条件概率的计算公式.ppt

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1、概率论与数概率论与数 理理 统统 计计一、条件概率的概念 例一只盒子里混有100只新旧乒乓球，各有黄白两色，分类如下：新4030旧2010从盒子中随机取出一个球，若记A=从盒子中随机取出一个球，该球为新球，若事先知道取出的是黄球，若事先知道取出的是黄球，则上述概率为则上述概率为记B=从盒子中随机取出一个球，该球为黄球1.条件概率的定义条件概率的定义条件概率的性质条件概率的性质 例某种灯泡用5000小时未坏的概率为 ，用10000 小时未坏的概率为 ，现有一只这种灯泡已用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时”我

2、们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即 所以AB=A，这表明，用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大，这是很自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量较次的灯泡。二、乘法公式 若 ，由条件概率定义，可得 上式称为事件概率的乘法公式乘法公式 它可推广到任意有限个事件 设 为任意n个事件，满足 例1.4.3 甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。求：1）两市至少有一市是雨天的概率；2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率

3、；3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。解例有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？（i=1，2，7）解：设 =“第i个人抓到票”，（i=1，2，7）如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。这就是说 ，所以于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，所以 类似可得 例设在一盒子中装有例设在一盒子中装有1010只球，只球，4 4只黑球，只黑球，6 6只白球，只白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次都拿到白球的概率是多少？两次都拿到白

4、球的概率是多少？解法一：用古典概型来做 设A=“两次都拿到白球”，解法二：用乘法公式来做，设B=“第一次拿到白球”，A=“第二次拿到白球”，AB=“两次都拿到白球”，三、三、全概率公式 例例1.4.6 1.4.6 有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6 6只白只白球，球，4 4只红球，乙袋中有只红球，乙袋中有3 3只白球只白球6 6只红球，现在先从每袋中各任只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P P(A A)不易不易,

5、但但A A总是伴随着某个总是伴随着某个Ai出现，出现，例如例如A是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则A A发生的概率是发生的概率是P(A Bi)=P(Bi)P(A|Bi)每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起A发生发生概率的总和概率的总和.“全全”部概率部概率P(A)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件A分成几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。定理：定理：设 为一列互不相容的事件，且 则对任一事件A，有证明见书。上述

6、公式称为全概率公式全概率公式。AB1B2B3Bn.全概率公式的来由全概率公式的来由,不难由上式看出不难由上式看出:“全全”部概率部概率P(A A)被分解成了许多部分之被分解成了许多部分之和和.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)作新的估计作新的估计.i=1,2,3定理：设 为一列互不相容的事件，且有，对任意的事件B，则有 这个公式称为贝叶斯公式贝叶斯公式（逆概公式）（逆概公式）。四、贝叶斯公式（逆概公式）在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P P(Bi)和和P P(Bi|A)分别称为原因的验前分别称为原因的验前

7、概率和验后概率概率和验后概率.P P(B Bi)()(i=1,2,=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件是在没有进一步信息（不知道事件A A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道A A发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小P P(Bi|A)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。练：练：1.1.盒中有盒中有1212只乒乓球，其中只乒乓球，其中9 9只是没有用过的新球，第一只是没有用过的新球，第一次比

8、赛时任取次比赛时任取3 3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3 3只球。只球。（1 1）求第二次取出的全是新球的概率）求第二次取出的全是新球的概率 （2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率。是新球的概率。解：设 =“第一次取出的3只球都是旧球”，=“第一次取出的3只球中有1只新球”，=“第一次取出的3只球中有2只新球”，=“第一次取出的3只球都是新球”，B=“第二次取出的都是新球”。2某工厂有1，2，3三个车间，它们生产同一种螺钉，其产量分别占总产量的25%，35%，40%，每个车间的成品中，

9、次品占产品的5%，4%，2%，现从全部螺钉中抽取一个产品，求（1）它是次品的概率（2）若已知它是次品，它是1，2，3车间所生产的概率 解：设 =“抽到的是i车间的产品”，B=“抽到的产品是次品”，3、子弹爆炸时产生大、中、小三种弹片，大、中、小三种弹片打中坦克的概率分别等于大、中、小三种弹片数量之比1：3：6，若大、中、小三种弹片击中坦克则其击穿坦克的概率分别为0.9,0.2,0.05，求（1）击穿坦克的概率；（2）若已知坦克被击穿，分别是由大、中、小三种弹片击穿的概率。解：设B=“坦克被击穿”表示坦克分别被大、中、小三种弹片击中（1）两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03，第二台出废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是废品的概率。（0.027）（2）播种用的一等小麦种子中混合2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。（0.4825）练习：