实验验中中证证实实了了电电磁磁波波的的存存在在，不不久久，意意大大利利的的马马可可尼尼和和俄俄国国人人波波波波夫夫又又在在此此基基础础上上独独立立地地发发明明了了无无线线电电报报。从从此此，电电磁磁波波走进了千家万户。走进了千家万户。第12页，本讲稿共32页 语语言言是是表表达达思思想想的的，是是人人类类相相互互交交流流的的工工具。具。数数学学语语言言则则是是人人们们进进行行数数学学表表达达和和数数学学交流的工具。交流的工具。1.3.21.3.2 自然语言与数学语言自然语言与数学语言第13页，本讲稿共32页v 自然语言是具体的语言，自然语言是具体

10、的语言，数学语言是形式化的语言。数学语言是形式化的语言。中中国国人人说说汉汉语语，美美国国人人说说英英语语，这这些些是是自自然然语语言言；上上海海人人说说上上海海话话，四四川川人人说说四四川川话话，广广东东人人说说广广东话，这些也是自然语言。东话，这些也是自然语言。如如同同生生物物界界有有“濒濒危危物物种种”一一样样，自自然然语语言言中中也也有有“濒濒危危语语言言”。下下面面的的一一个个自自然然段段，摘摘自自新新华华社的一则报道。社的一则报道。国国际际自自然然及及自自然然资资源源保保护护联联盟盟为为衡衡量量濒濒危危物物种种灭灭绝绝的的危危险险程程度度，制制定定了了一一套套国国际际通通用用的的评

11、评判判标标准准。英英国国东东英英吉吉利利亚亚大大学学的的威威廉廉萨萨沙沙兰兰德德教教授授别别出出心心裁裁地地用用这这套套标标准准，对对世世界界上上共共约约68006800种种语语言言进进行行了了分分类类，发发现现其其中中16761676种种有有灭绝的危险。灭绝的危险。第14页，本讲稿共32页这些让我们形象地了解到，自然语言是具体的语言，这些让我们形象地了解到，自然语言是具体的语言，随民族、地域而有所不同。随民族、地域而有所不同。数学语言虽然要以自然语言作为载体，但它是形式数学语言虽然要以自然语言作为载体，但它是形式化的语言，在形式化的方面，不随民族、地域的不化的语言，在形式化的方面，不随民族、

12、地域的不同而不同。数学语言是一种由数学符号、数学术语同而不同。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言构成的科学语言。和经过改造的自然语言构成的科学语言。语言都是用来描述事物的。自然语言可以用来描述事物语言都是用来描述事物的。自然语言可以用来描述事物的各个方面，数学语言则主要用来描述事物的数量关系、的各个方面，数学语言则主要用来描述事物的数量关系、空间形式，以及事物的结构、逻辑关系等等。空间形式，以及事物的结构、逻辑关系等等。第15页，本讲稿共32页例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语

13、言，需重庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言，需要具体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货要具体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少。但如果采用数学语言，只要写出一个多少。但如果采用数学语言，只要写出一个4 4行行6 6列的列的矩阵，每行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉矩阵，每行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉点填上相应的发货数量（比如以吨为单位）。点填上相应的发货数量（比如以吨为单位）。所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言。化的语言。第16页，本讲稿共32页v数学语言使科学精确化。数学语言使科学精确化。以下三

14、段名言是关于这个小标题很好的注释：以下三段名言是关于这个小标题很好的注释：“数学进入一门科学的程度，反映了这门科学成数学进入一门科学的程度，反映了这门科学成熟的程度。熟的程度。”“世界这本大书，是用数学的语言写成的。世界这本大书，是用数学的语言写成的。”“要是没有数学语言，宇宙几乎是不可描述的！要是没有数学语言，宇宙几乎是不可描述的！”第17页，本讲稿共32页事实上，牛顿用数学语言展示了他的三大定律。事实上，牛顿用数学语言展示了他的三大定律。爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论；爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论；数学家用群论的语言解决了晶体分类的问题。数学家用群论的语言解决

15、了晶体分类的问题。经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。物理中的布朗运动成为概率论中的语言。物理中的布朗运动成为概率论中的语言。生物中的遗传基因生物中的遗传基因DNADNA，原来是数学中的双螺旋线。，原来是数学中的双螺旋线。医学上已经出现医学上已经出现“数字化人体数字化人体”的概念和实物。的概念和实物。现在，任何一个科学工作者要使自己的工作精确化，都必现在，任何一个科学工作者要使自己的工作精确化，都必现在，任何一个科学工作者要使自己的工作精确化，都必现在，任何一个科学工作者要使自己的工作精确化，都必须借助于数学语言。须借助于数学语言。须借助于数学语言。

16、须借助于数学语言。第18页，本讲稿共32页v数学语言是人类文明的共同语言数学语言是人类文明的共同语言由于数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界由于数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又采用相同的数学符号，这就使得数学语言各国又采用相同的数学符号，这就使得数学语言成为人类文明的共同语言。成为人类文明的共同语言。例如，对于数学语言例如，对于数学语言 （a+ba+b）2 2 =a =a 2 2+b +b 2 2+2ab +2ab 和和 Sin Sin2 2x+Cosx+Cos2 2x =1x =1 表达的意思，任何一个民族、任何一个地域的人都能明表达的意思，任何一个民族、任何一个地域的人都能明

17、白。白。第19页，本讲稿共32页v数学语言是宇宙文明的共同语言数学语言是宇宙文明的共同语言地地球球上上不不同同地地域域的的人人类类文文明明发发展展到到某某一一阶阶段段时时，都都各各自自独独立立地地发发现现了了“圆圆周周长长与与直直径径的的比比是是一一个个常常数数”，各各自自独独立立地地发发现现了了“直直角角三三角角形形斜斜边边的的平方等于两条直角边的平方和平方等于两条直角边的平方和”。地地球球文文明明如如此此，宇宇宙宙文文明明也也一一定定如如此此；于于是是自自然然地地想到，数学语言能够成为宇宙文明的共同语言。想到，数学语言能够成为宇宙文明的共同语言。第20页，本讲稿共32页上上个个世世纪纪70

18、70年年代代，美美国国曾曾经经发发射射过过一一艘艘宇宇宙宙飞飞船船，目目的的是是与与可可能能存存在在的的“外外星星人人”取取得得联联系系。为为了了让让星星外外文文明明了了解解地地球球文文明明，这这艘艘宇宇宙宙飞飞船船带带去去了了地地球球上上山山川川、河河流流、白白云云、海海洋洋的的照照片片，地地球球上上各各种种动动物物、植植物物、微生物的照片，以及各种微生物的照片，以及各种年年龄龄、性性别别、民民族族的的人人类类照照片片；还还带带去去了了地地球球上上的的许许多多声声音音，如如狂狂风风暴暴雨雨的的声声音音、森森林林中中的的鸟鸟鸣鸣声声、大大海海的的浪浪涛涛声声，以以及及不不同同民民族族的的人人类

19、类叫叫“妈妈妈妈”的的声声音音；同同时时还还带带去去了了刻刻有有右右边边图图形形的的黄黄金金制制作作（以防锈蚀损毁）的图板。（以防锈蚀损毁）的图板。第21页，本讲稿共32页v明晰明晰 这这含含有有两两个个方方面面的的意意思思，一一是是数数学学语语言言是是明确的，一是数学语言是有条理的。明确的，一是数学语言是有条理的。数学语言是精确的，是从不含糊的。数学语言是精确的，是从不含糊的。“大于大于”与与“大于等于大于等于”的涵义，是明确不同的；的涵义，是明确不同的；“都都属属于于集集合合A”A”与与“有有的的属属于于集集合合A”A”也也是是明明确不同的；确不同的；“存存在在左左极极限限”与与“存存在在

20、极极限限”也也是是明明确确不不同的。同的。1.3.31.3.3 数学语言的特点数学语言的特点第22页，本讲稿共32页数学语言又是有条理的。数学语言又是有条理的。数学语言又是有条理的。数学语言又是有条理的。v一段话的叙述中，先说哪个层次，后说哪个层次，是一段话的叙述中，先说哪个层次，后说哪个层次，是有讲究的；有讲究的；v一个层次中，先说哪句话，后说哪句话，也是有一个层次中，先说哪句话，后说哪句话，也是有讲究的。讲究的。v数学语言中必须有数学语言中必须有“因因”有有“果果”，“因因”“”“果果”分明，不能把分明，不能把“因因”说成说成“果果”，也不能把此，也不能把此“因因”说成彼说成彼“因因”。第

21、23页，本讲稿共32页v严谨严谨 严谨，是指逻辑推理的严格和谨慎。它是数学的特严谨，是指逻辑推理的严格和谨慎。它是数学的特点之一，也是数学语言的特点之一。点之一，也是数学语言的特点之一。首先是定理的叙述是严谨的。首先是定理的叙述是严谨的。首先是定理的叙述是严谨的。首先是定理的叙述是严谨的。例如算术基本定理叙述为：任一个大于例如算术基本定理叙述为：任一个大于1 1的自然数，都的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。计次序的话，表法是唯一的。这里，这里，“大于大于1”1”的条件不可少，少了就欠严谨

22、；的条件不可少，少了就欠严谨；“有限个有限个”三字不可少，少了就欠严谨；三字不可少，少了就欠严谨；“（可以重复）（可以重复）”的注解也不可少，少了就欠严谨；的注解也不可少，少了就欠严谨；“如果不计次序如果不计次序”的假设也不可少，少了就欠严谨。的假设也不可少，少了就欠严谨。第24页，本讲稿共32页其次是推理的过程是严谨的。其次是推理的过程是严谨的。其次是推理的过程是严谨的。其次是推理的过程是严谨的。推理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是什么，推理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是什么，也应该表达充分。也应该表达充分。许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该注意许多数学教师在教学中强

23、调，学生推理时应该注意“步骤完整，理由充足步骤完整，理由充足步骤完整，理由充足步骤完整，理由充足”八个字，是击中要害的。八个字，是击中要害的。例如，一个推理本来应该由六步完成，你只写出例如，一个推理本来应该由六步完成，你只写出了五步，缺一步，就欠严谨；了五步，缺一步，就欠严谨；某一步本来应该依据三个理由，你只写出了两个某一步本来应该依据三个理由，你只写出了两个理由，缺一个，就欠严谨。理由，缺一个，就欠严谨。如果某位学生有语言上的这种不严谨，其实是反如果某位学生有语言上的这种不严谨，其实是反映了他思维上的不严谨。映了他思维上的不严谨。第25页，本讲稿共32页v简洁简洁 数学语言要求简单干净。数学

24、语言和自然语言不同。数学语言要求简单干净。数学语言和自然语言不同。自然语言允许同义反复，为了描述某一事物的美，往往自然语言允许同义反复，为了描述某一事物的美，往往用一大串意义相近的词汇或并列的语句；为了形容一个用一大串意义相近的词汇或并列的语句；为了形容一个人的聪明智慧，也常常用一大串意义相近的词汇或并列人的聪明智慧，也常常用一大串意义相近的词汇或并列的语句。的语句。但数学语言则要求用词最少、不允许同义反复。但数学语言则要求用词最少、不允许同义反复。在数学表达中，当一个语句被另一些语句蕴含着在数学表达中，当一个语句被另一些语句蕴含着的时候，它就是多余的，一定要去掉这个语句。的时候，它就是多余的

25、，一定要去掉这个语句。如果可以用三句话把意思表达清楚，就最好不要如果可以用三句话把意思表达清楚，就最好不要用四句话。用四句话。如果可以有甲、乙两种方式叙述同一个意思，那如果可以有甲、乙两种方式叙述同一个意思，那么就最好选择用语较少的那种方式。么就最好选择用语较少的那种方式。第26页，本讲稿共32页v规范规范 自然语言当然也有约定俗成的规范性；而数学语自然语言当然也有约定俗成的规范性；而数学语言则更加鲜明地表现出言则更加鲜明地表现出“规范规范”的特点。的特点。一句话说出来，不能有任何歧义。一句话说出来，不能有任何歧义。一个词作为一个概念被定义以后，这个定义一个词作为一个概念被定义以后，这个定义就

26、要随着这个词贯彻始终，不能再有任何改就要随着这个词贯彻始终，不能再有任何改变。变。第27页，本讲稿共32页一一些些数数学学语语言言中中常常用用的的词词语语，都都有有其其特特定定的的涵涵义义，长长期期以以来来形形成了规范。成了规范。例例如如“任任一一个个”，“有有一一个个”，“没没有有”表表达达的是三种不同的意思；的是三种不同的意思；“最最多多”、“至至少少”、“全全都都”表表达达的的也也是是三三种不同的意思；种不同的意思；“必必定定”，“可可能能”、“不不可可能能”表表达达的的也也是是三种不同的意思；三种不同的意思；“开开区区间间”、“闭闭区区间间”、“左左开开右右闭闭的的区区间间”表达的也是

27、三种不同的意思。表达的也是三种不同的意思。再再例例如如，“包包含含”是是用用来来说说明明两两个个集集合合之之间间的的关关系系，“属属于于”是是用用来来说说明明元元素素与与集集合合之之间间的的关系，关系，“包含包含”与与“属于属于”不能混用。不能混用。第28页，本讲稿共32页“”“”语语言言、集集合合论论语语言言、公公理理化化语语言言都都是是在在不不同同历历史史时时期期产产生生的的数数学学语语言言，他他们们在在数数学学发发展展史史上上都都发发挥了很大的作用。挥了很大的作用。特特别别是是集集合合论论语语言言、公公理理化化语语言言，现现在在已已经经成成为为数数学语言的核心部分和公用形式，尤其值得重视

28、。学语言的核心部分和公用形式，尤其值得重视。第29页，本讲稿共32页语语言言是是思思维维的的反反映映。数数学学语语言言的的发发展展反反映映了了人人类类理理性性思思维维的的发发展展，它它也也是是数数学学对对人人类类文文明明的的重大贡献之一。重大贡献之一。作作为为一一个个大大学学生生，不不但但应应该该重重视视数数学学知知识识、数数学学方方法法、数数学学思思想想的的学学习习，同同时时也也应应该该重重视视数数学学语语言的学习和训练。言的学习和训练。现现在在的的大大学学生生，在在作作业业中中习习惯惯性性地地写写出出“等等号号成成立立”、“问问题题得得证证”等等词词语语的的大大有有人人在在；其其实实，相相

29、应应的的规规范范数数学学语语言言应应该该是是“等等式式成成立立”和和“命命题得证题得证”。第30页，本讲稿共32页语言的功夫，依赖仔细的推敲及反复的训练。语言的功夫，依赖仔细的推敲及反复的训练。数数学学语语言言的的训训练练，包包括括口口头头表表达达和和书书面面表表达达两两种种形形式式，希望大家自觉地加强训练数学语言的意识。希望大家自觉地加强训练数学语言的意识。口口头头表表达达的的训训练练，可可以以通通过过同同学学间间讨讨论论问问题题、课课堂堂发发言言、课堂报告来进行；课堂报告来进行；书书面面表表达达的的训训练练，主主要要通通过过认认真真完完成成数数学学作作业业来来进进行，也可以通过撰写读书报告和撰写小论文来进行。行，也可以通过撰写读书报告和撰写小论文来进行。善善于于熟熟练练地地用用明明晰晰、严严谨谨、简简洁洁、规规范范的的数数学学语语言言进进行行正正确确的的口口头头表表达达和和书书面面表表达达，是是数数学学能能力力的的重重要要方面，也是数学素养的重要方面。方面，也是数学素养的重要方面。第31页，本讲稿共32页第32页，本讲稿共32页