2019.04.02 理论攻坚-数字推理 秦岭（讲义+笔记）（2019军队文职招考公告科目系统班）.pdf

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1、 数量关系-数字推理 主讲教师：秦岭 授课时间：2019.04.02 粉笔公考官方微信 1 数量关系数量关系- -数字推理数字推理（讲义（讲义） 第一节 基础数列 1.等差数列：相邻数字之间差相等 【例】2，5，8，11，14，17， 2.等比数列：相邻数字之间商相等 【例】3，-6，12，-24，48， 3.质数列：只有 1 和它本身两个约数的自然数叫质数 【例】2，3，5，7，11，13，17，19， 4.合数列：只有 1 和它本身外还有其他约数的自然数叫合数 【例】4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20， 5.周期数列：数字或符号之间存在周期性循环 【例】1，2，6，1

2、，2，6， 6.简单递推数列 递推和【例】1，2，3，5，8，13， 递推差【例】15，8，7，1，6，-5， 递推积【例】1，3，3，9，27，243， 递推商【例】54，18，3，6，1/2，12， 【例 1】24，31，38， （ ） ，52 A.45 B.47 C.49 D.51 【例 2】2，3，5，7，11，13， （ ） A.15 B.16 C.17 D.21 【例 3】-2，6，-18，54， （ ） 2 A.-162 B.172 C.152 D.16 【例 4】4，7，11，18，29， （ ） A.35 B.47 C.49 D.61 第二节 特征数列 一、多重数列 【例 1

3、】13，4，11，8，9，16，7，32， （ ） ， （ ） A.5，64 B.3，64 C.5，40 D.3，40 【例 2】1，2，3，6，7，14， （ ） A.30 B.25 C.20 D.15 【例 3】100，42，80，22，66，8，58， （ ） A.0 B.2 C.12 D.8 【例 4】1，1，8，16，7，21，4，16，2， （ ） A.10 B.20 C.30 D.40 3 【例 5】1，2，3，7，10， （ ） ，34，48，82 A.24 B.17 C.19 D.21 二、幂次数列 【例 1】1，16，49，100，169， （ ） A.289 B.324

4、C.361 D.256 【例 2】1，4，27，256， （ ） ，46656 A.625 B.1296 C.3125 D.3750 【例 3】 （ ） ，32，81，64，25，6 A.16 B.36 C.1 D.49 【例 4】27，16，5， （ ） ，1 7A.16 B.1 C.0 D.2 【例 5】1，8，9，4， （ ） ，1 6A.3 B.2 4 C.1 D.1 3【例 6】63，124，215，342， （ ） A.429 B.431 C.511 D.547 【例 7】4，11，30，67， （ ） A.126 B.127 C.128 D.129 三、分数数列 【例 1】4/1

5、7，7/13，10/9， （ ） A.13/6 B.13/5 C.14/5 D.7/3【例 2】6/3，33/3，78/3，141/3， （ ） A. 222/3 B. 182/3 C. 256/3 D. 272/3 【例 3】1/2，2/3，6/5，30/11， （ ） A.54/17 B.150/23 C.150/27 D.330/41 5 【例 4】5 2，2，7 4，8 5，3 2，10 7， （ ） A.11 8B.10 7C.5 3D.7 5【例 5】119，5412，7913，3168，92513， （ ） A.4355B.4365C.2365D.2345四、图形数列 【例 1】

6、 A.25 B.27 C.29 D.31 【例 2】 6 A.6 B.-6 C.-9 D.9 【例 3】 A.480 B.360 C.720 D.540 【例 4】 A.13 B.16 C.18 D.19 【例 5】 7 A.90 B.9 C.12 D.4 第三节 非特征数列 一、多级数列 【例 1】2，4，12，48，240， （ ） A.1645 B.1440 C.1240 D.360 【例 2】5，26，61，110， （ ） A.175 B.173 C.177 D.179 【例 3】7，9，11，15，23，55， （ ） A.133 B.266 C.298 D.311 【例 4】1，

7、10，31，70，133， （ ） A.136 B.186 8 C.226 D.256 【例 5】13，14，16，21， （ ） ，76 A.23 B.35 C.27 D.22 二、递推数列 【例 1】22，35，55，88，141， （ ） A.99 B.111 C.227 D.256 【例 2】2，4，7，13，24，44，81， （ ） A.151 B.149 C.135 D.132 【例 3】6，7，3，0，3，3，6，9，5， （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【例 4】3，7，47，2207， （ ） A.4414 B.6621 C.8828 D.4870847 【例 5】

8、2，1，4，6，26，158， （ ） A.5124 B.5004 9 C.4110 D.3676 【例 6】3，4，6，12，36， （ ） A.81 B.121 C.125 D.216 【例 7】1，1，3，7，17，41， （ ） A.119 B.109 C.99 D.89 10 数量关系数量关系- -数字推理（笔记）数字推理（笔记） 【注意】1.军队文职大纲中有要求数推，需要学习，从题量讲，2015 年考了 3 题，2016 年考了 2 题，2018 年考了 1 题，2017 年没有单独招考。大纲中有数推的内容，2019 年考 0 道的可能不大。 2.军队文职考查内容和公务员考试差别不

9、大，但是军队文职本身的难度低，低的很明显，比事业单位的难度还要低，大多数内容在课上可以听懂，课下可以用粉笔 APP 练习。 3.数字推理可以掌握老师讲的内容，其他没有讲到的考的比较少，现在距离考试时间比较近，在有限时间内，掌握高频考点，用大量时间复习考的不多的题型，性价比不高。 【知识点】数字推理：数字推理难点在于不知道规律，计算不难。第一点难在如何识别题型，拿到题目怎么才能知道属于什么题型；第二点难在解题思路，这是听课的两个重点。 1.基础数列。 2.特征数列： （1）多重数列。 （2）幂次数列。 （3）分数数列。 11 （4）图形数列。 3.非特征数列： （1）多级数列。 （2）递推数列。

10、 第一节 基础数列 【知识点】基础数列：所有数列中的核心，基础部分。 1.等差数列：相邻数字之间差相等。 例：2，5，8，11，14，17，2 和 5 差 3，5 和 8 差 3，相邻数字之间的差相等，下一项为 17+3=20。 2.等比数列：相邻数字之间商（比）相等，即后面除以前得到同样的数字。 例：3，-6，12，-24，48， （-6）/3=-2，12/（-6）=-2，之后两个数字相除都是-2，是等比数列，则下一项是-96。 3.质数数列：只有 1 和它本身两个约数的自然数叫质数。 例：2，3，5，7，11，13，17，19，11 只能写成 1*11，不能拆成其他的，11 就是质数；17

11、=1*17，不能写为其他的，则 17 是质数，19 之后不是 21，21 不仅能写出 1*21，还能是 3*7，则 19 之后是 23。重点记忆 20 以内的质数；2 是质数中唯一的偶数。 4.合数列：除了 1 和它本身外还有其他约数的自然数叫合数。 例：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，9 不仅可以写成1*9，还可以写成 3*3，所以 9 就是合数；12=1*12=2*6=3*4，则 12 是合数。重点记忆 20 以内的合数。合数列中偶数比较多，所以一旦在一串偶数中出现9，15 需要注意，非常可能考合数列，因为 20 以内的合数只有 9 和 15 两个奇数。1 既不是

12、质数也不是合数。 5.周期数列：数字或符号之间存在周期性循环。 例： （1）数字之间的循环：1，2，6，1，2，6，接着填（1，2，6） 。 （2）符号循环：比如：2，3，5，7，11，后面填 13，是质数列。如果是-2，3，-5，7，-11，13， （ ） ，如果不考虑符号，则之后是 17，由于符号是12 负、正、负、正交替，则+13 之后是-17。 6.简单递推数列：由前面数字加减乘除方得到后面的数字，后面的数字由前面的数字生成。 （1）递推和，例：1，2，3，5，8，13，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，第三项等于前两项之和，因此下一项为 8+13=21。 （2）递推差

13、，例：15，8，7，1，6，-5，发现 15-8=7，8-7=1，7-1=6，1-6=-5，第三项等于前两项相减，下一项为 6-（-5）=11。 （3）递推积，例：1，3，3，9，27，243，1*3=3，3*3=9，第三项等于前两项的乘积，则下一项为 27*243。 （4）递推商，例：54，18，3，6，1/2，12，54/18=3，18/3=6，第三项等于前两项相除，则下一项为 1/212=1/24。 【例 1】24，31，38， （ ） ，52 A.45 B.47 C.49 D.51 【解析】例 1.观察发现 24 和 31 差 7，31 和 38 差 7，猜（ ）和 38 差 7，是等

14、差数列，则（ ）=45，验证：45 和 52 也差 7，对应 A 项。 【选 A】 【注意】如果括号在中间，可以通过前面和后面的数字猜规律，之后验证。 【例 2】2，3，5，7，11，13， （ ） A.15 B.16 C.17 D.21 【解析】例 2.2，3，5，7，11，13，17 是质数列，本题是军职的真题，真题会有简单题可以拿分。 【选 C】 【例 3】-2，6，-18，54， （ ） A.-162 B.172 C.152 D.16 【解析】例 3.方法一：6 和-2 是-3 倍关系，-18 和 6 是-3 倍关系，54 和-1813 是-3 倍关系，都是-3 倍关系，是等比数列，则

15、（ ）=54*（-3）=-162，对应 A项。 方法二：本题也可以看是符号，符号是负、正、负、正，则（ ）是负数。【选 A】 【例 4】4，7，11，18，29， （ ） A.35 B.47 C.49 D.61 【解析】例 4.4+7=11，7+11=18，11+18=29，第三项等于前两项相加，是简单的递推和数列，则（ ）=18+29=47，对应 B 项。 【选 B】 【答案汇总】1-4：ACAB 【小结】基础数列： 1.等差数列：相邻数字之间差相等。 2.等比数列：相邻数字之间商相等。 3.质数列：质数：只有 1 和它本身两个约数的自然数。 4.合数列：合数：除了 1 和它本身还有其它约数

16、的自然数。 5.周期数列：数字或符号之间存在周期性循环。 14 6.简单递推数列：递推和、递推差、递推积、递推商。 第二节 特征数列 【注意】之后的数列分为特征数列和非特征数列，特征数列根据数列特点，可以知道套路，所以难度较低。 【知识点】特征数列： 1.多重数列。 2.幂次数列。 3.分数数列。 4.图形数列。 一、多重数列 【知识点】多重数列： 1.题型识别： “多” 。 （1）数字多，7 项；一般的数字推理是 56 个数字，多重数列包括未知项7 项。 （2）括号多，有两个括号。一般一题是一个未知项，有的是两个未知数，可以分为两个数列。 2.解题思路： “拆” 。 （1）先交叉拆：奇数项和

17、偶数项分开看。 （2）分组拆：一般是两两一组，在组内加减乘除找规律；也可以三三分组。 【例 1】13，4，11，8，9，16，7，32， （ ） ， （ ） A.5，64 B.3，64 C.5，40 D.3，40 【解析】例 1.数字个数比较多，括号也比较多，可以考虑多重数列，先考15 虑交叉拆，奇数项：13，11，9，7（ ） ；偶数项：4，8，16，32， （ ） 。看奇数项， 两个数字之间都差 2， 则奇数项 （ ） =5， 偶数项两个数字之间都是 2 倍，则偶数项（ ）=64，选 5 和 64，对应 A 项。 【选 A】 【注意】1.做题需要先看题干，题干找不到答案再结合选项确定。 2

18、.出现两个括号先交叉拆，交叉找不到规律再分组。 【例 2】1，2，3，6，7，14， （ ） A.30 B.25 C.20 D.15 【解析】 例 2.数列包括未知项是 7 项， 可以考虑多重， 先交叉， 奇数项： 1，3，7， （ ） ；偶数项：2，6，14（ ） ；奇数项 1 和 3 差 2，7 和 3 差 4，2，4之后不知道是 6 还是 8，接 6 是等差，接 8 是等比，不确定，看偶数项，2 和 6差 4，6 和 14 差 8，发现奇数项之间的差和偶数项之间的差都是 2 倍关系，则考虑等比，奇数项的差是 2，4，8，说明（ ）=15，对应 D 项。 【选 D】 【注意】本题不能考虑分

19、组，总共是 7 项，两两分组，分不开，所以肯定考虑交叉。 【例 3】100，42，80，22，66，8，58， （ ） A.0 B.2 C.12 D.8 【解析】例 3.方法一：个数比较多，考虑多重，先交叉，奇数项：100，80，66，58；偶数项：42，22，8， （ ） 。奇数项 100 和 80 差 20，80 和 66 差 14，66 和 58 差 8，发现 20，14，8 是相差为 6 的等差数列；偶数项 42 和 22 差 20，22 和 8 差 14，则 8 和（ ）差 8， （ ）=0，对应 A 项。 方法二：多重数列先交叉，交叉不行可以分组，分组一般是两两分组，组内进行加减乘

20、除找规律，本题两两分组是（100，42） 、 （80，22） 、 （66，8） 、 （58，（ ） ） ，100-42=58，80-22=58，66-8=58，发现组内相减都是 58，说明（ ）和 58 差 58， （ ）=0，对应 A 项。 【选 A】 【注意】1.考场想到哪个方法用哪个。 16 2.看不出来规律可以试试加减乘除，如果能看出来规律，可以直接用。 【例 4】1，1，8，16，7，21，4，16，2， （ ） A.10 B.20 C.30 D.40 【解析】例 4.数字比较多，先考虑交叉，奇数项：1，8，7，4，2，偶数项：1，8，16，21，16， （ ） ，看着比较乱，交叉不

21、行，可以分组看，一般是两两分组， （1，1） 、 （8，16） 、 （7，21） 、 （4，16） 、 （2， （ ） ） ，在组内进行加减乘除，本题组内倍数关系明显，考虑除法，分别是 1，2，3，4 倍关系，则 2 和（ ）是 5 倍关系， （ ）=10，对应 A 项。 【选 A】 【例 5】1，2，3，7，10， （ ） ，34，48，82 A.24 B.17 C.19 D.21 【解析】例 5.数字比较多，有 9 项，考虑多重，先交叉，奇数是：1，3，10，34，82，两两之间差 2，7，14，看不出规律，可以分组，两两分组，发现多出 82，分不开，可以三三分组， （1，2，3） 、 （

22、7，10， （ ） ） 、 （34，48，82） ，括号在中间组，先看头和尾，找组内共同的规律，1+2=3，34+48=82，发现前两项相加等于第三项，则（ ）=7+10=17，对应 B 项。 【选 B】 【注意】有的同学选 24，10+24=34，前面会导致 1 多出来，后面 48 和 82也多出来了；有的同学考虑递推和，1+2=3，但是 2+37；有的同学分了（1，2，3） 、 （3，7，10） ，组和组之间有重复，需要分为（1，2，3） 、 （7，10， （ ） ） 、（34，48，82）三组，分组不能有重复，分组之间是独立的，不能从中间随便选三个分组。 【答案汇总】1-5：ADAAB

23、17 【小结】多重数列： 1.题型识别：长7 项；俩括号。 2.解题思路： （1）交叉：奇数项、偶数项分别成规律。 （2）分组：一般二二分，偶尔三三分。如果出现 9 项三三分。 二、幂次数列 【知识点】幂次数列：重点中的重点，是在军队文职中出现频率最高的，需要重点掌握。 1.题型识别： （1）数字本身是幂次数。比如：25、49，属于普通的幂次数列。 （2）周围有幂次数。自己不是幂次数列，比如：65 不是幂次数，但是周围有 64，65=64+1；120 不是幂次数，但是 120=121-1=125-5，这属于修正幂次。 2.解题思路：普通幂次，修正幂次。 3.记忆幂次数： （1） 11=121，

24、 12=144， 13=169， 14=196， 15=225， 16=256， 17=289，18=324，19=361，20=400；重点记忆 120 以内的平方数和 110 以内的立方数。110 的平方不需要记，13 和 14 的平方容易混，可以用尾数判断，3*3 尾数是 9，4*4 尾数是 6；13=169，14=196，16=256 这三个平方容易混，单独记忆。 （2）1=1，2=8，3=27，4=64，5=125，6=216，7=343，8=512，9=729，10=1000。15 的立方肯定会，重点记忆，6=216，7=343，8=512，9=729，10=1000；15=225

25、，5=125 不要混淆。 18 【例 1】1，16，49，100，169， （ ） A.289 B.324 C.361 D.256 【解析】例 1.数字都是几的几次方，可以考虑幂次数列，比较纠结 1，因为1=1n，=（-1）2n=m0（m0） ，比如 10=1=20=60=20190=1，但是知道 16=4，49=7，100=10，169=13，后面都是平方，说明 1=1，看底数，1、4、7、10、13，相邻数字之间差 3，则（ ）=16=256，也可以看尾数法，6*6 尾数是 6，对应 D项。 【选 D】 【注意】0 的零次方没有意义。 【例 2】1，4，27，256， （ ） ，46656

26、 A.625 B.1296 C.3125 D.3750 【解析】例 2.1 的变化形式比较多，先不看，4=2，27=3，256 直接写为16，但是比较乱，此时知道 256=16=44，说明前面的 1=11，之后（ ）可能是55，验证 46656 是不是 66，66=63*63=216*216，尾数是 6，而且 200+*200+=40000+，可以基本确定 46656 是 6 的 6 次方，则（ ）=55，尾数是 5，排除 B、D 项； （ ）=5*5=125*25，肯定不会是 600 多，排除 A 项，对应 C 项。 【选 C】 【例 3】 （ ） ，32，81，64，25，6 19 A.1

27、6 B.36 C.1 D.49 【解析】例 3.本题都是幂次数，考虑幂次数列，32=25，比较小的数字可能考到 56 次方， 需要注意， 81=9=34， 不确定先看后面， 64=8=4， 25=5， 6=61，底数从 25、6 变大了，则 81 可以确定为 34，64=4，说明（ ）=16=1，对应 C项。 【选 C】 【注意】只要掌握思路，考查难度不大。 【例 4】27，16，5， （ ） ，1/7 A.16 B.1 C.0 D.2 【解析】例 4.出现分数，但是本题不是分数数列，因为只有数列全部或者大部分是分数才考虑分数数列，本题只有一个 1/7，则考虑负幂次，1/am=a-m，比如：1

28、/5=5-2，1/6=6-3，则 1/7=7-1，27=3，16=4=2，5=51，发现底数是 3，4，5 比较顺，说明 16=4，6=60，1/7=7-1，此时底数是 3，4，5，6，7，指数是 3，2，1，0，-1，任何非零数字的零次方等于 1，则（ ）=60=1，对应 B 项。 【选 B】 【例 5】1，8，9，4， （ ） ，1/6 A.3 B.2 C.1 D.1/3 【解析】例 5.2=8，9=3，前面底数是 2，3，则 4=41，此时可以确定 1=14，1/6=6-1，底数是 1，2，3，4，5，6，指数是 4、3、2、1、0、 （-1） ，则（ ）=50=1，对应 C 项。 【选

29、 C】 【答案汇总】幂次数列：1-5：DCCBC；6-7：CC 【知识点】常考幂次数： 1.20+：25=5，27=3。 2.30+：32=25，36=6。 20 3.60+：64=8=4=26。 4.120+：121=11，125=5。 5.修正幂次是给幂次数附近的数，难度较大。一个数列出现上面两个或者两个以上附近的数字，可以考虑修正幂次。 【例 6】63，124，215，342， （ ） A.429 B.431 C.511 D.547 【解析】例 6.发现数字本身不是幂次数字，但是幂次周围的，63=64-1，124=121+3=125-1， 215=216-1， 342=343-1， 其他

30、都是数字减 1， 说明 124=125-1。不确定 64，先看后面，124=125-1=5-1，215=216-1=6-1，342=343-1=7-1，说明 63=64-1=4-1，数字都是幂次数减 1，则（ ）=8-1=512-1=511，可以用尾数法，但是只能排除 A、D 项，之后还是需要计算，所以建议记忆这些幂次数。【选 C】 【注意】1.本题可以用其他方法，但是本题幂次比较明显，而且本题用幂次数列是最严谨的。 2.有些题目可以用两种方法解。 【例 7】4，11，30，67， （ ） A.126 B.127 C.128 D.129 【解析】例 7.只看 4 和 11 看不出来，可以看后面

31、的数字，67=64+3，30=32-2=27+3， 对比67出现加3， 则考虑30=27+3， 这样修正项可以统一， 11=8+3，4=1+3，都是一个数字加 3，发现 1，8，27，64 分别是 1，2，3，4，则（ ）=5+3=128，对应 C 项。 【选 C】 【注意】背熟幂次数，看到幂次数附近的数字就会有敏感度。 【答案汇总】6-7：CC 21 【小结】幂次数列： 1.题型识别：数列中有幂次数，或者附近有幂次数。 2.解题思路： （1）普通幂次：从有唯一变化的幂次数入手。比如：1 的变化比较多，可以先看其他数字的规律，之后再推导 1。 （2）修正幂次：找附近的幂次数。 （3）不管是普通

32、幂次还是修正幂次核心思路是还原，还原成几的几次方。 三、分数数列 【知识点】分数数列： 1.题型识别：全部或大部分数字是分数。 2.解题思路：看增减，看分子、分母增减趋势。 （1）分子、分母有增减趋势，比如：分子、分母都是单调递增的，考虑分子、分母分开看，找单独的规律。 （2）如果分子、分母分开看没有规律，可以分子、分母一起看有没有规律， 即前一项的分子、分母和后一项的分子、分母之间有没有关系。如果分子、分母没有增减趋势，一会增，一会降，比较乱，一般考虑反约分。 【例 1】4/17，7/13，10/9， （ ） A.13/6 B.13/5 C.14/5 D.7/3【解析】例 1.全部都是分数，

33、考虑分数数列，分子是 4，7，10，递增趋势，分母：17，13， 9 递减趋势，分开看。4 和 7 差 3， 7 和 10 差 3，分子都是相差 3，则（ ）分子与 10 差 3，是 13；17 和 13 差 4，13 和 9 差 4，则（ ）分母与 922 差 4，是 5，说明（ ）=5/13，对应 B 项。 【选 B】 【例 2】6/3，33/3，78/3，141/3， （ ） A. 222/3 B. 182/3 C. 256/3 D. 272/3 【解析】例 2.数字都有根号，可以统一不看，分子逐渐变大，分母都是 3，可以不看分母，看分子，去掉根号，是 6，33，78，141， （ ）

34、，发现 33 和 6 差27，78 和 33 差 45，141 和 78 差 63，又发现 27 和 45 差 18，45 和 63 差 18，63和 81 差 18， 说明 63 之后是 81， 下一个数字是 141+81=222， 则 （ ） 分子=222， 对应 A 项。 【选 A】 【注意】 1.本题可以不看减法， 看幂次， 141=144-3=12-3， 78=81-3=9-3，33=36-3=6-3，6=9-3=3-3，都是一个数字减 3 的形式，则之后是 15-3=222。 2.不管用减法还是幂次，只要能找到相同的规律即可。 【例 3】1/2，2/3，6/5，30/11， （ ）

35、 A.54/17 B.150/23 C.150/27 D.330/41 【解析】例 3.看分子、分母的趋势，分子、分母都是逐渐变大，分子单独看，1，2，6，30，没有明显规律，分子、分母分开看不行，一起看，找后一项分子、分母和前一项分子、分母的关系，30=6*5，猜测后一项分母=前一项分子*分母，验证发现 2*3=6，1*2=2，则（ ）分子=30*11=330；可以不看分母，因为即使分子分母可以约分， 330 也不可能约分为 54 和 150； 如果看分母， 5+6=11，验证发现 2+3=5，1+2=3，说明后一项分母等于前一项分子加分母， （ ）分母=30+11=41， （ ）=330/

36、41，对应 D 项。 【选 D】 【注意】虽然 2，3，5，11 都是质数，但是 2，3，5，7，11 是质数列，本题少了 7，不能考虑质数列，考虑质数列必须是连续的。 【知识点】分子分母无增减趋势： 23 1.反约分： 比如： 2/6=1/3 是约分， 反约分是 1/3=2/6， 和约分的过程相反，可以把1/3扩大2倍变为2/6， 也可以扩大3倍变为3/9， 或者扩大4倍变为4/12，是无止尽的，根据选项扩大。 2.比如：1/4，2/5，3/6，4/7，可以看出之后的（ ）=5/8；有的直接把中间的 3/6 写为 1/2，比如：1/4，2/5，1/2，4/7， （ ） ，发现分子突然出现 1

37、 不合适，说明 1/2 破坏整体趋势，需要变化一下，则 1/2 变为 3/6，相当于把 3/6还原，再做题目比较简单。 【例 4】5/2，2，7/4，8/5，3/2，10/7， （ ） A.11/8 B.10/7 C.5/3 D.7/5 【解析】例 4.这个数列中除了 2 是整数，其他全部都是分数，考虑分数数列。将 2 变为分数形式，看分子，从 5 到 7，到 8 是逐渐变大的过程，可以将 2写为 6/3；继续向后看，分子 8 和 10 之间应当是 9，则 3/2 反约分为 9/6， （ ）中的分子为 11，分母依次为 2、3、4、5、6、7， （ ）的分母为 8，对应 A 项。【选 A】 【

38、注意】只要题干中全部或大部分是分数的话，就考虑分数数列。 【例 5】119，5412，7913，3168，92513， （ ） A.4355B.4365C.2365D.2345【解析】例 5.单独看整数部分：1、4、9、16、25、 （ ） ，分别为 1、2、3、4、5、 （6）的平方， （ ）的整数部分应当为 36，由此可以排除 A、B 项。单独找分数的规律：1/9、5/12、7/13、3/8、9/13。分子分母没有单独规律，也无法通过反约分来找规律，则上下看，看分子分母的和或看分子分母的差，分子+分母：10、17、20、11、22，无规律。分母-分子：8、7、6、5、4、 （ ） ，接下来

39、24 分母-分子=3，发现 C 项：分母-分子=5-2=3，符合条件，对应 C 项。 【选 C】 【注意】分数的三种形式： 1.真分数，分子比分母小，如 2/5。 2.假分数，分子比分母大，如 7/5。 3.带分数，有整数有分数，如225。 4.题目中出现带分数时，优先看整数和分数部分有无单独规律。 （1）若整数和分数部分有单独规律，则分开找规律。 （2）若整数和分数部分没有单独规律，则将带分数化为假分数，找规律。 【答案汇总】1-5：BADAC 【小结】分数数列 1.题型识别：数列中全部或大部分都是分数。 2.解题思路： （1）分子、分母递增或递减：分子、分母分开看；分子、分母一块看。 （2

40、）分子分母不递增或递减：个别分数不符合趋势，反约分。 （3）分子、分母上下看（和、差规律） 。 四、图形数列 【知识点】图形数列： 1.题型识别：有图形（圆圈、九宫格） 。 2.解题思路： （1）圆圈型：无心，凑相同，交叉凑、横竖凑。 25 有心，凑中心，交叉凑、横竖凑。 （2）九宫格：看横竖、看规律。 【例 1】 A.25 B.27 C.29 D.31 【解析】例 1.无心，凑相同，先交叉凑，若交叉凑不同，再横竖凑。交叉凑：加法无法凑出相同，用减法，10-2=16-8；验证第二个图：11-5=27-21，满足规律，交叉相减等于另外一边交叉相减，求第三个图：29-？=4-2，？=27，对应 B

41、 项。 【选 B】 【注意】本题也可以横竖凑，无论是交叉凑还是横竖凑，都可以得出答案。只是在凑相同的时候，建议大家在凑的过程中有顺序（先交叉，再横竖） ，不至于做题的时候混乱，一会交叉一会横竖，找不出规律。 【例 2】 A.6 B.-6 C.-9 D.9 【解析】例 2.无心，凑相同。交叉凑：21+（-2）=19，9 与 3 无法凑出 19，加、减、乘、除尝试后，发现均不可以，横竖凑。第一个图：21/3=9+（-2） ，上面两项相除=下面两项相加。验证第二个图：147/7=18+3，符合规律。求第三个图：45/3=21+？，？=-6，对应 B 项。 【选 B】 26 【注意】无心凑相同，先交叉

42、，交叉不可以，再考虑横竖凑。按顺序凑，先看加法，加法不可以再看减法，减法不可以再看乘法，乘法不可以再看除法。加减乘除依次来看，顺序不容易乱，规律也比较好找。解题过程看起来比较难，但自己验证的时候比较简单，做出来也比较快。 【例 3】 A.480 B.360 C.720 D.540 【解析】例 3.有心，凑中心。图一：交叉凑，加法不可以，减法不可以，乘法：（3*8） * （2*1） =48， 中间数字=交叉相乘*交叉相乘， 验证图二： 300= （10*5）*（3*2） ，求图三：？=（1*8）*（15*6）=8*90=720，对应 C 项。 【选 C】 【注意】按顺序做，不会乱。 【例 4】

43、A.13 B.16 C.18 D.19 【解析】例 4.有心，凑中心，交叉看，看图一：9=（1*4）+（3+2） ，中间数字=交叉相乘+交叉相加，验证图二：14=（2*4）+（2+4） ，符合条件，求图三：（ ）=（3*4）+（1+6）=12+7=19，对应 D 项。 【选 D】 【注意】凑中心，交叉凑或横竖凑，依次用加减乘除验证。 27 【例 5】 A.90 B.9 C.12 D.4 【解析】例 5.九宫格类，军职真题。 方法一：横着看趋势，第一行、第二行、第三行的趋势均是变大的，因此猜测？42，竖着看，第一列、第二列、第三列的趋势均是变大的，因此猜测？72，对应 A 项。 方法二：按常规思

44、路做，一条龙看：2、6、12、20、30、42、56、72、？，两两做差： 4、 6、 8、 10、 12、 14、 16、 （ ） ， 偶数列， 16 后面是 18， ？=72+18=90。【选 A】 【注意】1.勘误：A 项由 80 改为 90。 2.考试的时候 80 和 90 不会两个同时给，不然就是出题老师不严谨。 【答案汇总】1-5：BBCDA 【小结】图形数列： 1.题型识别：圆圈形、九宫格。 2.解题思路： （1）圆圈形：交叉凑，横竖凑；无心凑相同，有心凑中心。 28 （2）九宫格：看趋势、看横竖。 第三节 非特征数列 一、多级数列 【知识点】多级数列： 1.题型识别：无明显特征

45、。 2.解题思路：一个题目没有特征，就按照多级来做，先看选项之间有无明显的倍数关系： （1）相邻两项之间有明显倍数关系，考虑做商找规律。 （2）无明显倍数关系，考虑做差（做一次、做两次）找规律。 【例 1】2，4，12，48，240， （ ） A.1645 B.1440 C.1240 D.360 【解析】 例 1.相邻两项之间有明显倍数关系， 相邻两项之间依次为 2、 3、 4、5、 （6）倍关系， （ ）=240*6=1440，对应 B 项。 【选 B】 【例 2】5，26，61，110， （ ） A.175 B.173 C.177 D.179 【解析】例 2.无明显倍数关系，先两两做差：2

46、1、35、49、 （ ） ，相邻两项之间相差 14，则 49+14=63，110+63=173，对应 B 项。 【选 B】 【例 3】7，9，11，15，23，55， （ ） A.133 B.266 C.298 D.311 【解析】例 3.无明显倍数关系，先两两做差：2、2、4、8、32、 （ ） ，一定要认出基础数列，为简单的递推积数列，2*2=4，2*4=8，4*8=32，8*32=256，则（ ）=55+256=311，对应 D 项。 【选 D】 29 【例 4】1，10，31，70，133， （ ） A.136 B.186 C.226 D.256 【解析】例 4.无明显倍数关系，先两两

47、做差。做一次差：9、21、39、63、（ ） ，看不出规律。二次做差：12、18、24、 （ ） ，二次做差相差 6，倒推回去：24+6=30，63+30=93，133+93=226，对应 C 项。 【选 C】 【例 5】13，14，16，21， （ ） ，76 A.23 B.35 C.27 D.22 【解析】例 5.无明显特征，两两做差：1、2、5、 （ ） 、 （ ） ，用代入法，代入 A 项，两两做差：1、2、5、2、53，二次做差：1、3、-3、51，没有规律。代入 B 项，两两做差：1、2、5、14、41，再做一次差：1、3、9、27，出现明显的倍数关系，有规律，选择 B 项。 【选

48、 B】 【注意】括号在中间，考虑代入选项。 【答案汇总】1-5：BBDCB 【小结】多级数列： 1.题型识别：变化平缓，没有明显特征。 2.解题思路： （1）相邻项有倍数关系：做商。 （2）无特征：做 1 次差做 2 次差（括号在中间，可考虑代入） 。 30 3.在均值考试中，考除法、减法比较多，考虑加法和乘法的极少，建议大家重点掌握除法和减法。要注意一定是相邻两项相减。 二、递推数列 【知识点】递推数列：难度比较大。 1.题型识别：无明显特征，且不是多级。 2.解题思路：大部分递推都有递增或递减的趋势。 （1）递增：用加法、乘法、乘方。考的更多，重点讲解，和（加法） 、方（平方） 、积（乘积

49、） 、倍（倍数） 。 （2）递减：用减法、除法。倒过来考虑。 【例 1】22，35，55，88，141， （ ） A.99 B.111 C.227 D.256 【解析】例 1.无明显特征，不是多级。 （1）圈仨数，圈不大不小的三个数，太大不方便口算，太小不容易发现规律。圈 33、55、88。 （2）找规律（和、方、积、倍） 。考虑和：35+55-2=88，猜测：前两项相加-修正项=第三项。 （3）做验证，验证 22、35、55，22+35-2=55，满足。55+88-2=141，满足。规律为前两项相加-2=第三项，88+141-2=227，通过计算或者尾数法，均可以得出答案，对应C 项。 【选