近世代数 (2)优秀课件.ppt

《近世代数 (2)优秀课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《近世代数 (2)优秀课件.ppt（17页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、近世代数1第1页，本讲稿共17页第三章第三章 环与域环与域2第2页，本讲稿共17页除环与域n定义1 环R中全体非零元若成为一个乘群，则R称为除环交换的除环称为域。n例1.有理数域Q，实数域R，复数域C。2.Q(i)=a+bia,bQ 是一个域。3.p是一个素数,模p剩余类环Zp是一个有限域。n定义2 H=a+bi+cj+dka,b,c,dR；i2=j2=k2=1，ij=ji=k，jk=kj=i，ki=ik=j 成为一个除环，称之为Hamilton四元数除环。这是一个不交换的除环。3第3页，本讲稿共17页无零因子环的特征n定理3.4.1 无零因子环R的非零元在加群中有相同的阶。(1)如果每非零元

2、阶无限，则称R的特征为零，记为Char R=0；(2)如果每非零之阶有限，则阶必为素数p，这时称R的特征为p，记为Char R=p。n证 若0a,bR,使每na 0,则nb 0,(若nb=0,则(na)b=0,但b 0,故na=0,矛盾),得(1).若na=0,n=st,则(sa)(ta)=0,sa=0.因此最终有pa=0,p是素数.得(2).n例 Char Q，Char R，Char C=0，而Char Zp=p。4第4页，本讲稿共17页子环与同态n定义1 环R的非空子集S若在R的加、乘运算之下也成为一个环，则S称为R的子环。n定义2 设R、S是两个环，映射:RS若既是加法同态又是乘法同态，

3、则称为环同态.n定理3.5.23 设:R 是满的环同态,则把R中的零元、单位元、负元分别映为 中的零元、单位元、负元.若R .当R是整环则 也是整环，若R是除环则 也是除环，若R是域则 也是域.5第5页，本讲稿共17页子环(续)n定理3.5.4（扩补定理）设R是一个环,S是R的子环,环S1 S且S1(RS)=，则存在另一个环R1R使S1 是R1的子环.n图示SS1RR16第6页，本讲稿共17页多项式环n要点 与高等代数中域上的多项式环不同点是：本节从一个一般的交换环R出发构造多项式环Rx。n定义1 设R0是一个有单位元的交换环，R是R0的子环且含R0的单位元,R0,把R0的元 称为在R上的多项

4、式,全体多项式组成R0的子环,称为多项式环,记为Rx。同样可定义多元多项式环Rx,y=Rx(y)，Rx1,xn等。7第7页，本讲稿共17页多项式环(续)n定理3.6.3 设R是一个有单位元的交换环，x1，xn是R上的无关未定元1，n是R上的任意元，则有环同态Rx1，xnR1n.特别地,Rx R.n注 无关未定元含义:ax2+bx+c=0a、b、c=0n例 Zx Z(i),Q(x)Q 8第8页，本讲稿共17页理想n重点 注意理想是一个子环，但子环不一定是理想，熟悉主理想的结构。n定义1 环R的子集A 满足下列二条件：(1)每a,bA有a-bA (2)每rR,a A有raA,则A称为R的理想.定义

5、2 设R是一个环,a1,a2,anR，将R的包含元素a1,a2,an的最小理想,称为由a1,a2,an生成的理想,记为(a1,a2,an)由一个元a生成的理想称为主理想,记为(a).9第9页，本讲稿共17页理想(续1)n主理想的元素形式:(1)当环R不交换时(a)=(x1ay1+xmaym)+sa+at+na|xi,yi,s,tZ。(2)当环R交换时(a)=ra+na|rR,nZ.(3)进一步R既交换又有单位元,(a)=ra|rR 例1 整数环Z中主理想(2)=2Z.2 环Fx中主理想(x)=全体常数项为零的f(x).10第10页，本讲稿共17页理想(续2)n例3 整系数多项试环Z(x)中(2

6、,x)不是主理想环.证 首先(2,x)=2f(x)+xg(x)|f(x),g(x)Z(x).若(2,x)=(p(x),则2(p(x),2=p(x)q(x).因此p(x)=aZ.又因x(p(x),故a=1.但(1)=Z(x),矛盾,因此(2,x)不是主理想.11第11页，本讲稿共17页环同态n重点 与群的同态基本定理(2.11.2)一样也有环的同态基本定理(3.8.2).n定义1.设:R 是环同态，则A=Ker=xR|(X)=0 称为的核。n定义2.设A是环R的理想,则R/A=x+A|xR在加乘(x+A)+(y+A)=(x+y)+A,(x+A)(y+A)=xy+A 之下成为一个环,这个环称为剩余

7、类环,其元素通常记为x+A=x.n例 Zm=Z/(m).12第12页，本讲稿共17页环同态(续)n定理3.8.3 设:RR*是环同态，则(1)R的子环S在下的象S*也是R*的子环.(2)R的理想A在下的象A*也是R*的理想.(3)反之,R*的子环S*在之下的逆象S=xR|(x)S*是R的子环.(4)R*的理想A*在下的逆象A=xR|(x)A*是R的理想.证 简单地验证.13第13页，本讲稿共17页最大理想n要点 利用最大理想作剩余类环是由交换环获得域的重要方法.n定义1 设R是一个环,R也是它自身的理想,这种理想称为单位理想.如果R的一个非单位理想A不含在任何一个更大的非单位理想中,则称A为R

8、的最大理想.n例 整数环Z的主理想(n)=nZ=nx|xZ.(6)(2),(3).(ab)(a),(b).于是(n)是Z的最大理想当且仅当n=p是素数.14第14页，本讲稿共17页最大理想(续)n定理3.9.1 设R是一个有单位元的交换环，A是R的理想，则剩余类环R/A是域当且仅当A是R的最大理想.n证 必要性:若R/A是域,因为域只有平凡理想,故由定理3.8.3A是R的最大理想.充分性:若A是R的最大理想,则K=R/A只有零理想与单位理想,要证K是域.设0aK,则(a)=K.说明1=a*a,a*K,K是域.n例 Zn是域当且仅当n是素数.15第15页，本讲稿共17页商域(分式域)n要点 从一

9、个无零因子的交换环获得域的另一种方法是求商域.n定理3.10.1 每一个无零因子的交换环都是一个域的子环.n定义1 由于一个无零因子的交换R都是一个域的子环,把含R的最小域F称为R的商域,则 F=|a,bR,b0,因此商域也称分式域.n定理3.10.4 同构的环R的商域也同构.n例 整数环Z的商域是有理数域Q.16第16页，本讲稿共17页商域(续)n定理3.10.1证明主要步骤:(1)A=(a,b)|a,bR,b0,定义上等价关系(a,b)(c,d)ad=bc.商集记为F,F的元表为 .(2)F上定义加法与乘法:+=,=(3)证明F在上面运算之下成为一个域.(4)证明F包含一个与R同构的子环R*=a/1|aR.17第17页，本讲稿共17页