湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析).pdf

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1、 .一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分1若复数ai的实部与虚部相等，则实数a（）A2i（B）1（C）2（D）2（A）12.已知f(x 1)2f(x)xN*），猜想f(x）的表达式为（）.,f(1)1（f(x)2A.f(x)4212 B.C.D.f(x)f(x)f(x)x2 2x 1x 12x 13等比数列an中，a1 0，则“a1 a3”是“a3 a6”的 B（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件4从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工

2、作分配方案共有 B（A）60种（B）72种（C）84种（D）96种5.已知定义在R R上的函数f(x)的对称轴为x 3，且当x3时，f(x)2x3.若函数f(x)在区间(k 1,k)（kZ Z）上有零点，则k的值为 A（A）2或7（B）2或8（C）1或7（D）1或86已知函数f(x)log2x2log2(xc)，其中c 0若对于任意的x(0,)，都有f(x)1，则c的取值围是 D（A）(0,14（B）,)14（C）(0,18（D）,)187.已知函数f(x)ax3bx22(a 0)有且仅有两个不同的零点x1，x2，则 BA当a 0时，x1 x2 0，x1x2 0 B.当a 0时，x1 x2 0

3、，x1x2 0C.当a 0时，x1 x2 0，x1x2 0 D.当a 0时，x1 x2 0，x1x2 0 Word 文档 .8如图，体ABCD A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE A1C于E，且PA PE，则点P的轨迹是 A（A）线段（C）椭圆的一部分（B）圆弧（D）抛物线的一部分第卷第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9设等差数列an的公差不为0，其前n项和是Sn若S2 S3，Sk 0，则k _510.(x2)6的展开式中x3的系数是 1602x11设a 0.若曲线y a _.x与直线x a,y 0所围成封闭图形的面积为

4、a2,则12在直角坐标系xOy中，点B与点A(1,0)关于原点O对称点P(x0,y0)在抛物线y2 4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0_1213.数列an的通项公式an ncos301814记实数x1,x2,设ABC的三边边长分别为a,b,c，且a b c，定义ABC的倾斜度为n1，前n项和为Sn，则S2012 _。2,xn中的最大数为maxx1,x2,xn，最小数为minx1,x2,xn.a b cat max,min,b c ab Word 文档 .b c,c a（）若ABC为等腰三角形，则t _；1（）设a 1，则t的取值围是_1,15)2三、解答题：本大题共 6 小题，共

5、 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题共 14 分）已知函数f(x)mln x(m1)x(mR)（）当m 2时，求曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（）讨论f(x)的单调性；（III）若f(x)存在最大值M，且M 0，求m的取值围（18）（共 14 分）解：（）当m 2时，f(x)2ln x xf(x)2x21xx所以f(1)3又f(1)1，所以曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是y 1 3(x1)，即3x y 2 0 Word 文档 .（）函数f(x)的定义域为(0,)，f(x)m(m1)xmm1xx当m0时，由x 0知f(x)mm1

6、0恒成立，x此时f(x)在区间(0,)上单调递减当m1时，由x 0知f(x)mm1 0恒成立，x此时f(x)在区间(0,)上单调递增当0 m1时，由f(x)0，得x mm，由f(x)0，得x，1m1m此时f(x)在区间(0,mm)单调递增，在区间(,)单调递减1m1m（III）由（）知函数f(x)的定义域为(0,)，当m0或m1时，f(x)在区间(0,)上单调，此时函数f(x)无最大值当0 m1时，f(x)在区间(0,mm)单调递增，在区间(,)单调递减，1m1m所以当0 m1时函数f(x)有最大值最大值M f(mm)mlnm1m1m因为M 0，所以有mln所以m的取值围是(mem 0，解之得

7、m 1e1me,1)1e16（本小题满分 13 分）已知函数f(x)sin xacosx的一个零点是（）数a的值；4（）设g(x)f(x)f(x)2 3sin xcos x，求g(x)的单调递增区间（）解：依题意，得f()0，1 分 Word 文档4 .即sin22aacos 0，3 分4422解得a 15 分（）解：由（）得f(x)sin xcos x6 分g(x)f(x)f(x)2 3sin xcos x(sin x cos x)(sin x cos x)3sin 2x7 分(cos2x sin2x)3sin 2x8 分 cos2x3sin 2x9 分 2sin(2x)10 分6由2k 2

8、x 2k，262得k x k，kZ Z12 分36,k，kZ Z13 分36所以g(x)的单调递增区间为k117.（本小题满分 13 分）已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项公式 bn;1(2)设数列an的通项 an=loga(1+)(其中 a0 且 a1)记 Sn是数列an的前 n 项和，试比较bnSn与1logabn+1的大小，并证明你的结论.3 Word 文档 .b11b 11(1)解：设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n210(101)d 310b d 14512(2)证明：由bn=3n2 知11Sn=loga(1+1)+loga(

9、1+)+loga(1+)43n211=loga(1+1)(1+)(1+)43n211而logabn+1=loga33n1,于 是，比 较Sn与logabn+1的 大 小比 较3311(1+1)(1+)(1+)与33n1的大小.43n2取n=1，有(1+1)=38 34 33111取n=2，有(1+1)(1+)38 37 3321411*推测：(1+1)(1+)(1+)33n1()43n2*当n=1 时，已验证()式成立.11*假设n=k(k1)时()式成立，即(1+1)(1+)(1+)33k 143k 21111)(1)33k 1(1)则当n=k+1 时，(11)(1)(143k 23(k 1

10、)23k 13k 233k 13k 13k 23(3k 1)3(33k 4)33k 1(3k 2)3(3k 4)(3k 1)29k 4 022(3k 1)(3k 1)3k 1(3k 2)33k 4 33(k 1)13k 1111*从而(11)(1)(1)(1)33(k 1)1,即当n=k+1 时，()式成立43k 23k 1*由知，()式对任意正整数n都成立.11于是，当a1 时，Snlogabn+1,当 0a1 时，Snlogabn+13318（本小题满分 13 分）3已知函数f(x)ax ln x，g(x)eax3x，其中aR R（）求f(x)的极值；（）若存在区间M，使f(x)和g(x)

11、在区间M上具有相同的单调性，求a的取值围18.（本小题满分 13 分）（）解：f(x)的定义域为(0,)，1 分 Word 文档 .且f(x)a1ax12 分xx 当a 0时，f(x)0，故f(x)在(0,)上单调递减从而f(x)没有极大值，也没有极小值3 分 当a 0时，令f(x)0，得x 1af(x)和f(x)的情况如下：x1(0,)a1a1(,)af(x)f(x)0故f(x)的单调减区间为(0,)；单调增区间为(,)1a1a从而f(x)的极小值为f()1lna；没有极大值5 分（）解：g(x)的定义域为R R，且g(x)aeax36 分 当a 0时，显然g(x)0，从而g(x)在R R上

12、单调递增由（）得，此时f(x)在(,)上单调递增，符合题意8 分 当a 0时，g(x)在R R上单调递增，f(x)在(0,)上单调递减，不合题意9 分 当a 0时，令g(x)0，得x01a1a13ln()aag(x)和g(x)的情况如下表：x(,x0)x0(x0,)g(x)g(x)0当3 a 0时，x0 0，此时g(x)在(x0,)上单调递增，由于f(x)在(0,)上单调递减，不合题意11 分当a3时，x0 0，此时g(x)在(,x0)上单调递减，由于f(x)在(0,)上单调递减，符合题意 Word 文档 .综上，a的取值围是(,3)19（本小题满分 14 分）(0,)13 分x2y2如图，椭

13、圆221(a b 0)的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，Bab两点当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60（）求该椭圆的离心率；（）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点记GFD的面积为S1，OED（O为原点）的面积为S2，求19（本小题满分 14 分）（）解：依题意，当直线AB经过椭圆的顶点(0,b)时，其倾斜角为S1的取值围S2601 分设F(c,0)，则b tan6032 分c将b 3c代入a2 b2c2，解得a 2c3 分所以椭圆的离心率为e c14 分a2x2y2（）解：由（），椭圆的方程可设为2215 分4c3c设A(x1,y1)，B(x2,y

14、2)Word 文档 .依题意，直线AB不能与x,y轴垂直，故设直线AB的方程为y k(xc)，将其代入3x24y212c2，整理得(4k23)x28ck2x 4k2c212c2 07 分8ck26ck则x1 x22，y1 y2 k(x1 x22c)2，4k 34k 34ck23ckG(2,2)4k 3 4k 38 分因为GD AB，3ck22ck所以4k23k 1，xD29 分4k 34ck xD4k23因为 GFDOED，4ck2ck223ck(22)(2)22S|GD|4k 311 分4k 34k 3所以122ckS2|OD|(2)24k 3(3ck2)2(3ck)29c2k49c2k29

15、 9 91322242(ck)c kk分所以S1的取值围是(9,)14 分S2（20）（本小题共 13 分）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A(a1,a2,ai,an).其中ai(i 1,2,n)称为数组A的“元”，i称为ai的下标.如果数组S中的每个“元”都是来自 Word 文档 .数组A中不同下标的“元”，则称S为A的子数组.定义两个数组A (a1,a2,an)，B (b1,b2,bn)的关系数为C(A,B)a1b1a2b2anbn.（）若A (,)，B (1,1,2,3)，设S是B的含有两个“元”的子数组，求1 12 2C(A,S)的最大值；（）若A(333,)，B (0,a,

16、b,c)，且a2b2c21，S为B的含有三333个“元”的子数组，求C(A,S)的最大值.（20）（共 13 分）解：（）依据题意，当S (1,3)时，C(A,S)取得最大值为 2（）当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中a,b,c三个“元”的对称性，可以只计算C(A,S)3(a b)的最大值，其中a2b2c213由(a b)2 a2b2 2ab 2(a2b2)2(a2b2c2)2，得 2 ab 2当且仅当c 0，且a b 2时，ab达到最大值2，2于是C(A,S)36(ab)333(a bc)的最大值，3当0不是S中的“元”时，计算C(A,S)由于a2b2c21，所以(abc)2 a2b2c22ab2ac2bc 3(a2b2c2)3，当且仅当a b c时，等号成立即当a b c 3时，a bc取得最大值3，此时3C(A,S)3(abc)13综上所述，C(A,S)的最大值为 1 Word 文档 .Word 文档