余弦定理 同步练习-高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册.docx

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1、人教B版（2019）必修第四册9.1.2 余弦定理同步练习一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若C=23,c=7，ABC的面积为1534，则ABC的周长为()A. 8B. 12C. 15D. 7+942.（5分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边已知cosBcosC=b2ac,SABC=334且b=3，则a+c=()A. 43B. 33C. 3D. 233.（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2b=2，C=4，则ABC的面积为A. 2B. 22C. 1D. 124.（5分）已知a，b，c分

2、别为ABC三个内角A，B，C的对边，已知a=3，b=2，csinA=acos(C+6)，则c=()A. 13B. 1C. 13D. 45.（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，c=4，b=43，则cosB=()A. 1516B. 2324C. 1112D. 456.（5分）在ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=()A. 30B. 60C. 120D. 1507.（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A=34,b=1,c=2，则a=()A. 2B. 5C. 6D. 78.（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，

3、b=32，c=35.若点M在AB边上，且BM=CM，则AMAB=()A. 14B. 13C. 34D. 23二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是()A. 若cosA=cosB，则ABC为等腰三角形B. 若a=9，c=11，B=55，则符合条件的ABC有两个C. 若acosA=bcosB，则ABC为等腰直角三角形D. 若sin2A+sin2Bsin2CsinC，则BCB. 若a=26，b=4，A=4，则三角形有两解C. 若bcosBccosC=0，则ABC一定为等腰直角三角形D. 若ABC面积为S，S=14(a2+b2c2)，则C=411.

4、（5分）ABC中，a=4，b=5，面积S=53，则边c=()A. 21B. 61C. 41D. 2512.（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=3，a=6，若ab=ccosBccosA，则ABC的面积可能为()A. 23B. 3C. 6D. 32313.（5分）在ABC中，下列结论错误的有()A. a2b2+c2，则ABC为钝角三角形B. a2=b2+c2+2bc，则A为45；C. a2+b2c2，则ABC为锐角三角形D. 若A：B：C=1：2：3，则 a： b： c=1：2：3.三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别

5、为a，b，c，已知sin2BC2+sinBsinC=14,b+c=2，则a的取值范围为_15.（5分）ABC中，a，b是它的两边，S是ABC的面积，若S=14(a2+b2)，则ABC的形状为_16.（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知asinA+bsinBcsinC=677asinBsinC，a=3，b=2，则c= _ 17.（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，在以下结论中：AH.(AB+BC)=AH.AB；AH.AC=AH2；AC.AH|AH|=c.sinB；BC.(ACAB)=b2+c22bc.cosA其中正确结论的序号是_1

6、8.（5分）在ABC中，如果a:b:c=2:6:(3+1)，那么这个三角形的最小角是_.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，b=5，A=3时(1)若a=7，求c；(2)记ca=k.当k为何值时，ABC是直角三角形；当k为何值时，使得ABC有解(写出满足条件的所有k的值)20.（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin2AasinA+C=0.()求角A；()若a=3，ABC的面积为332，求1b+1c的值21.（12分）工程队将从A到D修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据(A,B,C,D在同一

7、水平面内)，求A，D之间的距离22.（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.满足2acosC+bcosC+ccosB=0.(1)求角C的大小；(2)若a=2，ABC的面积为32，求c的大小23.（12分）已知向量m=(3sinx,cos(x+3)，n=(cosx,sin(x+56)，记函数f(x)=m.n(1)求不等式f(x)14的解集；(2)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A2)=34且sinA，sinB，sinC成等差数列，b=1，求ABC的面积S的值答案和解析1.【答案】C;【解析】此题主要考查了余弦定理，考查了解三角形的实际应用，属于中

8、档题；根据题意得到ab=15，由余弦定理得(a+b)2=64，a+b=8，a+b+c=15，即可得解.解：由题意得12absin23=1534，所以ab=15，在ABC中，由余弦定理得49=a2+b22abcos23=a2+b2+ab=(a+b)2ab=(a+b)215，所以(a+b)2=64，a+b=8，a+b+c=15，故选C.2.【答案】D;【解析】此题主要考查解三角形，涉及正余弦定理以及三角形的面积公式，属中档题.根据题意得到cosBcosC=sinB2sinAsinC进而得到2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sinB+C=sinA，再根据余弦定理得到b2=a2+

9、c22accosB=a+c23ac=a+c29=3即可得解.解：cosBcosC=b2ac，由正弦定理得：cosBcosC=sinB2sinAsinC，即2sinAsinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sinB+C=sinA，可得cosB=12，0B，B=3，SABC=334，S=12acsinB=34ac=334，解得ac=3，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB=a+c23ac=a+c29=3，a+c2=12，则a+c=23，故选D.3.【答案】C;【解析】此题主要考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于较易题.由余弦定理得出b

10、，c，最后由面积公式得出面积.解：a=2b=2，C=4，由余弦定理cosC=a2+b2c22ab，可得b=c=2，面积S=12absinC=122222=1，故选C.4.【答案】B;【解析】解：由正弦定理得sinCsinA=sinAcos(C+6)，又sinA0，则sinC=cos(C+6)=cosCcos6+sinCsin6=32cosC12sinC，整理得tanC=33，又C(0,)，则C=6，则c2=a2+b22abcosC，即c2=3+46=1，则c=1.故选：B.先由正弦定理及余弦和角公式求得C，再由余弦定理求出c即可此题主要考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中

11、档题5.【答案】B;【解析】解：a=3，c=4，b=43， 由余弦定理知cosB=a2+c2b22ac=32+42(43)2234=2324故选：B直接根据余弦定理即可求解此题主要考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题6.【答案】C;【解析】解：a2=b2+bc+c2 bc=b2+c2a2 由余弦定理的推论得： cosA=b2+c2a22bc =bc2bc=12 又A为三角形内角 A=120 故选C 该题考查的知识点是余弦定理，观察到已知条件是“在ABC中，求A角”，固这应该是一个解三角形问题，又注意到a2=b2+bc+c2给出的三角形三边的关系，利用余弦定理解题比较恰当 余弦定理： a

12、2=b2+c22bccosA， b2=a2+c22accosB， c2=a2+b22abcosC余弦定理可以变形为： cosA=b2+c2a22bc cosB=a2+c2b22ac cosC=a2+b2c22ab7.【答案】B;【解析】解：在ABC中，A=34,b=1,c=2，则a2=b2+c22bccosA=12+(2)2212cos34=1+2+2222=5.所以a=5.故选：B.利用余弦定理a2=b2+c22bccosA解答此题主要考查了余弦定理，考查计算能力，属于基础题8.【答案】C;【解析】解：因为BM=CM，所以MBC为等腰三角形，因为a=3，b=32，c=35由条件可得cosB=

13、a2+c2b22ac=25，所以BMcosB=BC2=32，解得BM=354，所以AM=ABBM=954，可得AMAB=34故选：C由条件利用有道理可求得cosB=25，由于BMcosB=BC2=32，解得BM的值，进而可求AM=ABBM的值，即可得解AMAB的值这道题主要考查了余弦定理，等腰三角形的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题9.【答案】AD;【解析】解：A，在三角形内，若cosA=cosB，则A=B，ABC为等腰三角形，故A正确，B，由余弦定理可得b2=92+1122911cos55，b唯一，只有一解，故B错误；C，在ABC中，acosA=bcosB，由正弦定理，得s

14、inAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A=2B，即A=B或A+B=2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误；D，若sin2A+sin2Bsin2C，则根据正弦定理得a2+b2c2,cosC=a2+b2c22absinC，所以bc，则BC，故正确；B.因为a=26,b=4，A=4，由正弦定理得asinA=bsinB，则sinB=bsinAa=42226=33，因为ab，所以AB，则B(0,4)，所以有一解，故错误；C.因为bcosBccosC=0，所以sinBcosBsinCcosC=0，即sin2B=sin2C，所以2B=2C或2B+2C=，

15、即B=C或B+C=2，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；D.因为ABC面积为S,S=14(a2+b2c2)，所以12absinC=142abcosC，即sinC=cosC，因为C(0,)，所以C=4.故正确，故选：AD.运用正弦定理结合条件逐项计算求解可判断即可此题主要考查正余弦定理的应用，属中档题11.【答案】AB;【解析】解：ABC中，a=4，b=5，面积S=53，所以12absinC=53，解得sinC=32，即C=3或23，当C=3时，c2=a2+b22abcosC=16+2520=21，解得c=21，当C=23时，c2=a2+b22abcosC=16+25+20=61，解得

16、c=61.故选：AB.直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果此题主要考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题12.【答案】BD;【解析】此题主要考查解三角形，利用余弦定理以及三角形面积公式求解.由条件和余弦定理，化角为边，可得到(ab)(a2+b2c2)=0，得到三角形为等边三角形或直角三角形，分别求面积即可.解：ab=ccosBccosA=a2+c2b22ab2+c2a22b，化简得(ab)(a2+b2c2)=0，所以a=b或a2+b2=c2，若a=b，又因为A=3,a=6，则三角形为正三角形，所以S=34a2=323，若a2

17、+b2=c2，三角形为直角三角形，A=3,a=6，b=2,c=22，所以S=12ab=3，故选BD.13.【答案】BCD;【解析】此题主要考查了解三角形，属于中档题.利用正弦定理以及余弦定理判断四个选项的正误即可解：对于A，若a2b2+c2，则b2+c2a20，即有cosA=b2+c2a22bcc2，则a2+b2c20，即cosC0，即C为锐角，不能说明A，B也是锐角，故C错；对于D，若A:B:C=1:2:3，则A=30，B=60，C=90，故a:b:c=sin30:sin60:sin90=1:3:2.故D错.故选：BCD.14.【答案】3，2）;【解析】解：()由已知得1cos(BC)2+s

18、inBsinC=14，化简得1cosBcosCsinBsinC2+sinBsinC=14，整理得cosBcosCsinBsinC=12，即cos(B+C)=12，由0B+C，可求B+C=3，A=23，根据余弦定理，得a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc=b2+(2b)2+b(2b)=b22b+4=(b1)2+3又由b+c=2，知0b2，可得3a24，所以a的取值范围是3,2)故答案为：3,2)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得cos(B+C)=12，由0B+C，可求B+C=3，进而可求A的值根据余弦定理，得a2=(b1)2+3，又b+c=2，可求范围0b2，进而可求a的取值范

19、围这道题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题15.【答案】等腰直角三角形;【解析】解：在ABC中，a，b是它的两边长，S是ABC的面积，S=14(a2+b2)=12absinC，可得sinC=a2+b22ab1再由sinC1，可得sinC=1，故有C=90，且a=b，可得：ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形由条件可得S=14(a2+b2)=12absinC，可得sinC=a2+b22ab1.再由sinC1，求得sinC=1，故有C=90，且a=b，由此即可判断ABC是等腰直角三角形这道题主要考查了三角型的面积公式，正

20、弦函数的值域，基本不等式的应用，属于中档题16.【答案】2;【解析】解：asinA+bsinBcsinC=677asinBsinC， a2+b2c2=677absinC=2abcosC， 677sinC=2cosC，可得：tanC=276，cosC=11+tan2C=34， a=3，b=2， cosC=a2+b2c22ab=9+4c2232=34， 解得：c=2故答案为：2利用正弦定理化简已知，结合余弦定理，可得a2+b2c2=677absinC=2abcosC，化简可求tanC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，由余弦定理即可解得c的值 此题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基

21、本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17.【答案】;【解析】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，在以下结论中：AH.(AB+BC)=AH.ACAH.AB，故不正确，AH.ACAH2，故不正确，AC.AH|AH|=|AC|cosHAC=c.sinB，故正确，BC.(ACAB)=BC.BC=BC2=b2+c22bc.cosA，故正确，综上可知正确，故答案为：根据向量加法的三角形运算法则，得到两个向量的数量积，得到不正确，根据向量数量积的意义得到不正确，正确，根据向量的减法和余弦定理得到正确，该题考查向量在几何中的应用，本题解答该题的关

22、键是熟练向量的定义和向量数量积的性质和运算律本题是一个中档题目18.【答案】4;【解析】此题主要考查了余弦定理的应用，属于基本知识的考查.由题意可设：a=2x，b=6x，c=3+1x，所以A最小，利用余弦定理可求得cosA=b2+c2a22bc=22，结合范围A0,，解得角A即可.解：a:b:c=2:6:3+1，可设：a=2x，b=6x，c=3+1x，所以A最小，利用余弦定理可得：cosA=b2+c2a22bc=6+3+124263+1=22.由A0,，可得：A=4.故答案为419.【答案】解：（1）若a=7，b=5，A=3，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，即49=25+c2-

23、25c12，整理可得：c2-5c-24=0，又c0，解得c=8（2）由ca=k，可得c=ka，若B为直角，则tanA=ac，所以k=1tanA=33；若C为直角，则sinA=ac，所以k=1sinA=233；故k的值为33，或233由正弦定理k=ca=sinCsinA=233sinC，因为C（0，23），所以sinC（0，1，故k（0，233;【解析】(1)利用余弦定理列式即可求解c的值；(2)分B为直角，C为直角讨论即可求解；利用正弦定理，将k表示成角C的函数求值域此题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题20.【答案】解：()由bsin2Aasi

24、n(A+C)=0，得bsin2A=asinB，又由正弦定理，知：sinAa=sinBb,则asinB=bsinA，所以bsin2A=bsinA，所以2bsinAcosA=bsinA，又0A，所以sinA0，则2cosA=1，所以A=3.()由ABC的面积为332及A=3，得12bcsin3=332，即bc=6，又a=3，从而由余弦定理得b2+c22bccosA=9，所以b+c=33，所以1b+1c=b+cbc=32.;【解析】()由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦定理化简已知等式可得2cosA=1，即可解得角A的值；()利用三角形面积公式可求bc=6，利用余弦定理可得b+c=3

25、3，继而得出1b+1c的值.此题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用.21.【答案】解：连接AC，在ABC中,AC=42+52=41，cosACB=541,sinACB=441cosACD=cos(23ACB)=(12)541+32441=435241，在三角形ACD中，AD=41+322413435241=65123;【解析】此题主要考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题连接AC，利用勾股定理求出AC，然后在三角形ACD中利用余弦定理求解AD即可22.【答案】解：(1)在ABC中，2acosC+bcos

26、C+ccosB=0，由正弦定理可得：2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，2sinAcosC+sin(B+C)=0，又ABC中，sin(B+C)=sinA0.cosC=12.0C14可化为：sin(2x6)12，进而利用正弦函数的图象和性质可求解集(2)由(1)可知sin(A6)=12，结合范围6A63，可得A=3，由正弦定理，余弦定理及b=1，解得a=b=c=1，根据三角形的面积公式即可求解此题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质以及正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题 学科网（北京）股份有限公司