高考数学一轮复习 三角函数概念 ppt.ppt

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1、三角函数的概念2021/8/11 星期三1一、角的基本概念一、角的基本概念1.角的概念角的概念 角可以看成平面内的一条角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的另一个位置所成的图形图形.旋转旋转开始的射线开始的射线叫角的叫角的始边始边,旋转旋转终止位置的射线终止位置的射线叫角的叫角的终边终边,射线的端点射线的端点叫角的叫角的顶点顶点.按按逆时针方向旋转逆时针方向旋转形成的角叫形成的角叫正角正角,按按顺时针方向旋转顺时针方向旋转形形成的角叫成的角叫负角负角,如果一条射线如果一条射线没作任何没作任何旋转旋转,称它形成了一个称它形成了一个零角零角.

2、角的三要素角的三要素:顶点、始边、终边顶点、始边、终边.2.角的分类角的分类(1)正角、负角、零角；正角、负角、零角；(2)象限角、象限界角象限角、象限界角(象间角、轴线角象间角、轴线角)2021/8/11 星期三2(1)与与 角角终边相同的角的集合终边相同的角的集合:3.几类特殊角的表示方法几类特殊角的表示方法|=k360+,kZ,或或|=2k+,kZ.(2)象限角、象限界角象限角、象限界角(轴线角轴线角)象限角象限角第一象限角第一象限角:k 360 k 360+90,k Z;(2k 2k+,k Z)2 第二象限角第二象限角:k 360+90 k 360+180,k Z;(2k+2k+,k

3、Z)2 第三象限角第三象限角:k 360+180 k 360+270,k Z;(2k+2k+,k Z)23 第四象限角第四象限角:k 360+270 k 360+360,k Z.2 (2k+2k+2,k Z 或或 2k-2k,k Z)23 或或 k 360-90 k 360,k Z.2021/8/11 星期三3轴线角轴线角x 轴的非负半轴轴的非负半轴:=k 360(2k)(k Z);x 轴的非正半轴轴的非正半轴:=k 360+180(2k+)(k Z);y 轴的非负半轴轴的非负半轴:=k 360+90(2k+)(k Z);2 y 轴的非正半轴轴的非正半轴:=k 360+270(2k+)或或 =

4、k 360-90(2k-)(k Z);23 2 x 轴轴:=k 180(k)(k Z);y 轴轴:=k 180+90(k+)(k Z);2 坐标轴坐标轴:=k 90()(k Z).2k 2021/8/11 星期三4(1)角度制角度制(2)弧度制弧度制等于半径的圆弧所对的圆心角叫做等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度弧度(1 rad)的角的角.(3)弧度与角度的相互换算弧度与角度的相互换算4.角的度量角的度量(4)扇形的弧长公式扇形的弧长公式扇形的面积公式扇形的面积公式1=rad0.01745 rad.180 1 rad=()()57.30 =57 18.180 l=r|S=l r=r2|1

5、212 一个圆周的一个圆周的 的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角叫做 1 度度(1)的角的角.360 1 2021/8/11 星期三5二、任意角的三角函数二、任意角的三角函数1.定义定义.P(x,y)yxor sin=;cos=;tan=;yrxryxcot=;sec=;csc=;xyrxry2021/8/11 星期三6xyoPMA xyoPM A 2.三角函数的符号三角函数的符号3.三角函数线三角函数线yxosin csc tan cot cos sec+三角函数正值歌三角函数正值歌正弦一、二全是正正弦一、二全是正,余弦偏在一、四中余弦偏在一、四中;正切、余切却不然正切、余切却不然,斜插一

6、、三两象限斜插一、三两象限.定义定义 与单位圆有与单位圆有关的有向线段关的有向线段 MP、OM、AT 分别叫做角分别叫做角 的的正弦线、余弦线、正弦线、余弦线、正切线正切线.或或 一全二正弦一全二正弦,三切四余弦三切四余弦.TT2021/8/11 星期三7 即第一象限角即第一象限角的半角是第一或第三象限角的半角是第一或第三象限角(其余略其余略),第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限区区域域 2第一或第三象限第一或第三象限 第二或第四象限第二或第四象限 注注:已知角已知角 所在象限所在象限,应熟练地确定应熟练地确定 所在的象限如下表所在的象限如下表:2xyoxy

7、oxyoxyoxyo 12 12 22 22 32 32 42 42如果用如果用 1,2,3,4 分别表示第一、二、三、四象限分别表示第一、二、三、四象限角角,则则 ,分布如图分布如图:12 22 32 42熟记右图熟记右图,解有关问题就方便多了解有关问题就方便多了.2021/8/11 星期三8 1.写出与写出与-1035 终边相同的角终边相同的角,并指出其中属于并指出其中属于-4,4 的角的角.2.判断判断 =-5,=-是第几象限的角是第几象限的角.19933解解:-1035=-3 360+45,与与-1035 终边相同的角为终边相同的角为 k 360+45(k Z).用弧度制表示上面用弧度

8、制表示上面的角为的角为 2k+(k Z),4 令令 -4 2k+4(k Z)得得 k=-2,-1,0,1,4 其中属于其中属于-4,4 的角是的角是-,-,.74415944 解解:02-5 ,2 -5 是第一象限的角是第一象限的角.212-1.68(,),2 1993319933-是是第二象限的角第二象限的角.典型例题典型例题 2021/8/11 星期三9 3.角角 终边经过点终边经过点 P(x,-2)(x 0),且且 cos =x,求求 sin+cot 的值的值.36解解:设设|OP|=r,则则 r=x2+2,又又 cos =x,则则 36x2+2 x=x,36当当 x=-10 时时,解得

9、解得 x=10.当当 x=10 时时,sin=-,66cot=-5,sin+cot=-;6 5+66 sin+cot=.6 5-66sin=-,66cot=5,2021/8/11 星期三104.已知已知 为锐角为锐角,证明证明:10,y0),则则 sin=,x2+y2 ycos=.x2+y2 x sin+cos=.x2+y2 x+y x2+y2(x+y)2 x0,y0,x2+y2(x+y)2 =1+1,x2+y2 x2+y2+2xy x2+y2 2xy x2+y2(x+y)2 又又 =2,x2+y2 x2+y2+2xy x2+y2 x2+y2+x2+y2 x2+y2(x+y)2 1 2.1si

10、n+cos 2.1 2.x2+y2(x+y)2 2021/8/11 星期三115.求下列函数的定义域求下列函数的定义域:(1)y=tanx+cotx;(2)y=sinx+tanx.解解:(1)使使 tanx 有意义的有意义的 x 的取值集合是的取值集合是=x|x ,k Z;2 k 使使 cotx 有意义的有意义的 x 的取值集合是的取值集合是 x|x k,k Z,x|x k+,k Z,2 故所求函数的定义域是故所求函数的定义域是:x|x k+,k Zx|x k,k Z 2 (2)要使原函数有意义要使原函数有意义,则则sinx0,x k+,k Z.2 2k x2k+,k Z,x k+,k Z.2

11、 即即 故原函数定义域为故原函数定义域为x|2k x2k+,且且 x 2k+,k Z.2 2021/8/11 星期三12 6.设设 是第二象限的角是第二象限的角,试问试问:-,-,+分别是第几象分别是第几象限的角限的角?解解:是第二象限的角是第二象限的角,-是第三象限角是第三象限角,2k+2k+,k Z.2 -2k-2k-,k Z,2 -2k -2k+,k Z,2 2k+2k+2,k Z.23 -是第一象限角是第一象限角,+是第四象限角是第四象限角.解法解法2 角角-的终边与角的终边与角 的终边关于的终边关于 x 轴对称轴对称,由由 是第二象限的角知是第二象限的角知-是第三象限是第三象限的角的

12、角;角角 -的终边与角的终边与角 的终边关于的终边关于 y 轴对称轴对称,由由 是第二象限的角知是第二象限的角知 -是第一象限是第一象限的角的角;角角 +的终边是角的终边是角 终边的反向延长线终边的反向延长线,由由 是第二象限的角知是第二象限的角知 +是第四象限是第四象限的角的角.2021/8/11 星期三137.已知已知 在第二象限在第二象限,试确定试确定 sin(cos)cos(sin)的的符号符号.解解:在第二象限在第二象限,-1cos 0,0sin 1.-1,1 ,2 2 -cos 0,0sin .2 2 sin(cos)0.sin(cos)cos(sin)0 时时,sin=-,yr-

13、3t 5|t|-3t 5t 35cos=,xr4t 5|t|4t 5t 45tan=-;yx-3t 4t 34当当 t|sinx|;(2)|sinx|+|cosx|1.解解:由三角函数线易得所求集合分别为由三角函数线易得所求集合分别为:(1)x|k-xk+,k Z;4 4 (2)x R|x ,k Z.2 k 3.设设 O 是坐标原点是坐标原点,角角 的终边上有点的终边上有点 M,|OM|=2,角角 的的终边上有点终边上有点 N,|ON|=4,P 为为 MN 的中点的中点,求以求以 OP 为终边的角为终边的角 的正切值的正切值.解解:依题意可设依题意可设 M(2cos,2sin),N(4cos,

14、4sin),则则 P(cos+2cos,sin+2sin).当当 cos+2cos 0 时时,当当 cos+2cos=0 时时,tan 不存在不存在.tan=.sin+2sin cos+2cos 2021/8/11 星期三174.化简化简:-.tan sin tan+sin tan sin tan-sin 解解:设设 P(x,y)是是角角 终边上的任意一点终边上的任意一点,令令 r=x2+y2.yxyr则原式则原式=-yxyr-yxyr yxyr+y2yr-yx y2yr+yx=-y2-(r2-x2)y(r-x)=yr-x y r+x=-x2+y2-r2 y(r-x)=0.2021/8/11

15、星期三18 在第二或第四象限在第二或第四象限.-1cos 0,0sin 1.又又-1,1 ,2 2 -cos 0,0sin .2 2 sin(cos)0.sin(cos)cos(sin)0.故故 sin(cos)cos(sin)的符号为的符号为“-”号号.5.若若 +=0,试判断试判断 sin(cos)cos(sin)的的符号符号.|cos|cos|sin|sin 解解:由已知得由已知得|sin cos|+sin cos cos|sin|=0,sin cos 0,且且 cos|sin|0,sin cos 0.当当 在第二象限时在第二象限时,同理当同理当 在第四象限时在第四象限时,sin(cos)cos(sin)的符号为的符号为“+”号号.2021/8/11 星期三19