试谈-“几何直观”与“直观想象”资料.ppt

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1、试谈-“-“几何直几何直观”与与“直直观想想象象”一、几何直观一、几何直观义务教育数学课程标准：义务教育数学课程标准：义务教育数学课程标准：义务教育数学课程标准：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，象，象，象，有助于有助于有助于有助于探索解决问题的思路，预测结果。探索解决问题的思路，预测结果。探

2、索解决问题的思路，预测结果。探索解决问题的思路，预测结果。几何直观几何直观几何直观几何直观可以帮助可以帮助可以帮助可以帮助直观地理解数学，在整个数学学直观地理解数学，在整个数学学直观地理解数学，在整个数学学直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。案例案例案例案例2 2 2 2：原来每天写：原来每天写：原来每天写：原来每天写10101010个字个字个字个字,每周写每周写每周写每周写5 5 5 5天。现在每天多写天。现在每天多写天。现在每天多写天。现在每天多写2 2 2 2个字个字个字个字,每周写每周写每周

3、写每周写7 7 7 7天。现在每周比原来多写多少字？天。现在每周比原来多写多少字？天。现在每周比原来多写多少字？天。现在每周比原来多写多少字？2 2 2 27 7 7 7？1010字字5 5天天多种算法多种算法多种算法多种算法：理解：理解：理解：理解描述描述描述描述探索探索探索探索2 2 2 27 7 7 7101010102 2 2 22 2 2 25 5 5 5121212122 2 2 2121212127 7 7 7101010105 5 5 5数学认知风格：代数型；几何型数学认知风格：代数型；几何型数学认知风格：代数型；几何型数学认知风格：代数型；几何型5 5 5 5天多写的双休日写

4、的天多写的双休日写的天多写的双休日写的天多写的双休日写的7 7 7 7天多写的原天多写的原天多写的原天多写的原2 2 2 2天写的天写的天写的天写的手段手段手段手段一、几何直观一、几何直观义务教育数学课程标准：义务教育数学课程标准：义务教育数学课程标准：义务教育数学课程标准：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形借助几何直观可以把复杂的数学问题

5、变得简明、形象，象，象，象，有助于有助于有助于有助于探索解决问题的思路，预测结果。探索解决问题的思路，预测结果。探索解决问题的思路，预测结果。探索解决问题的思路，预测结果。几何直观几何直观几何直观几何直观可以帮助可以帮助可以帮助可以帮助直观地理解数学，在整个数学学直观地理解数学，在整个数学学直观地理解数学，在整个数学学直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。案例案例案例案例3 3 3 3：1：理解：理解：理解：理解描述描述描述描述探索探索探索探索本质上都是本质上都是本质上都是本质上都是看出来的看出来的看

6、出来的看出来的、预测、预测、预测、预测手段手段手段手段一、几何直观一、几何直观义务教育数学课程标准：义务教育数学课程标准：义务教育数学课程标准：义务教育数学课程标准：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，象，象，象，有助于有助于有助于有助于探索解决问题的思路，预测结果。探索解决问题的思路，预测结果

7、。探索解决问题的思路，预测结果。探索解决问题的思路，预测结果。几何直观几何直观几何直观几何直观可以帮助可以帮助可以帮助可以帮助直观地理解数学，在整个数学学直观地理解数学，在整个数学学直观地理解数学，在整个数学学直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。孔凡哲、史宁中：孔凡哲、史宁中：孔凡哲、史宁中：孔凡哲、史宁中：几何直观是指，借助于见到的几何直观是指，借助于见到的几何直观是指，借助于见到的几何直观是指，借助于见到的(或想象出来的或想象出来的或想象出来的或想象出来的)几何几何几何几何图形图形图形图形的形象

8、关系，对数学的研究对象的形象关系，对数学的研究对象的形象关系，对数学的研究对象的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量空间形式和数量空间形式和数量空间形式和数量关系关系关系关系)进行直接感知、整体把握的进行直接感知、整体把握的进行直接感知、整体把握的进行直接感知、整体把握的能力能力能力能力。的能力。的能力。的能力。的能力。：理解：理解：理解：理解描述描述描述描述探索探索探索探索、预测、预测、预测、预测一、几何直观一、几何直观孔凡哲、史宁中：孔凡哲、史宁中：孔凡哲、史宁中：孔凡哲、史宁中：几何直观是指，借助于见到的几何直观是指，借助于见到的几何直观是指，借助于见到的几何直观是指，借助于见到的

9、(或想象出来的或想象出来的或想象出来的或想象出来的)几何几何几何几何图形图形图形图形的形象关系，对数学的研究对象的形象关系，对数学的研究对象的形象关系，对数学的研究对象的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量空间形式和数量空间形式和数量空间形式和数量关系关系关系关系)进行直接感知、整体把握的进行直接感知、整体把握的进行直接感知、整体把握的进行直接感知、整体把握的能力能力能力能力。感知：感知：感知：感知：感觉、知觉的统称感觉、知觉的统称感觉、知觉的统称感觉、知觉的统称客观事物通过感觉器官在人脑中的直接反映客观事物通过感觉器官在人脑中的直接反映客观事物通过感觉器官在人脑中的直接反映客观事物通过

10、感觉器官在人脑中的直接反映整体把握：整体把握：整体把握：整体把握：高层次的思维高层次的思维高层次的思维高层次的思维全面的、深层次的理解全面的、深层次的理解全面的、深层次的理解全面的、深层次的理解认认认认二、相关概念的辨析二、相关概念的辨析 几何直观与直观几何？几何直观与直观几何？几何直观与直观几何？几何直观与直观几何？基于直观的数学思维基于直观的数学思维基于直观的数学思维基于直观的数学思维 侧重直观的几何课程侧重直观的几何课程侧重直观的几何课程侧重直观的几何课程 几何直观与几何直觉？几何直观与几何直觉？几何直观与几何直觉？几何直观与几何直觉？倾向于整体把握、洞察倾向于整体把握、洞察倾向于整体把

11、握、洞察倾向于整体把握、洞察倾向于本能意识、猜想倾向于本能意识、猜想倾向于本能意识、猜想倾向于本能意识、猜想 几何直观与空间观念？几何直观与空间观念？几何直观与空间观念？几何直观与空间观念？空间观念是几何直观的基础空间观念是几何直观的基础空间观念是几何直观的基础空间观念是几何直观的基础几何直观是空间观念的运用与升华几何直观是空间观念的运用与升华几何直观是空间观念的运用与升华几何直观是空间观念的运用与升华 “课标课标课标课标(实验稿实验稿实验稿实验稿)”中的中的中的中的“空间观念空间观念空间观念空间观念”已涵盖几何直观已涵盖几何直观已涵盖几何直观已涵盖几何直观案例案例案例案例4 4：如图，：如图

12、，：如图，：如图，“”“”与与与与“”“”，哪个面积大哪个面积大哪个面积大哪个面积大?几何直观与几何推理？几何直观与几何推理？几何直观与几何推理？几何直观与几何推理？几何推理始于几何直观（两层意思）几何推理始于几何直观（两层意思）几何推理始于几何直观（两层意思）几何推理始于几何直观（两层意思）l几何公理依赖直观几何公理依赖直观几何公理依赖直观几何公理依赖直观l直观帮助发现几何规律直观帮助发现几何规律直观帮助发现几何规律直观帮助发现几何规律几何推理确认几何直观几何推理确认几何直观几何推理确认几何直观几何推理确认几何直观有时，几何直观具有几何推理难以企及的优势有时，几何直观具有几何推理难以企及的优

13、势有时，几何直观具有几何推理难以企及的优势有时，几何直观具有几何推理难以企及的优势案例案例案例案例5 5 5 5：正方形盒内放相同月饼，使月饼直径最大。：正方形盒内放相同月饼，使月饼直径最大。：正方形盒内放相同月饼，使月饼直径最大。：正方形盒内放相同月饼，使月饼直径最大。1 1个个个个2 2个个个个4 4个个个个二、相关概念的辨析二、相关概念的辨析 几何直观与数形结合？几何直观与数形结合？几何直观与数形结合？几何直观与数形结合？共同部分：共同部分：共同部分：共同部分：“形使数更直观形使数更直观形使数更直观形使数更直观”区别部分：区别部分：区别部分：区别部分：“数使形更入微数使形更入微数使形更入

14、微数使形更入微”几何本身也要依靠直观几何本身也要依靠直观几何本身也要依靠直观几何本身也要依靠直观 几乎所有的举例都是几乎所有的举例都是几乎所有的举例都是几乎所有的举例都是“数形结合数形结合数形结合数形结合”。有没有不是数形结合的几何直观呢？有没有不是数形结合的几何直观呢？有没有不是数形结合的几何直观呢？有没有不是数形结合的几何直观呢？欧氏几何公理是相当纯粹的几何直观，基本不靠欧氏几何公理是相当纯粹的几何直观，基本不靠欧氏几何公理是相当纯粹的几何直观，基本不靠欧氏几何公理是相当纯粹的几何直观，基本不靠数形结合。数形结合。数形结合。数形结合。案例案例案例案例6 6 6 6：两点之间的连线线段最短。

15、：两点之间的连线线段最短。：两点之间的连线线段最短。：两点之间的连线线段最短。案例案例案例案例7 7 7 7：一般的平行四边形不是轴对称图形。：一般的平行四边形不是轴对称图形。：一般的平行四边形不是轴对称图形。：一般的平行四边形不是轴对称图形。依靠直观确认，难以证明。依靠直观确认，难以证明。依靠直观确认，难以证明。依靠直观确认，难以证明。二、相关概念的辨析二、相关概念的辨析三、直观想象三、直观想象高中数学课程标准：高中数学课程标准：高中数学课程标准：高中数学课程标准：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解

16、决数学问题的利用图形理解和解决数学问题的过程过程。主要包括。主要包括：借助空间认识借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数利用图形描述、分析数学问题学问题；建立形与数的联系建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路决问题的思路。直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础思维基础。在直观想象核心素养的形成

17、过程中，学生能够进一步发展几何在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维感悟事物的本质，培养创新思维。是几何直观与空间想象能力的整合是几何直观与空间想象能力的整合是几何直观与空间想象能力的整合是几何直观与空间想象能力的整合把把把把“想象想象想象想象”去掉，实际上就是去掉，实际上就是去掉，实际上就是去掉，实际上就是“数形结合数形结合数形结合数形结合”何小亚何小亚何小亚何小亚三、直观想象三、直观想象 克莱

18、因克莱因：数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。数学的直观就是对概念、证明的直接把握。希尔伯特：希尔伯特：在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向向。一种是抽象的倾向另一种是直观的倾向，即更直接地掌另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它们的生动的形象们的生动的形象”。史宁中：史宁中：史宁中：史宁中：数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的

19、发展数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。人获得知识所凭借的，是先天的同时又依赖于经验的人获得知识所凭借的，是先天的同时又依赖于经验的“直观直观能力能力”,数学抽象能力与这种直观能力是同构的，也是一种依赖数学抽象能力与这种直观能力是同构的，也是一种依赖于经验的先天抽象能力。于经验的先天抽象能力。讨论这种抽象至少可以给数学教育提供两个重要启迪讨论这种抽象至少可以给数学教育提供两个重要启迪：一个一个是受教育者应当在适当的时机给予适当的教育；另一个是在传授是受教育者应当在适当的时机给予适当的教育；另一个是在传授知识的同时也应当

20、注重培养受教育者的直观能力。知识的同时也应当注重培养受教育者的直观能力。直观能力：并不局限于几何；直观能力：并不局限于几何；是一种整体把握、深刻洞察是一种整体把握、深刻洞察 四、直观能力的实践解读四、直观能力的实践解读 1.1.1.1.直观对于数学直观对于数学直观对于数学直观对于数学教学教学教学教学具有双重意义具有双重意义具有双重意义具有双重意义 一方面，一方面，它它是数学抽象的基础与数学认知的支撑；是数学抽象的基础与数学认知的支撑；另一方面，另一方面，它它又是数学理解又是数学理解、抽象的重要内涵与数学抽象的重要内涵与数学认认知知的深化的深化。2.2.2.2.有必要区分直观的层次有必要区分直观

21、的层次有必要区分直观的层次有必要区分直观的层次 直观感知：感性认识；具体的直观感知：感性认识；具体的直观感知：感性认识；具体的直观感知：感性认识；具体的 直观理解：理性认识；一般的直观理解：理性认识；一般的直观理解：理性认识；一般的直观理解：理性认识；一般的 直观洞察：理性认识的升华；深刻的直观洞察：理性认识的升华；深刻的直观洞察：理性认识的升华；深刻的直观洞察：理性认识的升华；深刻的其他数呢？其他数呢？还需要再举例吗？为什么？还需要再举例吗？为什么？ab案例案例8 8：运算律：运算律四、直观能力的实践解读四、直观能力的实践解读 3.3.3.3.直观直观直观直观并非局限于几何直观（数形结合）并

22、非局限于几何直观（数形结合）并非局限于几何直观（数形结合）并非局限于几何直观（数形结合）案例案例9 9：百米赛跑，速度越快，时间越短：百米赛跑，速度越快，时间越短 路程一定，速度与时间成反比例路程一定，速度与时间成反比例 经验直观经验直观几何直观几何直观 案例案例1010：因数与积的大小关系：因数与积的大小关系几何直观不如经验直观几何直观不如经验直观五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略 以几何直观为主，其他直观为辅以几何直观为主，其他直观为辅直观直观语言直观语言直观语言直观语言直观替代物直观替代物直观替代物直观替代物直观实物直观实物直观实物直观实物直观模象直观模象直观模象直观模象直观图

23、形直观图形直观图形直观图形直观图像直观图像直观图像直观图像直观经验直观经验直观经验直观经验直观五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略 以几何直观为主，其他直观为辅以几何直观为主，其他直观为辅 1.1.1.1.加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立 2.2.2.2.加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用 一直大量采用，一直大量采用，一直大量采用，一直大量采用，需要提升水平需要提升水平需要提升水平需要提升水平 如：停留在看图找规律水平上如：停留在看图找规律水平上如：停留在看图找规律水平上如：停留在看图找规律水平上 案例案例案

24、例案例11111111：看数列更易发现规律看数列更易发现规律看数列更易发现规律看数列更易发现规律看图解释规律看图解释规律看图解释规律看图解释规律五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略 以几何直观为主，其他直观为辅以几何直观为主，其他直观为辅 3.3.3.3.加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练 如：示意图如：示意图如：示意图如：示意图线段图线段图线段图线段图韦恩图韦恩图韦恩图韦恩图长方形图长方形图长方形图长方形图 对应型直观：函数与图像、分数应用题与线段图对应型直观：函数与图像、分数应用题与线段图对应型直观：函数与图像、分数应用题与线段图对应型直观：函

25、数与图像、分数应用题与线段图 模式识别、匹配模式识别、匹配模式识别、匹配模式识别、匹配 构造型直观：没有已知、明显、约定的对应关系构造型直观：没有已知、明显、约定的对应关系构造型直观：没有已知、明显、约定的对应关系构造型直观：没有已知、明显、约定的对应关系 类比迁移、顿悟；合理的对应关系类比迁移、顿悟；合理的对应关系类比迁移、顿悟；合理的对应关系类比迁移、顿悟；合理的对应关系 案例案例案例案例12121212：奇偶数的示意图（几何模型）：奇偶数的示意图（几何模型）：奇偶数的示意图（几何模型）：奇偶数的示意图（几何模型）后测题之一：后测题之一：后测题之一：后测题之一：如果一个很大的奇数和一个很大

26、的偶数相加，如果一个很大的奇数和一个很大的偶数相加，如果一个很大的奇数和一个很大的偶数相加，如果一个很大的奇数和一个很大的偶数相加，和一定是奇数么？为什么？和一定是奇数么？为什么？和一定是奇数么？为什么？和一定是奇数么？为什么？l少数用个位相加说明少数用个位相加说明少数用个位相加说明少数用个位相加说明l多数用几何模型说明多数用几何模型说明多数用几何模型说明多数用几何模型说明nm (2 (2 (2 (2n n1)1)1)1)2 2 2 2mm2(2(2(2(n nm m)1 1 1 1（具有一般性具有一般性具有一般性具有一般性）131313138 8 8 8 2 2 2 2mm2 2 2 2n

27、n1 1 1 1五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略 以几何直观为主，其他直观为辅以几何直观为主，其他直观为辅 3.3.3.3.加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练 案例案例案例案例13131313：田径队男生平均体重：田径队男生平均体重：田径队男生平均体重：田径队男生平均体重42424242千克，女生平均体重千克，女生平均体重千克，女生平均体重千克，女生平均体重38383838千克。全体队员平均体重可能是多少？千克。全体队员平均体重可能是多少？千克。全体队员平均体重可能是多少？千克。全体队员平均体重可能是多少？男女人数相等：男女人数相等：男女人数相

28、等：男女人数相等：(42 (42 (42 (4238)238)238)238)240404040；男生人数更多时男生人数更多时男生人数更多时男生人数更多时,在在在在4040404042424242之间；之间；之间；之间；女生人数更多时女生人数更多时女生人数更多时女生人数更多时,在在在在3838383840404040之间。之间。之间。之间。男人数男人数42女女女人数女人数38男男男人数男人数42女女女人数女人数38男男五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略用矩形图解释加权平均用矩形图解释加权平均用矩形图解释加权平均用矩形图解释加权平均40404040五、直观能力的培养策略五、直观能力的培

29、养策略 以几何直观为主，其他直观为辅以几何直观为主，其他直观为辅 1.1.1.1.加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立 2.2.2.2.加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用 3.3.3.3.加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练 如：示意图如：示意图如：示意图如：示意图线段图线段图线段图线段图韦恩图韦恩图韦恩图韦恩图长方形图长方形图长方形图长方形图 4.4.4.4.重视数学的直观理解重视数学的直观理解重视数学的直观理解重视数学的直观理解什么是理解？什么是理解？理解作为一个过程是指个体运用已

30、有知识、经验去理解作为一个过程是指个体运用已有知识、经验去理解作为一个过程是指个体运用已有知识、经验去理解作为一个过程是指个体运用已有知识、经验去认识未知事物的属性、联系，直至揭示其本质及规律的认识未知事物的属性、联系，直至揭示其本质及规律的认识未知事物的属性、联系，直至揭示其本质及规律的认识未知事物的属性、联系，直至揭示其本质及规律的思维过程。思维过程。思维过程。思维过程。理解理解理解理解是在新情境中灵活运用理论和概念的能力。是在新情境中灵活运用理论和概念的能力。是在新情境中灵活运用理论和概念的能力。是在新情境中灵活运用理论和概念的能力。教师关注理解的表现：教师关注理解的表现：知其然知其然知

31、其然知其然知其所以然知其所以然知其所以然知其所以然解释说明解释说明解释说明解释说明寻找例证寻找例证寻找例证寻找例证概括归纳概括归纳概括归纳概括归纳解决问题解决问题解决问题解决问题五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略 以几何直观为主，其他直观为辅以几何直观为主，其他直观为辅 1.1.1.1.加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立 2.2.2.2.加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用 3.3.3.3.加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练 4.4.4.4.重视数学的直观理解重视数学的直观

32、理解重视数学的直观理解重视数学的直观理解 案例案例案例案例14141414：分数乘除法：分数乘除法：分数乘除法：分数乘除法18321832183218321823182318231823“归一归一”1818的三分之二的三分之二已知一个数的三分之二是已知一个数的三分之二是1818，求这个数，求这个数6 6 6 69 9 9 9语言直观与经验直观的整合语言直观与经验直观的整合语言直观与经验直观的整合语言直观与经验直观的整合 数学教育的中华民族特色数学教育的中华民族特色数学教育的中华民族特色数学教育的中华民族特色五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略 以几何直观为主，其他直观为辅以几何直观为主

33、，其他直观为辅 1.1.1.1.加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立 2.2.2.2.加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用 3.3.3.3.加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练 4.4.4.4.重视数学的直观理解重视数学的直观理解重视数学的直观理解重视数学的直观理解 5.5.5.5.重视数学的直观洞察重视数学的直观洞察重视数学的直观洞察重视数学的直观洞察 直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推

34、理、想象，直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，获得对事物及其关系获得对事物及其关系获得对事物及其关系获得对事物及其关系(规律规律规律规律)的整体把握、本质认识。的整体把握、本质认识。的整体把握、本质认识。的整体把握、本质认识。怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？面积面积（cmcm2 2)长长+宽宽=871周长周长（cm)167用用用用16161616厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？长长宽宽（cm)（cm)71案例案例1515：62-1+1五、直观能力的培养策略

35、五、直观能力的培养策略面积面积（cmcm2 2)长长+宽宽=8716253周长周长（cm)16127-1+1-1+1长长宽宽（cm)（cm)71 +5+5怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？用用用用16161616厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？案例案例1515：五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略面积面积（cmcm2 2)长长+宽宽=87162周长周长（cm)16127-1+1长长宽宽（cm)（cm)7153-1+1 +5+5怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观

36、知其然？怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？用用用用16161616厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？案例案例1515：五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略面积面积（cmcm2 2)长长+宽宽=87162周长周长（cm)16127-1+1长长宽宽（cm)（cm)715315-1+1 +5+5 +3+34 416 +1+1怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？怎样让学生直观知其然？用用用用16161616厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？厘米长铁丝围长方形，面积？厘

37、米长铁丝围长方形，面积？-1+1面积增加越来越小面积增加越来越小面积增加越来越小面积增加越来越小面积定有最大值面积定有最大值面积定有最大值面积定有最大值案例案例1515：五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略 观察观察观察观察类推类推类推类推 验证验证验证验证五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略 以几何直观为主，其他直观为辅以几何直观为主，其他直观为辅 1.1.1.1.加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立 2.2.2.2.加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用 3.3.3.3.加强构造直观的训练加强构造直观的训

38、练加强构造直观的训练加强构造直观的训练 4.4.4.4.重视数学的直观理解重视数学的直观理解重视数学的直观理解重视数学的直观理解 5.5.5.5.重视数学的直观洞察重视数学的直观洞察重视数学的直观洞察重视数学的直观洞察 直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，获得对事物及其关系获得对事物及其关系获得对事物及其关系获得对事物及其关系(规律规律规律规律)的整体把握、本质认识。的整体把握、本质认识。的整体把握、本质认识。的整体把握、本质认识。数学本质

39、上是思维学科数学本质上是思维学科数学本质上是思维学科数学本质上是思维学科 案例案例案例案例16161616：三角形三边关系：三角形三边关系：三角形三边关系：三角形三边关系数学本质上是思维科学数学本质上是思维科学数学本质上是思维科学数学本质上是思维科学 作为数学教师，我们理解了吗？作为数学教师，我们理解了吗？作为数学教师，我们理解了吗？作为数学教师，我们理解了吗？两种处理区别何在？两种处理区别何在？两种处理区别何在？两种处理区别何在？线段公理线段公理线段公理线段公理三边关系三边关系三边关系三边关系构成三角形构成三角形构成三角形构成三角形选择三边长度选择三边长度选择三边长度选择三边长度已知三角形已

40、知三角形已知三角形已知三角形发现三边关系发现三边关系发现三边关系发现三边关系清一色反对琵琶的反思：清一色反对琵琶的反思：清一色反对琵琶的反思：清一色反对琵琶的反思：为什么动物都有的本能，为什么动物都有的本能，为什么动物都有的本能，为什么动物都有的本能，竟成了教学的难点？竟成了教学的难点？竟成了教学的难点？竟成了教学的难点？五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略引入引入引入引入讨论讨论讨论讨论结论结论结论结论应用应用应用应用任意两边之和第三边任意两边之和第三边任意两边之和第三边任意两边之和第三边 两边之和第三边两边之和第三边两边之和第三边两边之和第三边 两边之和第三边两边之和第三边两边之和

41、第三边两边之和第三边推理、想象推理、想象推理、想象推理、想象能消弭难点能消弭难点能消弭难点能消弭难点逆向思维导致难点？逆向思维导致难点？逆向思维导致难点？逆向思维导致难点？依据依据依据依据“真正的儿童数学真正的儿童数学真正的儿童数学真正的儿童数学”数学本质上是思维科学数学本质上是思维科学数学本质上是思维科学数学本质上是思维科学五、直观能力的培养策略五、直观能力的培养策略 首先，想象与经验本身具有局限性。首先，想象与经验本身具有局限性。案例案例案例案例16161616：华罗庚的：华罗庚的：华罗庚的：华罗庚的“困惑困惑困惑困惑”l什么样的六角形钝角什么样的六角形钝角什么样的六角形钝角什么样的六角形

42、钝角10928,10928,10928,10928,锐角锐角锐角锐角 7032,7032,7032,7032,都小于都小于都小于都小于120120120120，不懂！，不懂！，不懂！，不懂！l既说蜂窝是六角形的，又说它是菱形既说蜂窝是六角形的，又说它是菱形既说蜂窝是六角形的，又说它是菱形既说蜂窝是六角形的，又说它是菱形 容器。不懂！容器。不懂！容器。不懂！容器。不懂！l这样想，那样推，无法形成一个形象。这样想，那样推，无法形成一个形象。这样想，那样推，无法形成一个形象。这样想，那样推，无法形成一个形象。l必须请教实物，到底是怎样的形状！必须请教实物，到底是怎样的形状！必须请教实物，到底是怎样的

43、形状！必须请教实物，到底是怎样的形状！l感谢刘崇乐教授，给了一个蜂房感谢刘崇乐教授，给了一个蜂房感谢刘崇乐教授，给了一个蜂房感谢刘崇乐教授，给了一个蜂房六、直观的局限性六、直观的局限性 首先，想象与经验本身具有局限性。首先，想象与经验本身具有局限性。案例案例案例案例16161616：华罗庚的：华罗庚的：华罗庚的：华罗庚的“困惑困惑困惑困惑”想象不出想象不出想象不出想象不出看一眼就知道看一眼就知道看一眼就知道看一眼就知道 案例案例案例案例17171717：“折纸折纸折纸折纸”l一张纸对折一张纸对折一张纸对折一张纸对折30303030次，有多厚？次，有多厚？次，有多厚？次，有多厚？l不可能对折不可

44、能对折不可能对折不可能对折30303030次！次！次！次！l0.10.10.10.1mmmm0.00010.00010.00010.0001mm，不敢想象不敢想象不敢想象不敢想象无法验证无法验证无法验证无法验证 无需验证无需验证无需验证无需验证六、直观的局限性六、直观的局限性0.000120.000120.000120.00012303030308844m10737(10737(10737(10737(mm)一卷一卷8585美元美元12001200米长特米长特制卫生纸折叠了制卫生纸折叠了1111次次 首先，想象与经验本身具有局限性。首先，想象与经验本身具有局限性。其次，其次，直观具有直观具有启

45、发猜想、启发猜想、发现真理功能，却不总能发现真理功能，却不总能兼备证明真理、确保真理可靠性功能兼备证明真理、确保真理可靠性功能(公理除外公理除外)。如同合情推理，本质是一种或然推理如同合情推理，本质是一种或然推理。这是数学自身特点这是数学自身特点(高度抽象与严谨高度抽象与严谨)所决定的。所决定的。一句话：直观具有或然性。一句话：直观具有或然性。有时，可能导致悖论。有时，可能导致悖论。案例案例案例案例18181818：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？六、直观的局限

46、性六、直观的局限性夹角为夹角为夹角为夹角为0 0 0 0平面上两直线平面上两直线相交相交相交相交平行平行平行平行重合重合重合重合(没有交点没有交点没有交点没有交点)(一个交点一个交点一个交点一个交点)(无数交点无数交点无数交点无数交点)间距为间距为间距为间距为0 0 0 0从量变到质变从量变到质变从量变到质变从量变到质变六、直观的局限性六、直观的局限性 直观具有直观具有启发猜想、启发猜想、发现真理的功能，却不总能兼发现真理的功能，却不总能兼备证明真理、确保真理可靠性的功能（公理除外）备证明真理、确保真理可靠性的功能（公理除外）。如同合情推理，本质是一种或然推理如同合情推理，本质是一种或然推理。

47、这是数学自身特点这是数学自身特点(高度抽象与严谨高度抽象与严谨)所决定的。所决定的。一句话：直观具有或然性。一句话：直观具有或然性。有时，可能导致悖论。有时，可能导致悖论。案例案例案例案例18181818：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？有必要指出：有必要指出：将几何直观列为将几何直观列为义务教育数学课程的义务教育数学课程的核心核心追求之一追求之一，有积极意义有积极意义，至少：，至少：有利于加深对直观的认识有利于加深对直观的认识有利于指导直观教学的改进有利于指导

48、直观教学的改进与提升与提升 说到底说到底“直观直观”是人与生俱来的本能，也是抽象的基是人与生俱来的本能，也是抽象的基础，直观的本能犹如础，直观的本能犹如“种子种子”，需要适当的培育，才能，需要适当的培育，才能发芽、生长。发芽、生长。但就小学数学的教学实际而言，只要切实加强空间但就小学数学的教学实际而言，只要切实加强空间观念的培养，观念的培养，强化强化数形结合的数形结合的意识与运用意识与运用，就可以了。，就可以了。因为小学数学历来以直观认识、直观理解为主。因为小学数学历来以直观认识、直观理解为主。到高中，数学学习更多依赖抽象逻辑思维，再来强到高中，数学学习更多依赖抽象逻辑思维，再来强调调直观想象直观想象，恐怕更具实践指导意义。，恐怕更具实践指导意义。谢谢谢谢 谢！谢！谢！谢！欢迎提问欢迎提问欢迎提问欢迎提问 共同探讨共同探讨共同探讨共同探讨跨跨 越越 断断 层层 走走 出出 误误 区区此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢