2018.07.27 数量关系-工程问题、行程问题、排列组合与概率 张小飞 （讲义+笔记）.pdf

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1、 数量关系-工程问题、行程问题、排列组合与概率 主讲教师：张小飞 授课时间：2018.07.27 粉笔公考官方微信 1 数量关系数量关系- -工程问题、行程问题、排列组合与概率（讲义）工程问题、行程问题、排列组合与概率（讲义） 第四节 工程问题 一、给完工时间型 【例 1】 连部安排甲、 乙、 丙三个班完成某项工程， 甲班单独工作需要 4 天，乙班单独工作需要 6 天，而甲、乙、丙三个班共同工作只需要 2 天，则丙班单独工作需要（ ）天完成。 A.11 B.13 C.12 D.14 【例 2】单独完成了某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、15 小时、20 小时，开始三人一起干，后来因工

2、作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作，那么，甲实际工作了（ ）小时。 A.2 B.4 C.5 D.3 二、给效率比例型 【例 3】甲、乙、丙三个施工队共同完成一项工程需要 6 天时间，如果甲与乙的效率之比为 4：3，乙与丙的效率之比为 2：1，则乙单独完成这项工程需要（ ）天。 2 A.12 B.17 C.24 D.32 三、给具体数值型 【例 4】甲、乙两个工程队共同修建一段长为 2100 千米的公路，甲队每天比乙队少修 50 千米，甲队先单独修 3 天，余下的路程与乙队合修 6 天完成，则乙队每天所修公路的长度是（ ） 。 A.130 千米 B.170 千米 C.140

3、 千米 D.160 千米 拓展：牛吃草问题 【例 5】一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周。那么可供 21 头牛吃几周？（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 【例 6】榨汁机均匀地向一只大桶注入果汁，同时有 24 根相同的过滤管排出果汁，若不计杂质，6 小时即可把桶中的果汁排干；若改用 21 根过滤管，8小时可将桶中的果汁排干。现用 16 根过滤管， （ ）小时可将桶中的果汁排干 A.17 B.19 C.18 D.20 第五节 行程问题 【知识点】基础行程问题： 3 1.利用公式直接运算。 路程=速度*时间。 2.火车过桥：火车头

4、开始上桥到火车尾离开桥，走过路程=桥长+车长。 【例 1】 小张和小李从 A 地步行出发前往 B 地， 小张步行速度为 50 米/分钟，小李为 60 米/分钟，小李在 B 地等了 7 分钟后，小张离他还有 150 米。A、B 两地距离为（ ）米。 A.500 B.1000 C.3000 D.5000 【例 2】列车驶过长 400 米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用了20 秒， 接着列车又驶过长 1120 米的铁路桥，从车头上桥到车尾离开桥共用了 50秒。假设列车全程匀速行驶，则其车身长为（ ） 。 A.80 米 B.120 米 C.100 米 D.60 米 【例 3】某客轮以同一速度往

5、返于两码头之间。它顺流而下，行了 8 小时；逆流而上，行了 10 小时。如果水流速度是每小时 3 千米，则两码头之间的距离是（ ） 。 A.180 千米 B.200 千米 C.220 千米 D.240 千米 【例 4】甲、乙两地相距 480 千米，客车和货车同时从两地相向而行，5 小时后在途中相遇，已知客车每小时行驶 50 千米，问货车每小时行驶多少千米？（ ） A.36 B.46 C.38 D.48 4 【例 5】小李和小麦两人从同一起跑线上绕 400 米环形跑道跑步，小李的速度是8米/秒， 小麦的速度是6米/秒， 问第二次追上小麦时， 小李跑了几圈？ （ ） A.10 B.8 C.6 D.

6、4 【例 6】小王和小赵分别从甲、乙两地同时出发相向而行。相遇后又继续前行，小王又经过 1 小时到达乙地，小赵又经过 9 小时到达甲地。那么，小王走完全程用了（ ）个小时 A.4 B.3 C.9 D.12 第六节 排列组合与概率 一、排列组合 例 1.某集团公司组建新的子公司， 由 8 人竞聘子公司的总经理、 财务总监、行政总监、销售总监和技术总监五种职务。最后每种职务都有一个人担当，则共有结果（ ）种。 A.840 B.6720 C.40320 D.120 例 2.老张去探望老李，老张在商店准备挑选三种水果中的一种水果、四种糕点中的两种糕点和四种奶品中的一种奶品作为礼品带给老李。 若不考虑挑

7、选的次序，则他可以有（ ）种不同的选择方法。 A.4 B.24 C.72 D.144 5 例 3.从 1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数字中任选两个数字，要使这两个数字的和为偶数，一共有多少种组合？（ ） A.12 种 B.14 种 C.15 种 D.16 种 例 4.某单位要从 8 名职员中选派 4 人去总公司参加培训，其中甲和乙 2 人不能同时参加。问共有多少种选派方法？（ ） A.40 B.45 C.55 D.60 二、概率 1.基本公式：概率=满足条件的情况数/总情况数。 2.分类分步概率： （1）分步概率公式：概率=各步概率的乘积。 （2）分类概率公式：概率=各类概率的和。

8、3.逆向思维概率公式：概率=1-不满足条件的概率。 例 5.某单位共 100 人， 男女比例为 3:2， 未婚的有 30 人， 现随机抽取一人，结果为已婚男性的最大概率是（ ） 。 A.0.4 B.0.42 C.0.18 D.0.6 例 6.乒乓球队员甲、 乙技术水平相当， 为一决胜负， 他俩需进行五局比赛，规定五局三胜者为胜。 已知前两局比赛甲获胜， 这时乙最终获胜的概率是 （ ） 。 A.1/10 B.1/8 C.1/9 D.1/6 6 例 7.一个办公室有 2 男 3 女 5 位职员，从中随机挑选两位参加培训，那么至少有一位男职员参加的可能性是（ ）。 A.35% B.40% C.55%

9、 D.70% 7 数量关系数量关系- -工程问题、行程问题、排列组合与概率（笔记）工程问题、行程问题、排列组合与概率（笔记） 第四节 工程问题 【知识点】基础知识：从小就学的题型，最熟悉的水管放水问题便是典型的工程问题，不是难题，套路性强，是必做题，军队文职中的考查量不小。 1.基本公式：工作效率*工作时间=工作量。如 1 小时做 30 道数学题，则 3小时做 30*3=90 道题。效率=工作量/时间；时间=工作量/效率，三个量已知两个便可以求第三个。 2.题型分类： （1）给完工时间型（考得最多） 。 （2）给效率比例型。 （3）给具体数值型。 一、给完工时间型 【知识点】1.给完工时间型：

10、给的是完成工作所用时间。如某个水池有甲乙两个水管，单开甲水管 3 小时加满水池，单开乙水管 5 小时加满水池，问甲乙同时开多少时间加满水池？将水池加满即完成这项工作，给的是完工时间，过去会赋值工作量为单位 1，甲效率=1/3，乙效率=1/5，列式：t=工作量/效率=1/（1/3+1/5） ，缺陷是最后一步要通分，要想让效率不出现分数，赋值工作量时需要赋成时间 3、5 的公倍数 15，得到的效率都是整数，甲效率=15/3=5，乙效率=15/5=3，t=15/（5+3）=15/8。 2.方法： （1）赋工作量（时间的公倍数） ，基础计算中讲过，使用短除法求最小公倍数。 （2）计算效率（效率=工作量

11、时间） 。 （3）列方程求解，不见得都列方程，简单题无需设未知数，一个式子便可以做出，复杂题目需要设未知数、列方程。 8 【例 1】 连部安排甲、 乙、 丙三个班完成某项工程， 甲班单独工作需要 4 天，乙班单独工作需要 6 天，而甲、乙、丙三个班共同工作只需要 2 天，则丙班单独工作需要（ ）天完成。 A.11 B.13 C.12 D.14 【解析】 例 1.已知甲的完工时间、 乙的完工时间、 甲乙丙合作的完工时间，是给完工时间型工程问题。 （1）赋值工作量为时间 4、6、2 的公倍数 12； （2）计算效率：甲效率=12/4=3，乙效率=12/6=2，甲效率+乙效率+丙效率=12/2=6，

12、推出：丙效率=6-3-2=1，问丙的完工时间，t丙=工作量/丙效率=12/1=12 天。 【选C】 【注意】任何数学题都可以沿着下述三种方式来思考。 1.识别题型。 2.理论知识（方法、公式） 。 3.读懂题目，列式计算。 【例 2】单独完成了某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、15 小时、20 小时，开始三人一起干，后来因工作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作，那么，甲实际工作了（ ）小时。 A.2 B.4 C.5 D.3 【解析】例 2.并非只有给每个人的时间才是工作时间，几个人共同的时间也是完工时间，给了 3 个完工时间，是给完工时间型工程问题。乙、丙工作时间

13、为 6 小时，甲中途离开，工作时间不足 6 小时。 （1）赋值工作量为时间 10、15、20 的最小公倍数 60 份； （2）用工作量除以各自的时间得到各自的效率，甲效率=60/10=6，乙效率=60/15=4，丙效率=60/20=3； （3）根据题意列方程求解：设甲实际工作 t 小时，工作量=效率*时间，三个人完成 60 份，甲 1 小时做 6 份，工作量为 6*t；乙工作量为 4*6；丙工作量为 3*6，列式：6*t+4*6+3*6=606t=18t=3 小时。 【选 D】 9 【注意】最后一步无法直接列式得到答案，可以设未知数列方程，三个人的工作总量为 60 份。 二、给效率比例型 【知

14、识点】近两三年未考过。 1.给效率的比例关系。 （1）甲、乙效率之比为 3：4，得到效率关系甲：乙=3：4。 （2）给分数/百分数，甲效率是乙效率的 3/4（或 75%） ，可知甲=乙*3/4，为了得到效率比，移项：甲/乙=3/4，75%=3/4。 （3）甲 4 天的工作量等于乙 3 天的工作量，虽然 3 天、4 天是时间，但没有完成这项工作， 给的不是完工时间， 根据工作量相等得： 甲*4=乙*3甲/乙=3/4，得到效率比，碰到这种形式，给的是效率比例关系，能够识别出题型即可。 2.方法： （1）赋效率（为了好算，尽量赋为整数，小数不如整数好算） 。 （2）计算工作量（工作量=效率*时间）

15、。 （3）列方程/式子求解。 【例 3】甲、乙、丙三个施工队共同完成一项工程需要 6 天时间，如果甲与乙的效率之比为 4：3，乙与丙的效率之比为 2：1，则乙单独完成这项工程需要（ ）天。 A.12 B.17 C.24 D.32 【解析】例 3.题目中给出效率比例，是给效率比例型工程问题。 （1）尽量赋值效率为整数，甲：乙=4：3=8：6，乙：丙=2：1=6：3，乙的效率既有 3 又有2，可以把乙的效率统一为 2 和 3 的倍数 6，甲：乙：丙=8：6：3，则赋甲的效10 率为 8，乙的效率为 6，丙的效率为 3； （2）工作量=效率*时间，唯一的时间是 6天，是甲、乙、丙三个工程队共同的时间

16、，工作量=（8+6+3）*6=17*6=102； （3）列式求解：t=工作总量/乙效率=102/6=17 天，对应 B 项。 【选 B】 三、给具体数值型 【知识点】方法：给工作量/工作效率/工作量和工作效率的具体数值，第一种给完工时间型是赋值工作总量求效率，列式求解；第二种给效率比例赋值效率再计算量，列式求解；给具体数值型中给了具体数值，无需赋值，直接过渡到第三步的列式求解，是工程问题中最简单的一类，用方程法便可以做出。 【例 4】甲、乙两个工程队共同修建一段长为 2100 千米的公路，甲队每天比乙队少修 50 千米，甲队先单独修 3 天，余下的路程与乙队合修 6 天完成，则乙队每天所修公路

17、的长度是（ ） 。 A.130 千米 B.170 千米 C.140 千米 D.160 千米 【解析】例 4.修路修的是路的长度，如 1 天修 800 米/1000 米（效率） ，共修 1 万米（工作总量） 。给了工作量 2100 千米，是给具体数值型工程问题，使用方程法， 无需赋值。 求谁设谁， 设乙队每天修路 x 千米， 工程由甲、 乙合作完成，甲队每天比乙队少修 50 千米，可知甲每天修（x-50）千米，甲单独做 3 天，余下部分合作 6 天完成， 列式：（x-50） *3+ （x-50+x） *6=2100， 3x-150+12x-300=2100，15x=2550，解得 x=170。

18、【选 B】 【知识点】给的是具体人数，题目给多个人，默认每人在单位时间内工作效率相同，人数=效率数，相当于给出效率。 例：某工程队有 50 名工人，修一条路需要 8 天。在修了 2 天后，调走一半工人。问修完剩余的还需要几天？ 答：题目给多个人，默认每个人在单位时间内的效率是相同的为 1，有多少人效率就是多少，50 名工人效率就是 50。列式求解： “调走一半工人”效率变为50-25=25，设修完剩余的还需要 t 天，50*2+（50-25）*t=50*8。 11 拓展：牛吃草问题 【知识点】编制考试中的小题型，套路性强，2015 年的军队文职考试中出现过。 1.特征：有消耗有增加；有相同句型

19、。 2.公式：原有草量=（牛数-草生长的量）*时间。类似工程问题，给的是多头牛，默认每头牛在单位时间内吃草量是单位 1，即牛的效率是单位 1，几头牛就可以吃几份草，牛数代表牛吃草的量，6 头牛吃 6 份草。草在匀速生长，如草每天长 4 份，6 头牛来吃，6 头牛吃 6 份，假设草原的原有草量是 12 份，吃 6份增加 4 份，每天减少 6-4=2 份，减少 12 份需 6 天。 3.简写为：y=（N-x）*T。x 是草生长的量，y 是原有草量，N 是牛数，T 是时间。 【例 5】一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周。那么可供 21 头牛吃

20、几周？（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 【解析】例 5.识别题型：牛吃草是对草的消耗，草每天都在生长（增加） ，有消耗、 有增加， “可供 27 头牛吃 6 周， 供 23 头牛吃 9 周， 供 21 头牛吃几周” ，三句句型相同，是“且”关系，为牛吃草问题。根据所给的两个条件，可以列出两个方程：y=（N-x）*T，y=（27-x）*6；y=（23-x）*9，二元一次方程组，不难解，=：27*6-6x=23*9-9x，解得 x=15，代回（代回任何一个方程均可） ：y=（27-15）*6=72。再套一次公式，72=（21-15）*T，解得 T=72/6=12。 【选C】 【例 6】

21、榨汁机均匀地向一只大桶注入果汁，同时有 24 根相同的过滤管排出果汁，若不计杂质，6 小时即可把桶中的果汁排干；若改用 21 根过滤管，8小时可将桶中的果汁排干。现用 16 根过滤管， （ ）小时可将桶中的果汁排干 A.17 B.19 12 C.18 D.20 【解析】例 6.识别题型，牛吃草问题有消耗、有增加、有相同句型， “过滤管排出果汁”便是减少果汁， “榨汁机均匀地向一只大桶注入果汁”便是增加果汁，有消耗、有增加，24 根 6 小时、21 根 8 小时、16 根？小时是相同句式。公式：y=（N-x）*T，y 代表原有果汁量，x 代表果汁增加的速度，T 永远是时间（小时、天、周、月、年均

22、可） ，N 表示过滤管的数量，此时量与字母一一对应了，给的数据均是 N、T。根据 24 根 6 小时列方程：y=（24-x）*6，根据 21 根 8小时列方程：y=（21-x）*8，两元一次方程组，解得 x=12，y=72，根据 16 根？小时列方程：72=（16-12）*TT=72/4=18。 【选 C】 【注意】问最多用？根过滤管才能保证果汁永远排不完。问最多，一根、两根排不完，21 根可以排完，不可以，x 是果汁在单位时间增加的量，x=12，说明果汁一小时可以增加 12 份， 一小时排 13 份会减少 1 份， 时间足够长， 早晚排干，要想永远排不完，一小时排放不能超过 12 份，最大排

23、放 12 份，比如 1 小时倒入12 份，排出 12 份，原有的 72 份没有动，永远排不完。问最多有多少头牛才能保证永远吃不完，算出的牛数 x 是多少就选多少，同理，算出的根数 x 是多少就选多少。 【答案汇总】1-5：CDBBC；6：C 【小结】工程问题： 1.给定时间型：考得较多。 13 （1）特征：给多个完成时间。 （2）方法：赋工作量是时间的公倍数（短除法） ；计算效率；列方程求解。 （3）技巧：工作量一般赋公倍数，公倍数难算用乘积。例 2 的三个时间是10、15、20，可以赋值工作量为 60，也可以赋值为 15*20=300，计算不要出错即可。 2.给定效率型：了解即可，军队文职未

24、考过。 （1）特征：给多个效率的比例关系。 （2）方法：赋效率；计算工作量；列方程求解。 （3）技巧：按比例赋效率、尽量赋整数。 3.给具体数值值：了解即可，军队文职未考过。方法：方程法。 4.拓展：牛吃草。 （1）特征：有消耗有增加（牛吃草是消耗，草生长是增加；过滤管排出果汁是消耗，榨汁机榨汁是增加） ；有相同句型。套公式、列方程。 （2）公式：y=（N-x）*T。求 x、y，给出牛数求时间，再套公式列方程求解。问要想排不完最多放几根过滤管，则 x 是多少便选多少。 第五节 行程问题 【注意】行程问题：从小就学，各类考试中难度相对较大，简单题、中等难度题目可做，难题随缘，备考时间短，抓住可以

25、学会的，可以做的行程问题分为四类：基础行程问题、流水行船问题、相遇追及问题、比例行程。 【知识点】基础行程问题： 1.利用公式直接运算。 路程=速度*时间。 2.火车过桥：火车头开始上桥到火车尾离开桥，走过路程=桥长+车长。 【知识点】行程问题：基础行程问题。 1.利用公式直接计算，S=V*T、T=S/V、V=S/T，用两个量可以表示第三个量。 14 2.火车过桥，速度、时间无猫腻。行程问题中，想不明白时画图，与几何题中的画图类似，可以帮助理解题意，题目越复杂，画图的作用越大，养成边读题边画图的习惯，做题会更快。当火车头开始上桥，是开始过桥（起始时间），火车尾开始下桥时，是结束过桥（结束时间）

26、。标准要统一，要看车头就都看车头，走过的路程=桥长+火车长，要看车尾就都看车尾，走过的路程=火车长+桥长，两种标准结果相同，与人过桥的区别在于人、汽车、自行车、电动车过桥时，默认为一个点，路程默认为桥本身，火车的长度不能忽略。 【例 1】 小张和小李从 A 地步行出发前往 B 地， 小张步行速度为 50 米/分钟，小李为 60 米/分钟，小李在 B 地等了 7 分钟后，小张离他还有 150 米。A、B 两地距离为（ ）米。 A.500 B.1000 C.3000 D.5000 【解析】例 1.方法一：默认小张和小李是同时出发的（此处不够严谨，否则无法解） ，小李、小张同时出发，小李先到 B 地

27、，在 B 地等了 7 分钟，小张离B 地还有 150m，问 A、B 两地的距离，用 S 表示距离，两人的速度已知，可以用各自的路程除以各自的速度得到各自的时间，时间关系中有 7 分钟，这 7 分钟小李停着、小张在走，即 t张-t李=7，小李从 A 走到 B，t李=S/60；小张未到 B 地，t张=（S-150）/50，两人时间差是 7min： （S-150）/50-S/60=7，方程两边同时乘以 50、60 的公倍数 300，6（S-150）-5S=7*300，得到普通的一元一次方程，解得 S=3000 米。设时间也可以做，本质相同。 15 方法二：行程问题中，求路程，大部分行程问题的速度、时

28、间、路程都是整数，如果求路程，给速度或时间，便可以猜是速度或时间的整数倍，小李、小张所走时间很可能是整数，路程是小张的速度 50 的整数倍，无法排除；路程是小李的速度 60 的整数倍，仅 C 项满足。 【选 C】 【例 2】列车驶过长 400 米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用了20 秒， 接着列车又驶过长 1120 米的铁路桥，从车头上桥到车尾离开桥共用了 50秒。假设列车全程匀速行驶，则其车身长为（ ） 。 A.80 米 B.120 米 C.100 米 D.60 米 【解析】 例 2.火车过桥问题。 从车头进入到车尾离开， 是完整的火车过桥，故第一次火车过隧道走过的路程=隧道长+火

29、车长。 从车头上桥到车尾离开是一个完整的火车过桥，故第二次走过的路程=桥长+火车长。设车身长为 L 米，根据题意列式：400+L=20V、1120+L=50V，*5 可得：2000+5L=100v，*2 可得：2240+2L=100v，*2-*5 可得：3L=240，解得 L=80。 【选 A】 【知识点】流水行船问题：近几年在考试中出现的频率比较少，是行程问题中的传统题型，掌握最基本的知识即可。 1.顺水行船：路程=（船速+水速）*时间。 2.逆水行船：路程=（船速-水速）*时间。 3.题目如果要设置难度，可能会给船在静水中的速度，船在静水中的速度即水是静止的，速度是船速。如果问漂流瓶，漂流

30、瓶的速度是水速。 【例 3】某客轮以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下，行了 8 小时；16 逆流而上，行了 10 小时。如果水流速度是每小时 3 千米，则两码头之间的距离是（ ） 。 A.180 千米 B.200 千米 C.220 千米 D.240 千米 【解析】例 3.有顺流、逆流、水流速度，流水行船问题。设两码头之间的距离为S， 顺水： S= （V船+3） *8， 逆流： S= （V船-3） *10， 联立可得： 8V+24=10V-30，解得 V船=27，代入中可得：S=（27+3）*8=240。 【选 D】 【注意】猜题：行程问题中的时间、速度一般是整数，路程=速度*时间，故路程是

31、时间或速度的整数倍，给了 10 小时、8 小时，只有 B、D 项是 8 的倍数，蒙一个即可。 【知识点】相遇追及问题：掌握基本公式；找路程差、路程和的特点。 1.相遇问题：两人两地同时出发，相向而行。路程和（相遇距离）=（大速度+小速度）*相遇时间。例子：某天小猪佩奇和猪猪侠约会，从两端往中间走。假设经过 t1分钟两人相遇，设猪猪侠的速度 V大，小猪佩奇的速度 V小。则猪猪侠的路程 S大=V大*t1，小猪佩奇的路程 S小=V小*t1。两人的路程和=S大+S小，时间一样，则 S和=（V大+V小）*t1。 2.追及问题：两人两地同时出发，同向而行。路程差（追及距离）=（大速度-小速度）*追及时间。

32、例子：假设乔治从家出发追佩奇，乔治跑得比较快，速17 度为 V大，佩奇的速度为 V小，乔治用 t2的时间追到佩奇，从出发到追上，对于乔治：S大=V大*t2，对于佩奇：S小=V小*t2。路程差=V大*t2-V小*t2=（V大-V小）*t2。 【例 4】甲、乙两地相距 480 千米，客车和货车同时从两地相向而行，5 小时后在途中相遇，已知客车每小时行驶 50 千米，问货车每小时行驶多少千米？（ ） A.36 B.46 C.38 D.48 【解析】例 4.相向即反向、背向，从两地相向而行，即面对面走，相遇问题，公式：S和=（V大+V小）*t，根据题意数据可知：480=（50+V）*5，解得V=480

33、/5-50=96-50=46。 【选 B】 【知识点】环形相遇追及：环形相遇追及考查相遇次数、追及次数通常不止一次。 1.相遇 N 次，路程和为 N环形长； 2.追上 N 次，路程差为 N环形长。 3.例子： （1） 相遇： 两人背对背从同一地点出发， 两人第一次相遇， 路程和为 1 圈；18 相遇 2 次，路程和为 2 圈，依次类推，相遇 N 次，路程和为 N 圈。 （2）追及：追上 1 次，路程差为 1 圈，追上 2 次，路程差为 2 圈。 【例 5】小李和小麦两人从同一起跑线上绕 400 米环形跑道跑步，小李的速度是8米/秒， 小麦的速度是6米/秒， 问第二次追上小麦时， 小李跑了几圈？

34、 （ ） A.10 B.8 C.6 D.4 【解析】例 5.判断题型：问小李追上小麦，题型为追及问题，公式：S差=（V大-V小）*t。环形第 2 次追上，路程差为 2 圈，故 S差=2*400=（8-6）*t，解得 t=800/2=400。S小李=400*8=3200 米，一圈是 400 米，故小李跑了 3200/400=8圈。 【选 B】 【注意】环形同时同地出发，追上几次，路程差就是几圈。 【知识点】1.线形（直线）多次相遇结论：如果两人同时从两端出发（甲从A 地走，乙从 B 地走） ，相遇 N 次，路程和为（2N-1）*S，S 指路的长度。 2.例子：甲乙两人在长 100 米的直路上来回

35、跑，甲的速度为 3m/s，乙的速度为 2m/s，两人同时从路的两端出发，问跑了 10 分钟，一共相遇几次？ 答：直线上多次相遇，S和=（V大+V小）*t。10 分钟=600 秒，故 S和=（2+3）*600=3000 米，假设相遇次数为 N，则（2N-1）*100=3000，解得 N=31/2=15.5次，第 15 次相遇了，第 16 次还没有相遇，故 N 取 15。 【答案汇总】1-5：CADBB 【知识点】比例行程：用比例法解行程问题。 1.什么时候用： （1）题目中给的条件少，无法列方程； （2）可以快速确定题目中甲乙的路程、时间、速度中有一个是相等的、不变的。 （1） 、 （2）满足其

36、一即可。 2.怎么用： （1）先找不变量（时间、路程、速度） ； （2）计算比例。大部分题目都是考查路程一定的题目，少部分考查时间一定的题目。 19 3.比例关系：S 一定，v、t 成反比；t 一定，S、v 成正比；v 一定，S、t成正比。例子： （1）路程一定，甲乙的路程一定，V甲*T甲=V乙*T乙，则 V甲/V乙=T乙/T甲。 （2）时间一定：甲乙的时间相等，S甲=V甲t，S乙=V乙t，则 S甲/S乙=（V甲t）/（V乙t）=V甲/V乙。 （3）速度一定：S甲/S乙=t甲/t乙。 【例 6】小王和小赵分别从甲、乙两地同时出发相向而行。相遇后又继续前行，小王又经过 1 小时到达乙地，小赵又经

37、过 9 小时到达甲地。那么，小王走完全程用了（ ）个小时 A.4 B.3 C.9 D.12 【解析】例 6.2015 年军队文职的真题。边读题边画图，如图，相向而行，相遇后又继续前行，求小王走完全程用了多少小时，后面部分的时间已知，求出前面部分的时间再加和即可。小王在丙乙走了 1h，设小王在甲丙走了 t 小时，则小赵走乙丙用了 t 小时。本题给的条件少，不好列方程，考虑比例法。 （1）确定不变量：小王从甲到乙、小赵从乙到甲，路程都是甲乙之间的距离，因此路程相等。 （2）计算比例：路程相等，速度与时间成反比，没有用给速度，对甲乙分析无法得出有效数字；拆开分析，先分析甲丙再分析乙丙，小王和小赵都走

38、了甲丙、乙丙。对于甲丙：路程一定，v、t 成反比，即 V王/V赵=t赵/t王=9/t，对于乙丙，路程一定，v、t 成反比，则 V王/V赵=t赵/t王=t/1。即 9/t=t/1，t=9，解得t=3，故小王走完全程用了 3+1=4 小时。 【选 A】 【答案汇总】1-5：CADBB；6：A 20 【知识点】行程问题： 1.基础行程（） ： （1）基本公式：S=vt。 （2）火车过桥：路程=桥长+火车长。 2.流水行程： （1）顺水：路程=（船速+水速）*时间。 （2）逆水：路程=（船速-水速）*时间。 3.相遇追及（） ： （1）公式：相遇：路程和=（大速度+小速度）*时间。追及：路程差=（大速

39、度-小速度）*时间。 （2）路程和、路程差：线形：画图确定。环形：n*环形长（n 为相遇、追及次数） 。线形多次相遇： （2N-1）*S，S 指路的长度。 4.比例行程（） ： （1）S 一定，v、t 成反比；t 一定，S、v 成正比；v 一定，S、t 成正比。 （2）方法：确定不变量，找比例。 第六节 排列组合与概率 【知识点】 排列组合： 考试的题目比高中要简单很多， 掌握基本概念即可。 1.加法和乘法： （1）加法原理：分类用加法。例：小夏要穿连衣裙去约会，分别有粉、21 白、 绿、 蓝四种颜色，一步能完成用加法， 因此选连衣裙有 1+1+1+1=4 种情况。 （2）乘法原理：分步用乘法

40、。例：小夏要穿上衣和裤子去约会，上衣有T 恤、衬衫、校服，裤子有牛仔裤、休闲裤，上衣有 3 种选择，裤子有 2 种选择，若只选上衣不选裤子，完不成选衣服这件事，说明一步完不成，分步用乘法，共有 3*2=6 种情况。 2.排列和组合： （1）排列（A）：与顺序有关，对于一件事，如果只改变顺序，发现结果改变，说明有顺序，用排列 A。例：粉笔开分校，从 9 个同事中选 3 个出差，第一个人去西安， 第二个人去杭州， 第三个人去三亚。 假设第一次选出的是甲、乙、丙，第二次选出的是乙、丙、甲，甲本来要去西安，后来要去三亚，说明结果发生改变，用排列 A，为 A（9,3），9 表示总数，3 表示选出来的数。

41、 （2）组合（C）：与顺序无关。例：从 9 人中选 3 人去三亚培训，假设第一次选出的是甲、乙、丙，第二次选出的是乙、丙、甲，结果没改变，都是甲、乙、丙三人去三亚，说明顺序对结果没有影响，没顺序用组合 C，为 C（9,3），9 表示总数，3 表示选出来的数。 3.如何计算： （1）A（9,3）：从 9 开始，3 个连续的整数相乘，即 9*8*7。 （2）C（9,3）：分子为 A（9,3）=9*8*7，分母从 3 开始乘到 1，为 3*2*1，C（9,3）=（9*8*7）/（3*2*1）。 （3）A（10,4）=10*9*8*7，C（10,4）=（10*9*8*7）/（4*3*2*1）。 （4）

42、C（9,6）=（9*8*7*6*5*4）/（6*5*4*3*2*1）=（9*8*7）/（3*2*1）=C（9,3），即 C（n,m）=C（n,n-m）。同理，C（11,9）=C（11,2）=（11*10）/（2*1）=55，C（100,90）=C（100,10）。 4.逆向公式：满足条件的情况数=总数-不满足条件情况数。假设问班级中女生有多少人，若正面不好计算，则用逆向公式，女生人数=总数-男生人数。 例 1.某集团公司组建新的子公司， 由 8 人竞聘子公司的总经理、 财务总监、行政总监、销售总监和技术总监五种职务。最后每种职务都有一个人担当，则共有结果（ ）种。 22 A.840 B.672

43、0 C.40320 D.120 【解析】例 1.典型的排列组合问法，问结果有多少种。从 8 个人中选 5 个人，先看有没有顺序，假设第一种选择出甲、乙、丙、丁、戊，依次对应五种职务，第二种选择出乙、丙、丁、戊、甲，发现结果改变（每个人对应的职位发生改变），说明有顺序，用排列，为 A（8,5）=8*7*6*5*4=56*1205600，但是明显要小于 C 项 40320。【选 B】 例 2.老张去探望老李，老张在商店准备挑选三种水果中的一种水果、四种糕点中的两种糕点和四种奶品中的一种奶品作为礼品带给老李。 若不考虑挑选的次序，则他可以有（ ）种不同的选择方法。 A.4 B.24 C.72 D.1

44、44 【解析】例 2.条件明确说明不考虑挑选的次序，即无顺序，用组合 C。三种水果挑一种为 C （3,1） ， 四种糕点挑两种为 C （4,2） ， 四种奶品挑一种为 C （4,1） ，若只挑选出水果， 无法完成买礼品这件事， 说明一步完不成， 分步用乘法， C （3,1）*C（4,2）*C（4,1）=3*（4*3）/（2*1）*4=72。【选 C】 【注意】C（n,1）=A（n,1）=n。 例 3.从 1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数字中任选两个数字，要使这两个数字的和为偶数，一共有多少种组合？（ ） A.12 种 B.14 种 C.15 种 D.16 种 【解析】 例 3.想让两

45、个数字的和是偶数， 只能是两个偶数相加 （如 2+4=6） ，或者是两个奇数相加（如 1+3=4）。19 有 4 个偶数、5 个奇数，从 4 个偶数中选 2 个，先选 6 再选 8 和先选 8 再选 6 没有区别，无顺序用组合为 C（4,2）；从 5 个奇数中选 2 个为 C（5,2）。只要选出 2 个数字就可以完成任务，说明一步可以完成，直接用加法，C（4,2）+C（5,2）=4*3/2+5*4/2=6+10=16。【选 D】 【注意】1.对于整数来说，不是奇数就是偶数。 23 2.应试思维：结合选项排除错误思维。 （1）如果无法判断该用组合还是排列，假设用排列，A（4,2）=12，A（5,

46、2）=20，两者无论乘或加都没有对应的选项； （2）假设用组合，C（4,2）=10，C（5,2）=6，两者用乘法，10*6=60，则会发现没有对应的选项。 例 4.某单位要从 8 名职员中选派 4 人去总公司参加培训，其中甲和乙 2 人不能同时参加。问共有多少种选派方法？（ ） A.40 B.45 C.55 D.60 【解析】例 4.方法一：要求甲和乙不能同时参加，要么两人都不去，要么甲和乙只去了一个，有三种情况： （1）甲、乙都不去：单位共 8 人，则从剩下的 6 人中选 4 个，改变顺序对结果没有影响， 都是 4 个人去参加培训， 用组合， 为 C （8-2,4） =C （6,4） =C

47、（6,2）=15。 （2）甲去、乙不去：甲已经确定去，乙已经确定不去，则从剩下的 6 人中选 3 个，为 C（8-2,3）=C（6,3）=20。 （3）乙去、甲不去：与第二种情况相同，乙已经确定去，甲已经确定不去，则从剩下的 6 人中选 3 个，为 C（8-2,3）=C（6,3）=20。三种情况分类用加法，15+20+20=55。 方法二：分类的情况有点多，用逆向公式，满足=总数-不满足，要求甲、乙不能同时去， 反面是甲、 乙同时去。 总情况数是从 8 人中选 4 人， 无顺序为 C （8,4） ，不满足情况是甲、乙同时去，再从剩下的 6 人中选 2 人，为 C（8-2,2）。总数-不满足=C

48、（8,4）-C（6,2）=（8*7*6*5）/（4*3*2*1）-15=70-15=55。【选 C】 【注意】军队文职从来没有考过排列组合的特定方法，不需要增加负担。 【知识点】概率：大部分知识点建立在排列组合的基础上。 1.基本公式：概率=满足条件的情况数/总情况数。例：全班有 8000 人，女同学有 5000 人，从全班中任选 1 人，选到女同学的概率为 5000/8000=5/8。 24 2.分类分步概率： （1）分步概率公式：概率=各步概率的乘积，一步完不成用乘法。 （2）分类概率公式：概率=各类概率的和，一步能完成用加法。 3.逆向思维概率公式：概率=1-不满足条件的概率。总概率恒等

49、于 1，任何事情发生的概率都不可能超过 1，最大为 1，即100%。 例 5.某单位共 100 人， 男女比例为 3:2， 未婚的有 30 人， 现随机抽取一人，结果为已婚男性的最大概率是（ ） 。 A.0.4 B.0.42 C.0.18 D.0.6 【解析】例 5.概率=已婚男性/总人数，总人数为 100，要想让概率最大，则要让已婚男性最多。男女比例为 3：2，相当于一共 5 份，每份为 100/5=20 人，男性占 3 份为 60 人，女性占 2 份为 40 人。未婚的有 30 人，则已婚的有 70 人，让 60 名男性都是已婚的，则已婚男性最多有 60 人，最大概率=60/100=0.6。 【选D】 【答案汇总】1-5：BCDCD 例 6.乒乓球队员甲、 乙技术水平相当， 为一决胜负， 他俩需进行五局比赛，规定五局三胜者