大学微积分总复习课件.ppt

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1、需熟悉的内容(特别是三角函数)第一部分初等函数初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数1.幂函数幂函数2.指数函数指数函数3.对数函数对数函数4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数(注意：注意：x用弧度表示用弧度表示)余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数三角函数常用公式三角函数常用公式(前前5个必须记下来个必须记下来)5.反三角函数反三角函数:幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三三角函数和反三角函数统称为角函数统称为基本初等函数基本初等函数.第二部分函数与极限单侧极限单侧极限左极限左极限:右极限右极限:定理定理.极限存在的充

2、要条件是左极限等于右极限极限存在的充要条件是左极限等于右极限.无穷大包括：正无穷大，负无穷大无穷大包括：正无穷大，负无穷大无穷大量与无穷小量的关系两个重要极限两个重要极限定义定义:例如例如,常用等价无穷小常用等价无穷小:注注1.上述上述10个等价无穷小（包括反、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握对、幂、指、三）必须熟练掌握函数连续点的等价定义第第一一类类间间断断点点oyx可去型可去型oyx跳跃型跳跃型第第二二类类间间断断点点oyx无穷型无穷型oyx振荡型振荡型闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最值值和和有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连续的

3、函数一定有最大值和最小值连续的函数一定有最大值和最小值.故该函数在闭区间内一定是有界函数故该函数在闭区间内一定是有界函数.推论：在闭区间上连续的函数必取得推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.三个定理的应用：注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的的零点零点有关闭区间上连续函数命题的有关闭区间上连续函数命题的证明方法证明方法10直接法：先利用最值定理直接法：先利用最值定理,再利用再利用介值定理介值定理;20间接法（辅助函数法）：先作辅助间接法（辅助函数法）：先作辅助函数函数,再利用零点定理再利用零点定理.辅助函数的作法辅助函

4、数的作法（1 1）将结论中的）将结论中的(或或x x0 0或或c c)改写成改写成x x;（2 2）移项使右边为）移项使右边为0 0，令左边的式子为，令左边的式子为F F(x x),),则则F F(x x)即为所求即为所求.区间一般在题设中或要证明的结论区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证中已经给出，余下只须验证F F(x x)在在所讨所讨论的区间上论的区间上连续，连续，再比较一下两个端点再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介处的函数值的符号，或指出要证的值介于于F F(x x)在所在所论论闭区间上的最大值与最小闭区间上的最大值与最小值之间值之间.总结：求极限的

5、方法1.求连续函数的极限：直接代入法;2.求x趋于点a时分式的极限，先判断分母的极限：(1)分母极限不为0，直接代入点a得分式极限；(2)分母极限为0,分子极限不为0,原极限为无穷大；(3)分子和分母的极限都为0,采用洛比塔法则求原极限.3.求两个根式相减的极限时，先有理化.有时可转化为两个重要极限来求.4.若一个函数在某点的极限为振荡极限，但该函数为有界函数，则该函数与一个无穷小的乘积是无穷小.第二部分一元函数微分学其它形式其它形式一、导数的定义注意注意:2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变是函数平均变化率的逼近函数化率的逼近函数.单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2.右导数

6、右导数:例例解解导数的几何意义导数的几何意义法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为注注1.链式法则链式法则“由外向里，由外向里，2.逐层求导逐层求导”.2.注意中间变量注意中间变量.推广推广求导的方法求导的方法二、隐函数及其导数隐函数隐函数因变量与自变量的对应法则用一个因变量与自变量的对应法则用一个方程表示的函数方程表示的函数.即即方法：对隐函数直接求导方法：对隐函数直接求导.注意此时注意此时y=y(x),只要方程中某项含有只要方程中某项含有y,则求导后这一项一定则求导后这一项一定含有含有先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利

7、用隐函然后利用隐函数的求导方法求出导数数的求导方法求出导数.目的是目的是利用对数的性质简化求导运算利用对数的性质简化求导运算.-对数求导对数求导法法微分的定义微分的定义会求会求函数的微分函数的微分,微分与可导的关系微分与可导的关系，一阶微分形式不变性。一阶微分形式不变性。.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理洛比塔法则适用范围：即：函数之比的极限等于导数之比的极限即：函数之比的极限等于导数之比的极限.注意：注意：洛必达法则与其它求极限方法洛必达法则与其它求极限方法结合使用效果更好，比如能化简先化结合使用效果更好，比如能化简先化简，利用等价无穷小替换等简，利用等价无穷小替换等.单

8、调性的判别法导数为正，则函数单调增；导数为正，则函数单调增；导数为负，函数单调减导数为负，函数单调减.利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式将要证的不等式作恒等变形（通常是将要证的不等式作恒等变形（通常是移项移项),使一端为使一端为0,另一端即为所作的辅助另一端即为所作的辅助函数函数f(x)求求验证验证f(x)在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性与与区间端点处的函数值或极限值作区间端点处的函数值或极限值作比较即得证比较即得证.注：有时无法判别注：有时无法判别 的符号，则可先的符号，则可先讨论讨论 的符号，再转到上述第二步的符号，再转到上述第二步.曲线凹凸性的判定函数的二阶导数大于函数的二

9、阶导数大于0,0,曲线为凹函数；若小于曲线为凹函数；若小于0,0,则为凸函数则为凸函数.确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:求极值的步骤求极值的步骤:求最值的步骤求最值的步骤:（3)如果已知最值存在，比较在端点、驻点如果已知最值存在，比较在端点、驻点 和导数不存在的点的函数值。另外，还可以和导数不存在的点的函数值。另外，还可以根据在根据在整个定义域整个定义域上函数的一（二）阶导数上函数的一（二）阶导数的符号来判断的符号来判断.导数及最值在经济学中的应用1.成本函数,收入函数,利润函数2.边际分析3.弹性4 求最大利润，最小平均成本等最值问题要求要求:会求各种函数,并理

10、解相应的经济意 义；会求经济学中的最值问题。一元函数积分学第三部分一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：定义：任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量 为为求求不定积分，只须求出被积函数的一个不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可原函数再加上积分常数即可.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的的.基基本本积积分分表表是常数是常数);说明说明：以上以上1313个公式是求不定积分的基础，称为个公式是求不定积分

11、的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握基本积分表，必须熟练掌握.一、两类积分换元法：一、两类积分换元法：（一）一）凑微分凑微分（二）二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表二、分部积分法二、分部积分法:合理选择合理选择 u,v，正确使用，正确使用 分部积分公式分部积分公式求不定积分的方法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将说明说明化为化为例例 求求解解方法方法1 当被积函数是三角函数相乘时，拆当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分开奇次项去凑微分.例例 求求解解例例解解注意：注意：分母拆项分母拆项

12、是常用的技巧！是常用的技巧！说明说明(2)(2)三角代换法三角代换法三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令注意：所作代换的注意：所作代换的单调性单调性.对三角代换对三角代换而言，掌握着而言，掌握着取单调区间取单调区间即可即可.说明说明(3)(3)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例 求求解解令令注意：要用分部积分法注意：要用分部积分法(1)被积函数可以写成一个函数乘以另一被积函数可以写成一个函数乘以另一个个 函数的导数的形式。函数的导数的形式。三、分部积分法最后预祝大家：考出好成绩！顺利过关！另，有个别同学平时作业较少或未交的,将扣平时分.