曲线积分曲面积分.ppt

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1、2022/11/301 1第第12.3节节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质.二、对坐标的曲面积分的计算方法二、对坐标的曲面积分的计算方法.三、两类曲面积分之间的关系三、两类曲面积分之间的关系.2022/11/302 2复习复习 对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质yxozS二、二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法2022/11/303 3一一.对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质曲面的侧曲面的侧:通过曲面上法向量的指向通过曲面上法向量

2、的指向,（上侧）（上侧）有向曲面有向曲面:取定了法向量取定了法向量设设是有向曲面是有向曲面,在在上取小曲面上取小曲面在在面上投影区域的面上投影区域的面积面积为为类似可定义类似可定义在在面面定出曲面的侧定出曲面的侧.或选定了侧的曲面。或选定了侧的曲面。（下侧）（下侧）设设在在面上的面上的投影投影为为规定规定为为上各点处法向量与上各点处法向量与 轴正向之夹角，轴正向之夹角，面面及及且且有相同的符号。有相同的符号。上的投影上的投影2022/11/304 4引例引例设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由）的速度场由给出给出,是速度场中一片有是速度场中一片

3、有向曲面向曲面,斜柱体体积为斜柱体体积为:流量：流量：求在单位求在单位在在函数函数上连续上连续,时间内流向时间内流向 指定侧的流体的质量指定侧的流体的质量,即流量即流量且流速为常向量且流速为常向量的一个闭区域的一个闭区域,（1）若流体流过平面上面积为）若流体流过平面上面积为流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.单位时间内流过这单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为闭区域的流体组成一个底面积为斜高为斜高为的斜柱体，的斜柱体，2022/11/305 5（2）为曲面为曲面,为变量为变量.流速流速2022/11/306 6定义定义任取点任取点作乘积作乘积记记若极限若极限存在存在,记作记作即即类似

4、类似,在有向光滑曲面在有向光滑曲面上有界。上有界。设函数设函数任意分割任意分割将将小块小块成成也表其面积）。也表其面积）。（面上投影为面上投影为在在并作和式并作和式则称此极限值为函数则称此极限值为函数在有在有向曲面向曲面上对坐标上对坐标的曲面积分的曲面积分.2022/11/307 7注注:1.坐标的曲面积分坐标的曲面积分3.则则4.5.对对（也称第二类曲面积分）（也称第二类曲面积分）存在存在.2.如果如果记作记作则则在有向曲面在有向曲面上上连续连续时时,当当为为分片光滑分片光滑有向曲面有向曲面,若若为为封闭曲面封闭曲面,若若表示与表示与相反侧的曲面相反侧的曲面,用用2022/11/308 8二

5、二.对坐标的曲面积分的计算方法对坐标的曲面积分的计算方法区域为区域为在在上连续上连续.则则上侧取正上侧取正,类似类似,前侧取正前侧取正,右侧取正右侧取正,定理定理由方程由方程给出给出,设有向曲面设有向曲面在在面上的投影面上的投影在在上有一阶连续偏导上有一阶连续偏导,下侧取负下侧取负.后侧取负后侧取负.左侧取负左侧取负.2022/11/309 9外侧外侧,解解取上侧取上侧;取下侧取下侧;取前侧取前侧;取后侧取后侧;取右侧取右侧;取左侧取左侧.同理同理,例例1.计算计算是长方体是长方体的整个表面的的整个表面的分成六部分分成六部分:将有向曲面将有向曲面原式原式2022/11/301010例例2.计算

6、计算其中其中是球面是球面外侧在外侧在解解取上侧取上侧;取下侧取下侧.的部分的部分.画草图画草图.2022/11/301111例例3.计算计算 其中其中为锥面为锥面及平面及平面所围区域的边界曲面的外侧所围区域的边界曲面的外侧.解解取上侧取上侧;取外侧取外侧.（由对称性）（由对称性）2022/11/3012122022/11/301313三三.两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系设有向曲面设有向曲面上法向量的方向余弦为：上法向量的方向余弦为：若取上侧，若取上侧，若取下侧，若取下侧，2022/11/301414例例4.计算计算取下侧。取下侧。（由对称性）（由对称性）解解2022/11/3015152022/11/301616例例5.其中其中为连续函数为连续函数,是平面是平面在第四卦限部分在第四卦限部分解解原式原式上侧。上侧。1-112022/11/301717例例6.把对坐标得曲面积分把对坐标得曲面积分部分的上侧部分的上侧.解解化成对面积的曲面积分化成对面积的曲面积分.是抛物面是抛物面在在面上方面上方