大学实变2-1解析.ppt

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1、第一节第一节 外、内测度外、内测度 可测集可测集第二章 测度理论1.1.引言引言其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xiRiemann积分回顾（分割定义域）测度1.区间上的测度=“长度”(mE表示区间E的测度)2.测度公理(以0,1为基本集)思考：设思考：设E E为为0,10,1中的中的有理数有理数全体，求全体，求E E的测度的测度(“(“长度长度”)用黎曼积分：对区间0,1进行分割：0=x0 x1x20时,与E有公共点的区间的长度和即为E的长度,则显然有mE=1.同理，对0,1中的无理数点集，也可求得其测度为1.注:这显然和m0,1=1相矛

2、盾了思考：设思考：设E E为为0,10,1中的中的有理数有理数全体，求全体，求E E的测度的测度(“(“长度长度”)用测度公理：注意到有理数集E是可列的，因此有 E=x1,x2,xn,依常识单点集xk的“长度”为0，因此按照测度公理有 mE=mx1+mx2+=0思考：设思考：设E E为为0,10,1中的中的有理数有理数全体，求全体，求E E的测度的测度(“(“长度长度”)证明：由于E为可列集，再由的任意性知mE=0()2.有界开集的测度定义：设G为非空有界开集，则G有结构表示：我们定义开集G的测度为它的一切构成区间长度的和，即注:由于G有界，故mG与级数项的顺序无关3.有界闭集的测度定义：设F

3、为非空有界闭集，任取一个包含F的开区间(a,b),令G=(a,b)-F,则G为开集.我们定义闭集F的测度为注:F的测度与任取的区间(a,b)无关.例例1.1.求求CantorCantor集的测度集的测度对0,1区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为CantorCantor集集第n次去掉的开区间留下的闭区间12n定义：令称P0=0,1-G=0,1Gc 为Cantor集即有：即有：mG=1,mPmG=1,mP0 0=0=0注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间b.P0的“长度”为0，去掉的区间长度和4.开集

4、测度的性质定理:(1)设G1,G2 是两个有界开集，且G1包含于G2，则有mG1mG2 (单调性)(2)设有界开集G是有限个或可列个开集G1,G2，的并，则有mGmGk (半可加性)如果Gk之间互不相交，则mG=mGk(完全可加)引理2.1证明.（outline）仅证n=2时.根据对闭集的测度的定义mFk=k-k-m(Fk的补集)而且m(F1F2)=2-1-m(F1F2的补集)接下去如何找关系？定理2.2证明.（outline）要利用前面的引理.设G的构造区间为(ak,bk),k=1,2,.根据有限覆盖定理，令Fk=F(ak,bk),则Fk为含在互不相交的开集中的闭集推论5 Lebesgue外(内)测度为E的Lebesgue外测度。定义：设E为有界集，一切包含E的开集的测度的下确界，即为E的Lebesgue内测度。定义：设E为有界集，所有含于E中的闭集的测度的上确界，即6.6.LebesgueLebesgue外测度的性质外测度的性质（b）单调性：（a）非负性：，当E为空集时，例：例：CantorCantor集的外测度为集的外测度为0 0。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集证明：令第n次等分后留下的闭区间为