机械振动精.ppt

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1、机械振动第1页，本讲稿共61页 振振动动是是自自然然界界中中最最普普遍遍的的一一种种运运动动形形式式。物物体体在在平平衡衡位位置置附附近近做做往往复复的的周周期期性性运运动动，称称为为机机械械振振动动。电电流流、电电压压、电电场场强强度度和和磁磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。一一般般地地说说，任任何何一一个个物物理理量量的的值值不不断断地地经经过过极极大大值值和和极极小小值值而而变变化的现象，称为振动。化的现象，称为振动。虽虽然然各各种种振振动动的的具具体体物物理理机机制制可可能能不不同同，但但是是作作为为振

2、振动动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。这种运动的形式，它们却具有共同的特征。本本章章主主要要讨讨论论简简谐谐振振动动和和振振动动的的合合成成，并并简简要要介介绍绍阻阻尼尼振振动动、受受迫振动和共振现象以及非线性振动。迫振动和共振现象以及非线性振动。第2页，本讲稿共61页简谐振动：简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移位移 x（或角位移或角位移）随时间）随时间 t 按余弦（或正弦）规律变化的按余弦（或正弦）规律变化的振动。振动。简谐振动的运动学定义简谐振动的运动学定义x 可以是位移、电流、场强、温度可以是位移、电流、场强、温度4.

3、1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征第3页，本讲稿共61页一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧振子：弹簧弹簧 物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧 质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体 可看作质点可看作质点 简谐振动的判据简谐振动的判据受力受力微分方程微分方程令令 第4页，本讲稿共61页单摆单摆结论：结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。当当 时时二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似摆球对摆球对C点的力矩点的力矩令令 角频率，振动的周期分别为

4、：角频率，振动的周期分别为：第5页，本讲稿共61页复摆：复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当当 时时令令 角频率，振动的周期分别为：角频率，振动的周期分别为：例例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）第6页，本讲稿共61页其通解为：其通解为：一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程令令 4.2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学第7页，本讲稿共61页二

5、、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量1 1、振幅、振幅 A 简简谐谐振振动动物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的最最大大位位移移（或角位移）的绝对值。（或角位移）的绝对值。若已知初始条件若已知初始条件 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定第8页，本讲稿共61页频率频率：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期、频率、圆频率频率、圆频率对弹簧振子对弹簧振子角频率角频率 固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期周期T：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。第9页，本讲稿共61页2、周期周期、频率、圆频率频率、圆

6、频率对弹簧振子对弹簧振子固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率单摆单摆复摆复摆第10页，本讲稿共61页0 是是 t=0 时刻的位相时刻的位相 初位相初位相3、位相和初位相位相和初位相 位相，位相，决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定第11页，本讲稿共61页位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。当当=2k,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相当当 =(2k+1),k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相2 超前于超前于1 或或 1 滞后于滞后于 2 位相差反

7、映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 第12页，本讲稿共61页三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法0t=0 x t+0t=tox第13页，本讲稿共61页旋转矢量旋转矢量 确确定定 和研究振动合成很方便和研究振动合成很方便xv0 00 x0A/2例如，已知例如，已知x参考圆参考圆(circle of reference)0AA 0t+ox tt=0 x=A cos(t+)则由左图给出则由左图给出第14页，本讲稿共61页用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系同相同相反相反相第15页，本讲稿共61页谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振

8、动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vxT/4T/4第16页，本讲稿共61页由图可见：由图可见：x t+o第17页，本讲稿共61页例：例：如图如图m=210-2kg，弹簧的静止形变为，弹簧的静止形变为 l=9.8cm，取平衡，取平衡位置为坐标原点。位置为坐标原点。t=0时，时，x0=-9.8cm,v0=0（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点，写出振动方程并计算频率。写出振动方程并计算频率。xOmx解：解：平衡位置处平衡位置处 作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为在坐标为在坐标为

9、x处处,受力为受力为第18页，本讲稿共61页例：例：如图如图m=210-2kg，弹簧的静止形变为，弹簧的静止形变为 l=9.8cm，取平衡，取平衡位置为坐标原点。位置为坐标原点。t=0时，时，x0=-9.8cm,v0=0（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点，写出振动方程并计算频率。写出振动方程并计算频率。xOmx由初条件得由初条件得由由 x0=Acos0=-0.098 0 cos0 0 x0=Acos0=0,cos0=0，0=/2,3/2 v0=-Asin 0 ,sin 0 0,取取0=3/2对

10、同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点0不同，但不同，但、A不变不变固有频率固有频率第20页，本讲稿共61页例：例：如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、一半轻弹簧、一半径为径为R、转动惯量为转动惯量为I的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物体所组成。物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期动，并求其周期T.mm解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平衡在平衡位置时，设弹簧伸长量为位置时，设弹簧伸长量为 l，则则第21页，本讲稿共61页m

11、m当当m有位移有位移x时时联立得联立得物体作简谐振动物体作简谐振动第22页，本讲稿共61页例：例：已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线速度与时间的关系曲线如图所示，试如图所示，试求其振动方程。求其振动方程。解：设振动方程为解：设振动方程为第23页，本讲稿共61页故振动方程为故振动方程为第24页，本讲稿共61页以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数4.3 简谐振动的能量简谐

12、振动的能量第25页，本讲稿共61页动动能能势势能能情况同动能情况同动能机械能机械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒第26页，本讲稿共61页由起始能量求振幅由起始能量求振幅xtTEoEtEk(1/2)kA2Ep第27页，本讲稿共61页实际振动系统实际振动系统 系统沿系统沿x轴振动，势能函数为轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在极小，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开附近将势能函数作级数展开微振动系统一般可以当作谐振动处理微振动系统一般可以当作谐振动处理第28页，本讲稿共61

13、页一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动，其频率仍为合振动是简谐振动，其频率仍为合振动合振动:4.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 *振动的频谱分析振动的频谱分析第29页，本讲稿共61页用旋转矢量法讨论用旋转矢量法讨论第30页，本讲稿共61页如如 A1=A2,则则 A=0两分振动相互加强两分振动相互加强两分振动相互减弱两分振动相互减弱讨论讨论若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相:第31页，本讲稿共61页合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中随随t 缓变缓变随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的准简谐振动合振动可看作振幅缓变的准

14、简谐振动二二、同方向不同频率简谐振动的合成、同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动合振动合振动当当21时时,第32页，本讲稿共61页拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数xt tx2t tx1t t第33页，本讲稿共61页*三、振动的频谱分析三、振动的频谱分析振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为则各分振动的频率为:0、20、

15、30(基频基频,二次谐频二次谐频,三次谐频三次谐频,),)按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开第34页，本讲稿共61页方方波波的的分分解解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0第35页，本讲稿共61页xo ot t锯齿波锯齿波A0 03 30 05 50 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图 一一个个非非周周期期性性振振动动可可分分解解为为无无限限多多个个频频率率连连续续变变化化的的简简谐振动。谐振动。xo ot t阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o oA第36页，本讲稿共61页*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成质点合振

16、动的质点合振动的轨迹方程：轨迹方程：分振动分振动第37页，本讲稿共61页合振动的轨迹为通过原点且在第合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移第38页，本讲稿共61页合振动的轨迹为通过原点且在第合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移第39页，本讲稿共61页合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴轴为轴线的椭圆线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。第40页，本讲稿共61页合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴

17、和y轴为轴为轴线的椭圆轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。第41页，本讲稿共61页 =5/4 =3/2 =7/4 =0 =/2 =3/4Q =/4P .时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。第42页，本讲稿共61页*五、五、垂直方向不同频率垂直方向不同频率 可可看看作作两两频频率率相相等等而而 随随t 缓缓慢慢变变化化，合合运运动动轨轨迹迹将按上页图依次缓慢变化。将按上页图依次缓慢变化。yxA1A2o o-A2-A1两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小为整数比为整数比合成轨迹为稳定的闭合曲线合成轨迹为稳定的闭合

18、曲线 李萨如图李萨如图例如右图：例如右图：第43页，本讲稿共61页x y2 13 13 2x=0：y=0 y x0第44页，本讲稿共61页一、阻尼振动一、阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。周围辐射出去。4.5 4.5 阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动受迫振动

19、受迫振动 共振共振共振共振第45页，本讲稿共61页阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子动力学方程振子受阻力振子受阻力系统固有角频率系统固有角频率阻尼系数阻尼系数 弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数其解分三种情形其解分三种情形第46页，本讲稿共61页弱阻尼弱阻尼1、弱阻尼、弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。接近于谐振动

20、。阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期第47页，本讲稿共61页2、临界阻尼、临界阻尼临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来平衡位置并停下来过阻尼过阻尼3、过阻尼、过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置地回到平衡位置第48页，本讲稿共61页二、受迫振动二、受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动振动系统在周期性外力作用下的振动弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令令周期性外力周期性

21、外力策动力策动力该方程的解为该方程的解为第49页，本讲稿共61页稳定解稳定解(1)频率频率:等于策动力的频率等于策动力的频率(2)振幅振幅:(3)初相初相:特点：特点：稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动第50页，本讲稿共61页三、三、共振共振在一定条件下在一定条件下,振幅出现极大值振幅出现极大值,振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1、位移共振、位移共振(1)共振频率共振频率:(2)共振振幅共振振幅:第51页，本讲稿共61页2、速度共振、速度共振一定条件下一定条件下,速度振幅极大的现象。速度振幅极大的现象。速速度度共共振振时时，

22、速速度度与与策策动动力力同同相相，一一周周期期内内策策动动力力总总作作正正功功，此此时时向向系统输入的能量最大。系统输入的能量最大。第52页，本讲稿共61页不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。1、内在的非线性因素、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：发生非线性振动的原因：振动系统内部出现非线性回复力振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数，振动系统的参量不能保持常数，如漏摆、荡秋千。如漏摆、荡秋千。一、非线性振动概述一、非线性振动概述单摆（或复摆）的单摆（或复摆）的回复力矩回复力矩自激振动自激振动*4.6 非线性振动简介非线性

23、振动简介第53页，本讲稿共61页2、外在的非线性影响、外在的非线性影响非线性阻尼的影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函数策动力为位移或速度的非线性函数如如如如线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动满足叠加原理线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理第54页，本讲稿共61页近似简化、图解、计算机处理近似简化、图解、计算机处理研究方法：研究方法：微扰法微扰法二、非线性振动研究的方法及意义二、非线性振动研究的方法及意义相平面法相平面法第55页，本讲稿共61页7.4 非谐振动的傅氏分解非谐振动的傅氏分解 频谱频谱任何一个周期性复

24、杂振动都可分解为一系列任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列 谐振动的叠加谐振动的叠加例如例如:方波：方波：（基频为（基频为v0）由傅里叶理论，有由傅里叶理论，有x(t)结论：结论：1.1.方波可分解为方波可分解为 v0，3 v0，5 v0 等等 谐振动的叠加。谐振动的叠加。2.2.谐频次数越高的项振幅越小。谐频次数越高的项振幅越小。Avv03v0 5v0方波频谱图方波频谱图7v0OO第56页，本讲稿共61页方方波波的的分分解解图图v03v05v0（基频为（基频为v0）x1+x3+x5方方 波波OOOOO第57页，本讲稿共61页北京大钟寺内的巨钟的频谱图北京大钟寺内的巨钟的频谱图0100200

25、300400500v(Hz)第58页，本讲稿共61页7.5 两个自由度系统自由振动简介两个自由度系统自由振动简介一一.多自由度振动系统多自由度振动系统(三自由度振动系统三自由度振动系统)二二.两自由度振动系统两自由度振动系统两摆的运动微分方程为两摆的运动微分方程为其特解为其特解为（1）（2）(二自由度振动系统二自由度振动系统)第59页，本讲稿共61页由由(1)、(2)两式决定的特解表示两摆以相同的频率两式决定的特解表示两摆以相同的频率 作作简谐振动的情况，振幅分别为简谐振动的情况，振幅分别为A1、A2。将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率：将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率：1、2分别为第一和第二简正分别为第一和第二简正频率频率第60页，本讲稿共61页结论：结论：(1)当两摆以相同的频率当两摆以相同的频率 1振动时，振振动时，振幅相等、相位相同，如图所示。幅相等、相位相同，如图所示。(2)当两摆以相同的频率当两摆以相同的频率 2 振动时，振振动时，振幅相等、相位相反，如图所示。幅相等、相位相反，如图所示。(3)一般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加，即一般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加，即第61页，本讲稿共61页