理论力学-空间力系与重心.ppt

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1、Theory of Mechanics 理论力学理论力学第四章第四章空间力系和重心空间力系和重心2第四章第四章 空间力系和重心空间力系和重心第第1节节 空间汇交力系空间汇交力系第第2节节 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩第第3节节 空间力偶空间力偶第第4节节 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩主矢和主矩第第5节节 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程第第6节节 重心重心3第第1节节 空间汇交力系空间汇交力系一、一、一、一、力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影1.直接投影法直接投影法Fx=F

2、cosFy=FcosFz=Fcoscos2+cos2+cos2=1参见动画：空间力在正交轴上的投影参见动画：空间力在正交轴上的投影4 先先先先将将将将力力力力投投投投影影影影到到到到对对对对应应应应的的的的坐坐坐坐标标标标面面面面上上上上，然然然然后后后后再再再再投投投投影影影影到到到到相相相相应应应应的的的的坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴上上上上，这这这这种种种种方方方方法法法法称称称称为为为为二二二二次次次次投投投投影影影影法（间接投影法）。法（间接投影法）。法（间接投影法）。法（间接投影法）。2.2.2.2.二次投影法二次投影法二次投影法二次投影法Fx=Fsin cosFy=Fsin sinF

3、z=FcosFxy=Fsin 参见动画：二次投影法参见动画：二次投影法5 三三三三棱棱棱棱柱柱柱柱底底底底面面面面为为为为直直直直角角角角等等等等腰腰腰腰三三三三角角角角形形形形，在在在在其其其其侧侧侧侧平平平平面面面面ABEDABED上上上上作作作作用用用用有有有有一一一一力力力力F F，力力力力F F与与与与OABOAB平平平平面面面面夹夹夹夹角角角角为为为为3030，求求求求力力力力F F在在在在三三三三个个个个坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴上上上上的的的的投影。投影。投影。投影。例题例题例例例例 题题题题 1 1 空间空间力系力系参见动画：例题参见动画：例题1(1)6 利利利利用用用用二二二

4、二次次次次投投投投影影影影法法法法，先先先先将将将将力力力力F F投投投投影影影影到到到到OxyOxy平平平平面面面面上上上上，然然然然后后后后再再再再分分分分别别别别向向向向x x，y y，z z轴投影。轴投影。轴投影。轴投影。解：解：解：解：空间空间力系力系例题例题例例例例 题题题题 1 1Fxy=Fcos30oFx=-Fcos30ocos45oFy=Fcos30osin45oFz=Fsin30o参见动画：例题参见动画：例题1(2)7例例例例 题题题题 2 2例题例题如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮

5、合力F Fn n的作用。已知斜的作用。已知斜的作用。已知斜的作用。已知斜齿轮的啮合角齿轮的啮合角齿轮的啮合角齿轮的啮合角(螺旋角螺旋角螺旋角螺旋角)和压力角和压力角和压力角和压力角，试求力试求力试求力试求力F Fn n沿沿沿沿x x，y y 和和和和 z z 轴轴轴轴的分力。的分力。的分力。的分力。空间空间力系力系8例例例例 题题题题 2 2例题例题运运运运 动动动动 演演演演 示示示示 空间空间力系力系参见动画：参见动画：圆柱斜齿轮受力分析圆柱斜齿轮受力分析9例例例例 题题题题 2 2例题例题将力将力将力将力F Fn n向向向向 z z 轴和轴和轴和轴和Oxy Oxy 平面投影平面投影平面投

6、影平面投影解：解：解：解：空间空间力系力系10例例例例 题题题题 2 2例题例题沿各轴的分力为沿各轴的分力为沿各轴的分力为沿各轴的分力为将力将力将力将力F Fxyxy向向向向x x，y y 轴投影轴投影轴投影轴投影 空间空间力系力系11二、空间汇交力系的合力与平衡条件二、空间汇交力系的合力与平衡条件二、空间汇交力系的合力与平衡条件二、空间汇交力系的合力与平衡条件空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。线通过汇交点。1 1 1 1、空间汇交力系的合力、空间汇交力系的合力、空间汇交力系的合力、空间汇交力系的合力合力合力FR的大小

7、为的大小为:合力合力FR的方向余弦为的方向余弦为:12例例例例 题题题题 3 3例题例题在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。由表得：由表得：由表得：由表得：解解解解：F1F2F3F4单位Fx1202kNFy1015510kNFz3412kN 空间空间力系力系13例例例例 题题

8、题题 3 3例题例题所以合力的大小为所以合力的大小为所以合力的大小为所以合力的大小为合力的方向余弦为合力的方向余弦为合力的方向余弦为合力的方向余弦为合力合力合力合力F FR R 与与与与x x，y y，z z 轴间夹角轴间夹角轴间夹角轴间夹角 空间空间力系力系14空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。2 2 2 2、空间汇交力系的平衡条件、空间汇交力系的平衡条件、空间汇交力系的平衡条件、空间汇交力系的平衡条件即空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的该力系的合力等于零。合力等于零。

9、称为平衡方程称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程15例例例例 题题题题 4 4例题例题 如如如如图图图图所所所所示示示示，用用用用起起起起重重重重机机机机吊吊吊吊起起起起重重重重物物物物。起起起起重重重重杆杆杆杆的的的的A A端端端端用用用用球球球球铰铰铰铰链链链链固固固固定定定定在在在在地地地地面面面面上上上上，而而而而B B端端端端则则则则用用用用绳绳绳绳CBCB和和和和DBDB拉拉拉拉住住住住，两两两两绳绳绳绳分分分分别别别别系系系系在在在在墙墙墙墙上上上上的的的的C C点点点点和和和和D D点点点点，连连连连线线线线CDCD平平平平行行行行于于于于x x轴轴轴轴。已

10、已已已知知知知CE=EB=DECE=EB=DE,角角角角=30=30oo，CDBCDB平平平平面面面面与与与与水水水水平平平平面面面面间间间间的的的的夹夹夹夹角角角角EBFEBF=3030o o,重重重重物物物物G=G=1010kNkN。如如如如不不不不计计计计起起起起重重重重杆杆杆杆的的的的重重重重量量量量,试试试试求求求求起起起起重重重重杆杆杆杆所所所所受受受受的的的的力力力力和和和和绳绳绳绳子子子子的的的的拉拉拉拉力。力。力。力。空间空间力系力系参见动画：例题参见动画：例题416例例例例 题题题题 4 4例题例题1.1.取杆取杆取杆取杆ABAB与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究

11、对象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。解：解：解：解：x xz zy y3030o o A AB BD DG GC CE EF Fz zy y3030o o A AB BG GE EF FF F1 1F FA A其侧视图为其侧视图为其侧视图为其侧视图为 空间空间力系力系x xz zy y3030o o A AB BD DG GC CE EF FF F1 1F F2 2F FA A17例例例例 题题题题 4 4例题例题3 3.联立求解联立求解联立求解联立求解。2 2.列平衡方程。列平衡方程。列平衡方程。列平衡方程。空间空间力系力系x xz zy y3

12、030o o A AB BD DG GC CE EF FF F1 1F F2 2F FA Az zy y3030o o A AB BG GE EF FF F1 1F FA A18第第2节节 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩一、力对点的矩的矢量表示一、力对点的矩的矢量表示一、力对点的矩的矢量表示一、力对点的矩的矢量表示矢量的模：矢量的模：矢量的方位：矢量的方位：和力矩作用面的法线方向相同和力矩作用面的法线方向相同矢量的指向：矢量的指向：由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定力对点的矩矢等于矩心到力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢该力作用点的矢径与该力的矢量积。量积。力矩矢

13、力矩矢参见动画：参见动画：空间力对点的矩空间力对点的矩19力矩矢不可任意移动为定位矢量。力矩矢不可任意移动为定位矢量。20二、二、二、二、力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩 力对轴之矩：是使物体绕轴转动效应的度量。力对轴之矩：是使物体绕轴转动效应的度量。21动画动画力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩参见动画：参见动画：力对轴的矩力对轴的矩(1)22力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩 力力力力对对对对轴轴轴轴的的的的矩矩矩矩是是是是一一一一个个个个代代代代数数数数量量量量，其其其其绝绝绝绝对对对对值值值值等等等等于于于于该该该该力力力力在在在在垂垂垂垂直直直直该该该该轴轴轴轴的

14、的的的平平平平面面面面上上上上的的的的投投投投影影影影对对对对于于于于这这这这个个个个平平平平面面面面与与与与该该该该轴轴轴轴交交交交点点点点的的的的矩矩矩矩。其其其其正正正正负负负负号号号号如如如如下下下下确确确确定定定定：从从从从z z轴轴轴轴正正正正端端端端来来来来看看看看，若若若若力力力力的的的的这这这这个个个个投投投投影影影影使使使使物物物物体体体体绕绕绕绕该该该该轴轴轴轴逆逆逆逆时时时时针针针针转转转转动动动动，则取正号，反之为负。则取正号，反之为负。则取正号，反之为负。则取正号，反之为负。动画动画右手螺旋法则：右手螺旋法则：拇指指向与拇指指向与z轴一致为正，反之为负。轴一致为正，

15、反之为负。1、定义、定义参见动画：参见动画：力对轴的矩力对轴的矩(2)23力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩2 2、力力力力对对对对轴轴轴轴的的的的矩矩矩矩等等等等于于于于零零零零的的的的情形情形情形情形：力和轴平行；力和轴平行；力和轴平行；力和轴平行；力的作用线与轴相交。力的作用线与轴相交。力的作用线与轴相交。力的作用线与轴相交。动画动画当力与轴在同一平当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩面时，力对该轴的矩等于零。等于零。参见动画：参见动画：力对轴的矩等于零力对轴的矩等于零243 3、力对轴的矩之解析表达式、力对轴的矩之解析表达式、力对轴的矩之解析表达式、力对轴的矩之解析表达式如力F在三

16、个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则参见动画：参见动画：力对轴的矩解析表达式力对轴的矩解析表达式25三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对于该力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对于该轴的矩。轴的矩。又由于所以力对点所以力对点O的矩为：的矩为：力对点之矩的计算可以先计算力对轴之矩，然后自用上式来力对点之矩的计算可以先计算力对轴之矩，然后自用上式来求力对点之矩。求力对点之矩。26例例例例 题题题题 5 5 空间空间力系力系例题例题 手手手手柄柄柄柄ABCEABC

17、E在在在在平平平平面面面面AxyAxy内内内内,在在在在D D处处处处作作作作用用用用一一一一个个个个力力力力F F，如如如如图图图图所所所所示示示示，它它它它在在在在垂垂垂垂直直直直于于于于y y轴轴轴轴的的的的平平平平面面面面内内内内，偏偏偏偏离离离离铅铅铅铅直直直直线线线线的的的的角角角角度度度度为为为为。如如如如果果果果CD=bCD=b，杆杆杆杆BCBC平平平平行行行行于于于于x x轴轴轴轴,杆杆杆杆CECE平平平平行行行行于于于于y y轴轴轴轴，ABAB和和和和BCBC的的的的长长长长度度度度都都都都等等等等于于于于l l。试试试试求求求求力力力力F F 对对对对x x，y y和和和

18、和z z三轴的矩。三轴的矩。三轴的矩。三轴的矩。参见动画：参见动画：例题例题527例例例例 题题题题 5 5应用合力矩定理求解。应用合力矩定理求解。应用合力矩定理求解。应用合力矩定理求解。力力力力F F 沿坐标轴的投影分别为：沿坐标轴的投影分别为：沿坐标轴的投影分别为：沿坐标轴的投影分别为：由于力与轴平行或相交由于力与轴平行或相交由于力与轴平行或相交由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有时力对该轴的矩为零，则有时力对该轴的矩为零，则有时力对该轴的矩为零，则有解：解：解：解：空间空间力系力系方法方法方法方法1 1例题例题28例例例例 题题题题 5 5应用力对轴的矩之解析表达式求解。应用力对

19、轴的矩之解析表达式求解。应用力对轴的矩之解析表达式求解。应用力对轴的矩之解析表达式求解。因为力在坐标轴上的投影分别为：因为力在坐标轴上的投影分别为：因为力在坐标轴上的投影分别为：因为力在坐标轴上的投影分别为：力作用点力作用点力作用点力作用点DD的坐标为：的坐标为：的坐标为：的坐标为：空间空间力系力系方法方法方法方法2 2例题例题则则则则则则29在在轴轴AB的的手手柄柄BC的的一一端端作作用用着着力力F，试试求求这这力力对对轴轴AB的的矩矩。已已知知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50N，且且=45，=60。x xz zy yA AB BC CF Fx x1 1y y1 1例题例题 空间

20、空间力系力系例例例例 题题题题 6 630例例例例 题题题题 6 6x xz zy yA AB BC CF F F Fx x1 1y y1 1解：解：解：解：力力力力F F 对对对对ABAB的的的的矩矩矩矩等等等等于于于于这这这这力力力力在在在在平平平平面面面面BxyBxy上上上上的的的的投投投投影影影影F F 对点对点对点对点B B的矩，即的矩，即的矩，即的矩，即例题例题 空间空间力系力系31第第3节节 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1）大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（2 2）方向：转动方向

21、；方向：转动方向；（3 3）作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。32力偶矩矢力偶矩矢33作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。则它们彼此等效。空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果；改变力偶对刚体的作用效果；可以同时改变力与力偶臂的大小或将在其作用面内任意可以同时改变力与力偶臂的大小或将在其作用面内任意移转，移转，只要力偶矩矢的大小只要力偶矩矢的大小、方向不变，其作用效果不变。、方向不变，其作用效果不变。力偶矩矢是空间力偶系的唯

22、一度量。力偶矩矢是空间力偶系的唯一度量。二、空间力偶等效定理二、空间力偶等效定理34任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。等于各分力偶矩矢的矢量和。三、空间力偶系的合成与平衡条件三、空间力偶系的合成与平衡条件即：即：合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦1、空间力偶系的合成、空间力偶系的合成35例例例例 题题题题 7 7例题例题 工工工工件件件件如如如如图图图图所所所所示示示示，它它它它的的的的四四四四个个个个面面面面上上上上同同同同时时时时钻钻钻钻五五五五个个个个孔孔孔孔，每每每每个个个个孔

23、孔孔孔所所所所受受受受的的的的切切切切削削削削力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩均均均均为为为为80 80 NmNm。求求求求工工工工件件件件所所所所受受受受合合合合力力力力偶偶偶偶的的的的矩矩矩矩在在在在x x，y y，z z轴轴轴轴上上上上的的的的投投投投影影影影MMx x，MMy y，MMz z，并并并并求求求求合合合合力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩矢矢矢矢的的的的大大大大小小小小和方向。和方向。和方向。和方向。空间基本空间基本力系力系36例例例例 题题题题 7 7例题例题将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并

24、平移到将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A A点点点点。可得可得可得可得所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦解：解：解：解：A 空间基本空间基本力系力系参见动画：参见动画：空间力偶系的合成空间力偶系的合成372、空间力偶系的平衡条件、空间力偶系的平衡条件空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。即：即：空间力偶系的平衡方

25、程空间力偶系的平衡方程空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系中的所空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系中的所有力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。有力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。38 图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩M1=20 Nm；力偶（F2，F 2）的矩M2=20 Nm；力偶（F3，F 3）的矩M3=20 Nm。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。例例例例 题题题题 11 11例题例题x xz zy yO OF1F2F3 空间基本空间基本力系力系39 1 1.画出各

26、力偶矩矢。画出各力偶矩矢。画出各力偶矩矢。画出各力偶矩矢。例例例例 题题题题 11 11例题例题2 2.合力偶矩矢合力偶矩矢合力偶矩矢合力偶矩矢M M 的投影。的投影。的投影。的投影。解：解：解：解：空间基本空间基本力系力系参见动画：参见动画：例题例题11403 3.合力偶矩矢合力偶矩矢合力偶矩矢合力偶矩矢M M 的大小和方向。的大小和方向。的大小和方向。的大小和方向。4 4.为使这个刚体平衡，为使这个刚体平衡，为使这个刚体平衡，为使这个刚体平衡，需加一力需加一力需加一力需加一力偶，其力偶矩矢为偶，其力偶矩矢为偶，其力偶矩矢为偶，其力偶矩矢为 MM4 4=MM 。x xz zy y4545O

27、OM14545M2M3例例例例 题题题题 11 11例题例题 空间基本空间基本力系力系41第第4节节 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩主矢和主矩1 1 1 1、空间任意力系向一点的简化、空间任意力系向一点的简化、空间任意力系向一点的简化、空间任意力系向一点的简化参见动画：参见动画：力系向点简化力系向点简化42i=1，2，n43空间任意力系向一点空间任意力系向一点O简化，可得一力和一力偶。这简化，可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心；这力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。中心；这力偶

28、的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。置有关。44俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x轴滚转轴滚转侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移有效升力有效升力飞机上升飞机上升有效推进力有效推进力飞机向前飞行飞机向前飞行空间力系简化的实际意义空间力系简化的实际意义参见动画：参见动画：空间力系简化的实际意义空间力系简化的实际意义452 2 2 2、空间任意力系的简化结果分析、空间任意力系的简化结果分析、空间任意力系的简化结果分析、空间任意力系的简化结果分析（

29、1 1）若）若 则力系可合成一个则力系可合成一个合力偶合力偶，其矩等，其矩等于原力系对于简化中心的主矩于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置此时主矩与简化中心的位置无关无关。（2 2）若）若 ，则力系可合成为一个，则力系可合成为一个合力合力，主矢，主矢 等于原力系合力矢等于原力系合力矢 ，合力，合力 通过简化中心通过简化中心O点。点。（此时与（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）（3 3）若若 此时分三种情况讨论此时分三种情况讨论。即：即：既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时46ORMdF=r合力作用线距简化中心为合力作用线距

30、简化中心为d可进一步简化为一合力。可进一步简化为一合力。若若若若 为力螺旋的情形为力螺旋的情形（又移动又转动）（又移动又转动）力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心47动画动画力螺旋实例力螺旋实例力螺旋实例力螺旋实例第第第第4 4章章章章 空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系参见动画：参见动画：用改锥拧螺钉时施加的力螺旋用改锥拧螺钉时施加的力螺旋参见动画：参见动画：钻头钻孔时施加的力螺旋钻头钻孔时施加的力螺旋48时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系当当力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为当当 既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时（4 4）若）若拧螺丝拧螺丝

31、炮弹出膛时炮弹螺线炮弹出膛时炮弹螺线49第第5节节 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程空间任意力系平衡的必要和充分条件是：该力系的主空间任意力系平衡的必要和充分条件是：该力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。矢和对于任一点的主矩都等于零。1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例P88表4-150球球球球 铰铰铰铰 链链链链动画动画空间约束及其约束力空间约束及其约束力空间约束及其约束力空间约束及其约束力参见动画：参见动画：球铰约束结构以及约束球铰约束结构以及约束力与示意简图力与示意简图参见动画：参见动画

32、：带有销子的夹板带有销子的夹板513.解题步骤、技巧与注意问题解题步骤、技巧与注意问题：1)解题步骤解题步骤：选研究对象选研究对象(与平面的相同与平面的相同)画受力图画受力图 选坐标、列方程选坐标、列方程解方程、求出未知数解方程、求出未知数4.4.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例2)解题技巧解题技巧：用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。一般从整体一般从整体局部的研究方法。局部的研究方法。52例例例例 题题题题 12 12水平传动轴上装有两个胶带轮水平传动轴上装有两个胶带轮水平传动轴上装有两个胶带轮水平传动轴上装有两个胶带轮C C和和和和D D，半径分别是

33、半径分别是半径分别是半径分别是r r1 1=0.4 m0.4 m，r r2 2=0.2 m0.2 m.套在套在套在套在C C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F F1 1=3 400 3 400 N N，F F2 2=2 000 N2 000 N，套在套在套在套在D D轮上的胶带与铅垂线成夹角轮上的胶带与铅垂线成夹角轮上的胶带与铅垂线成夹角轮上的胶带与铅垂线成夹角=3030o o，其拉其拉其拉其拉力力力力F F3 3=2 2F F4 4。求在传动轴匀速转动时，拉力求在传动轴匀速转动时，拉力求在传动轴匀速转动

34、时，拉力求在传动轴匀速转动时，拉力F F3 3和和和和F F4 4以及两个径向以及两个径向以及两个径向以及两个径向轴承处约束力的大小。轴承处约束力的大小。轴承处约束力的大小。轴承处约束力的大小。空间空间力系力系例题例题53例例例例 题题题题 12 12 以以以以整整整整个个个个系系系系统统统统为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象，建建建建立立立立如如如如图图图图坐坐坐坐标标标标系系系系OxyzOxyz，画画画画出系统的受力图出系统的受力图出系统的受力图出系统的受力图。解：解：解：解：为为为为了了了了看看看看清清清清胶胶胶胶带带带带轮轮轮轮C C和和和和D D的的的的受受受受力力力力情情情情

35、况，作出右视图。况，作出右视图。况，作出右视图。况，作出右视图。空间空间力系力系例题例题54例例例例 题题题题 12 12下面以对下面以对下面以对下面以对 x x 轴之矩分析为例轴之矩分析为例轴之矩分析为例轴之矩分析为例说明力系中各力对轴之矩的求法。说明力系中各力对轴之矩的求法。说明力系中各力对轴之矩的求法。说明力系中各力对轴之矩的求法。力力力力F FAxAx和和和和F FBxBx平平平平行行行行于于于于轴轴轴轴 x x，力力力力F F2 2和和和和F F1 1通通通通过过过过轴轴轴轴 x x。它它它它们们们们对对对对轴轴轴轴x x 的的的的矩均等于零。矩均等于零。矩均等于零。矩均等于零。力力

36、力力F FAzAz和和和和F FBzBz对轴对轴对轴对轴 x x 的矩分别的矩分别的矩分别的矩分别为为为为F FAzAz0.25 m0.25 m和和和和F FBz Bz 1.25 m1.25 m。力力力力F F3 3和和和和F F4 4可分解为沿轴可分解为沿轴可分解为沿轴可分解为沿轴 x x 和沿轴和沿轴和沿轴和沿轴 z z 的两个分量，其中沿轴的两个分量，其中沿轴的两个分量，其中沿轴的两个分量，其中沿轴 x x 的分量对的分量对的分量对的分量对轴轴轴轴 x x 的矩为零。所以力的矩为零。所以力的矩为零。所以力的矩为零。所以力F F3 3和和和和F F4 4对轴对轴对轴对轴 x x 的矩等于的

37、矩等于的矩等于的矩等于（F F3 3+F F4 4）cos 30cos 30o o 0.75 m 0.75 m 空间空间力系力系例题例题55例例例例 题题题题 12 12 系统受空间任意力系的作用，系统受空间任意力系的作用，系统受空间任意力系的作用，系统受空间任意力系的作用，可写出六个平衡方程。可写出六个平衡方程。可写出六个平衡方程。可写出六个平衡方程。又已知又已知又已知又已知F F3 3=2 2F F4 4，故利用以上方程可以解出所有未知量。故利用以上方程可以解出所有未知量。故利用以上方程可以解出所有未知量。故利用以上方程可以解出所有未知量。56例例例例 题题题题 12 12 如将坐标轴建立

38、在点如将坐标轴建立在点如将坐标轴建立在点如将坐标轴建立在点A A，则平则平则平则平衡方程更简单。衡方程更简单。衡方程更简单。衡方程更简单。又已知又已知又已知又已知F F3 3=2 2F F4 4，故利用以上方程可以解出所有未知量。故利用以上方程可以解出所有未知量。故利用以上方程可以解出所有未知量。故利用以上方程可以解出所有未知量。57例题例题例例例例 题题题题 12 12 空间空间力系力系将空间力系问题转化为平面问题求解将空间力系问题转化为平面问题求解将空间力系问题转化为平面问题求解将空间力系问题转化为平面问题求解1.1.以系统为研究对象以系统为研究对象以系统为研究对象以系统为研究对象2.2.

39、受力分析如图示受力分析如图示受力分析如图示受力分析如图示3.3.整个系统的受力图向三个整个系统的受力图向三个整个系统的受力图向三个整个系统的受力图向三个坐标平面投影，可得到三坐标平面投影，可得到三坐标平面投影，可得到三坐标平面投影，可得到三个平面平衡力系：个平面平衡力系：个平面平衡力系：个平面平衡力系：584.4.整个系统的受力图向平面整个系统的受力图向平面整个系统的受力图向平面整个系统的受力图向平面OxzOxz投影，可得到一个平面平衡力系：投影，可得到一个平面平衡力系：投影，可得到一个平面平衡力系：投影，可得到一个平面平衡力系：F F3 3=2 2F F4 4 F F3 3=5600N560

40、0N F F4 4=28002800N N例题例题例例例例 题题题题 12 12 空间空间力系力系595.5.整个系统的受力图向平面整个系统的受力图向平面整个系统的受力图向平面整个系统的受力图向平面OyzOyz投影，可得到一个平面平衡力系：投影，可得到一个平面平衡力系：投影，可得到一个平面平衡力系：投影，可得到一个平面平衡力系：F FAz Az=-=-2075N2075N F FBz Bz=57505750N N例题例题例例例例 题题题题 12 12 空间空间力系力系606.6.整个系统的受力图向平面整个系统的受力图向平面整个系统的受力图向平面整个系统的受力图向平面OxyOxy投影，可得到一个

41、平面平衡力系：投影，可得到一个平面平衡力系：投影，可得到一个平面平衡力系：投影，可得到一个平面平衡力系：F FBx Bx=-=-2800N2800N F FAx Ax=-1400N=-1400N 例题例题例例例例 题题题题 12 12 空间空间力系力系61第第6节节 重心重心 空间平行力系，当它有合力空间平行力系，当它有合力时，合力的时，合力的作用点作用点C 就是此就是此空间空间平行力系的中心平行力系的中心。一、空间平行力系的中心一、空间平行力系的中心由合力矩定理由合力矩定理：物体重心问题可以看成是空物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例间平行力系中心的一个特例。6263二、重心坐标

42、公式二、重心坐标公式重心就是平行力系的中心。重心就是平行力系的中心。1 1重心坐标的一般公式重心坐标的一般公式2 2均质物体的重心坐标公式均质物体的重心坐标公式这时的重心称为体积的形心体积的形心体积的形心体积的形心643薄壳的重心薄壳的重心均质物体的重心就是物体的几何中心，通常也称形心。均质物体的重心就是物体的几何中心，通常也称形心。均质物体的重心就是物体的几何中心，通常也称形心。均质物体的重心就是物体的几何中心，通常也称形心。4均质等截面细杆的重心均质等截面细杆的重心这时的重心称为面积的重心面积的重心面积的重心面积的重心这时的重心称为线段的重心线段的重心线段的重心线段的重心65三、物体重心的

43、求法三、物体重心的求法1 1简单几何形状物体的重心简单几何形状物体的重心对称性对称性:矩形矩形,圆圆查表查表表表6-2P1232用组合法求物体的重心用组合法求物体的重心组合物体由简单几何图形的物体组合而成，而这些物体组合物体由简单几何图形的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，利用重心坐标公式即可求出组合形物体的的重心是已知的，利用重心坐标公式即可求出组合形物体的重心。重心。若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心，可若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心，可应用分割法，只是切去部分的面积（或体积）应取负值。应用分割法，只是切去部分的面积（或体积）应取负值。（1 1）分割法）分割法

44、（2）负面积法（负体积法）负面积法（负体积法）663用实验法求物体的重心用实验法求物体的重心对于形状复杂不易用公式计算的物体，工程中还采用实验对于形状复杂不易用公式计算的物体，工程中还采用实验方法来测定复杂形状物体的重心方法来测定复杂形状物体的重心 （1）悬挂法）悬挂法两直线相交于点两直线相交于点C即为重心即为重心图图a中左右两部分的重量是否一定相等？中左右两部分的重量是否一定相等？67（2）称重法）称重法则则有有整理后，得整理后，得68例题例题例例例例 题题题题 14 14 空间空间力系力系解解：由于对称关系，该圆弧重心必在由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即轴，即yC=0。取微段取微段求

45、半径为求半径为R，顶角为顶角为2 的均质圆弧的重心的均质圆弧的重心。O69例题例题例例例例 题题题题 14 14 空间空间力系力系解解：方法：利用积分来求重心；方法：利用积分来求重心；又：求半径为求半径为R，顶角为顶角为2 的均质扇形面积的重心的均质扇形面积的重心。方法：利用刚才所求弧方法：利用刚才所求弧长长重心的结果：重心的结果：即：O求半径为求半径为弧长的重心，弧长的重心，70图示为图示为图示为图示为Z Z形钢的截面形钢的截面形钢的截面形钢的截面,图中尺寸单位为图中尺寸单位为图中尺寸单位为图中尺寸单位为cmcm。求求求求Z Z形截形截形截形截面的重心位置。面的重心位置。面的重心位置。面的重

46、心位置。将将图图形截面分割为三部分，形截面分割为三部分，每部分都是矩形。设坐标每部分都是矩形。设坐标Oxy，它们的面积和坐标分别为：它们的面积和坐标分别为：解解解解:A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）例题例题例例例例 题题题题 15 15 空间空间力系力系71A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=

47、300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）例题例题例例例例 题题题题 15 15 空间空间力系力系72已知振动器中的偏心块的几何尺寸，已知振动器中的偏心块的几何尺寸，已知振动器中的偏心块的几何尺寸，已知振动器中的偏心块的几何尺寸，R R=10=10（cmcm），），），），r r=1.3=1.3（cmcm），），），），b b=1.7=1.7（cmcm），求偏心块重心的位置。求偏心块重心的位置。求偏心块重心的位置。求偏心块重心的位置。设坐标设坐标Oxy，其中其中Oy轴为对轴为对称轴。根据对称法性，称轴。根据对称法性，xC=0。将偏心块分割为三部分：将偏心块分割为三部分：半径为半径为R的半圆的半圆半径为半径为（r+b）的半圆的半圆半径为半径为r的小圆的小圆解：解：例题例题例例例例 题题题题 16 16 空间空间力系力系73三部分的面积及其坐标为：三部分的面积及其坐标为：三部分的面积及其坐标为：三部分的面积及其坐标为：y3=0半径为半径为R的半圆的半圆半径为半径为（r+b）的半圆的半圆半径为半径为r的小圆的小圆例题例题例例例例 题题题题 16 16 空间空间力系力系74偏心块重心偏心块重心C的坐标分别为：的坐标分别为：xC=0，yC=3.9（cm）例题例题例例例例 题题题题 16 16 空间空间力系力系756-1，6-6，6-10，6-146-15，6-19习题习题