第三章-复变函~数地积分(答案~).doc-得力文库

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1、#*复变函数练习题复变函数练习题第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分系系专业专业班班姓名姓名学号学号 1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念 4 原函数与不定积分原函数与不定积分一选择题1设为从原点沿至的弧段，则 C2yx1 i2() Cxiydz（A）（B）（C）（D）15 66i15 66i15 66i15 66i2. 设是，从 1 到 2 的线段，则 C(1)zi ttarg Czdz （A）（B）（C）（D）4 4i(1)4i1 i3设是从到的直线段，则 C012izCze dz （A）（B）（C）（D）12e12e 12ei12ei4设在复平面

2、处处解析且，则积分 ( )f z( )2iif z dzi ()iifz dz（A）（B）（C）（D）不能确定2 i2 i0 二填空题1 设为沿原点到点的直线段，则 2 。C0z 1zi 2 Czdz 2 设为正向圆周，则C|4| 1z 2232 (4)ACzzdzz10. i三解答题 1计算下列积分。（1）3232621 2 1()02iziiziiie dzeee#*（2）22222sin1cos2sin2 224sin2.244iii ii izdzzzzdzieeeeiiii （3）1010sin(sincos )sin1cos1.zzdzzzz（4）2022 20cossin

3、1sinsin().222iizz dzzi 2计算积分的值，其中为正向圆周：|Czdzz AC（1）2200| 22,022224.2ii izCzeeie didi积分曲线的方程为则原积分I =#*（2）2200| 44,024448.4ii izCzeeie didi积分曲线的方程为则原积分I =3分别沿与算出积分的值。 yx2yx10()iiz dz解：(1)沿 y=x 的积分曲线方程为(1) ,01zi tt 则原积分1011200(1) (1)(12 )(1)2Iii ti dtit dtitti （2）沿的积分曲线方程为2yx2,01ztitt 则原积分120113224300(

4、)(12 )3112 32(1)()2.2233Iititit dtttitdttti tti 4计算下列积分(1) ,C:从到的直线段；2() Cxyix dz01 iC 的方程：(1) ,01zi tt ( ), 01( )x ttty tt 或#*则原积分120120(1)1(1).3Ittiti dtiit dt (2) ，C：上沿正向从 1 到。2() Czzz dz| 1z 1C 的方程：,0ize则原积分203 30 0(1)8().33iii iiiIeie deieede #*复变函数练习题复变函数练习题第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分系系专业专业班班姓名姓

5、名学号学号 2 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理 3 基本定理的推广复合闭路定理基本定理的推广复合闭路定理一、选择题1 设在单连通区域内解析，为内任一闭路，则必有 ( )f zBCB（A）（B） Im ( )0 Cf z dz ARe ( )0 Cf z dz A（C）（D）|( )|0 Cf zdz ARe( )0 Cf z dz A2设为正向圆周，则 C1|2z 321cos2 (1)Czzdzz A（A）（B）（C）（D）2(3cos1 sin1)i06cos1i2sin1i3设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分( )f zBCB ( )2( )(

6、 ) ( )Cfzfzf zdzf z A（A）（B）（C）（D）不能确定2 i2 i0 二、填空题1设为正向圆周，则C| 3z |Czzdzz A6. i2闭曲线取正方向，则积分 0 。:| 1Cz 1 22(2)(3)zCedzzz 三、解答题利用柯西积分公式求复积分（1）判断被积函数具有几个奇点；（2）找出奇点中含在积分曲线内部的，若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零；若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式. 1计算下列积分（1）221,:|(0); Cdz Czaa aza #*.

7、 221111 21111=20.22CCCCdzdzzaazazaidzdziazazaaa解：22221112. Cz aCzazaidzizazaa 解法二：由被积函数在内部只有一个奇点，故由柯西积分公式可得（2） 2,:| 2;1Czdz Czz 21111=+=22)2.121+12CCzdzdziiizzz解：（解法二：211zCzz 被积函数在内部具有两个奇点，分别作两个以 1, -1 为心，充分小的长度为半径的圆周 C1、 C2，且 C1和 C2含于 C 内部。由复合闭路定理，12222111112211 2CCCzzzzzdzdzdzzzz zziizz iii （3）2|

8、 | 5| | 531 23 212226.31zzzdzzzdziiizz 同上题中的解法二，#*122| | 513313131 23(3)(1)(3)(1)31312224631zCCzzzzzdzdzdzzzzzzzzziiiiizz（4），其中正向2cos 4 ACzdzz22:4C xyx2coscos /(2)cos22cos2/(22).422CCzzzidzdzizz2计算积分，其中 C 为下列曲线：2(1)Cdz z z A21 21111111 (1)222CCCCCdzIdzdzdzdzz zzzizizzizi（1）; 1:|2Cz 2002.Iii解法二：2 012

10、i dzizdziRie dR i #*复变函数练习题复变函数练习题第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分系系专业专业班班姓名姓名学号学号 5 柯西积分公式柯西积分公式 6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数一选择题。1设是正向圆周，则 C2220xyx2sin()4 1Cz dzz A（A）（B）（C）（D）2 2i2 i02 2i2设为正向圆周，则 C| 2z 2cos (1)Czdzz A（A）（B）（C）（D）sin1sin12sin1i2sin1i3设，其中，则 | | 4( )Aef zdz| 4z ()fi（A）（B）（C）（D）2 i12 i

11、14设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为 C112(1)(1)Czdzzz A（A）（B）（C）（D）以上都有可能2i 2i0二填空题：1闭曲线取正方向，积分:| 3Cz 3(2).(1)zCedzeiz z #*320 11111()()22(1)(1)12!1!zz zzzzC zeeedzieiezzzz 2设，其中，则 0 ， 0 | | 2sin()2( )Af zdz | 2z (1)f (3)f 。2( )=0(3)0zzf zf对满足的所有的，从而三解答题：1设是解析函数且，求。( )f zuiv222uvxyxy( )f z22222.22xxyyuvxyxyxyuv

12、xy uvyx 分别对方程两边关于和求偏导，可得( ).f zuvCR由解析知，和满足方程，从而2222yxxyvvxyvvyx 22222222( )(2)xyvyvxyCuxyCvxf zxyCixyCzC2计算，C 分别为：2(1)(1)Czdzzz A(1)； (2) ； (3) .1|1|2z 1|1|2z | 2z 解：#*2221231111()(1)(1)2 211(1)111 41412 (1)CCCCCzzdzdzzzzzzzzzdzdzdzzzz III （1）120042zziIi（2）11022( ).4222zzzziiIiii （3）111222( )0.4422

13、2zzzzzziiIiiii3，其中为的任何复数，为正向3()zCedzza Aa| 1a :| 1Cz 解：1| 1a （）当时，3()=2;()2zz aC z aeedziieza 2| 1a （）当时，3=0.()zCedzza 4计算下列积分的值，C 为由所围的矩形边界正向。2,2xy (1) 2()2zCedziz #*22222.2=22 . ()2z zziCiCedzieiz 解：由知，含于的内部从而原积分(2)30cos(cos )2.2!Czzdzz zii 复变函数练习题复变函数练习题第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分系系专业专业班班姓名姓名学号学号

14、7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系综合练习题综合练习题一、选择题1下列命题正确的是（A）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有。 12,v vDu12vv（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（C）若在区域内解析，则为内的调和函数。 ( )f zuivDu x D（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。2函数在闭路上及其内部解析，在的内部，则有 ( )f zC0zC（A）（B） 022 00( )1()()()CCf zdzfzdzzzzzAA2 00( )( ) ()CCf zfzdzdzzzzzAA（C）（D）0 2 00()( )1 ()2!CCf z

15、f zdzdzzzzzAA0 2 00()( ) ()CCf zf zdzdzzzzzAA二、填空题1若函数为某一解析函数的虚部，则常数 -3 。32( , )u x yxaxya #*2设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 -u 。( , )u x y( , )v x y( , )v x y3设为负向圆周，且，则C| 4z 5()12zCeidzzi A三、解答题1由下列各已知调和函数求解析函数 ( ).f zuiv（1） 22,(2)0yvfxy22222222222222222222222222222222,C.-R. 2( )( )( )0( )( )1(2)2xy xyyxxyy

16、xyyxyvvxyxyxyxyxyxuu dyv dydyg xxyxyxyxyug xv xyxyxyg xg xCf ziCxyxyf 解：，由方程知，另一方面，从而，。因而，2222110( ).22xyCCf zixyxy （2）arctan,0yvxx2222222arctan11arctan,1x xy yy yyxvxxyy xyxxvxxyy x 解：，#*22 22222222C.-R.1ln()( )2( )( )0( ) 1( )ln()arctanln2yxxyyuu dyv dydyxyg xxy xxug xvxyxyg xg xC yf zxyiCzCx 由方程知

17、，另一方面，从而，。因而解法二：222222222222arctan11arctan,11( )1( )( )lnx xy yyxy yyxvxxyy xyxxvxxyy x xyzfzvivixyxyzzf zfz dzdzzCz ，2求具有下列形式的所有调和函数：u(1)与为常数，且不全为零。 (),uf axby ab解：2 2 22 2 222 22 2212()()()()()();()+=()()0()0()().uf axbyaxbyfaxbyafaxbyxxx uafaxbya faxbyxxub faxbyyuuuabfaxbyxy faxbyf axbyC axbyC 类似

18、可得，从而由调和，#*（2）( )yufx解：2222234222222223422()() ()(),() 2()();11()()1+=2()()()0.2( )(1)yyfuyyyxxffxxxxxx yyfuyyyyxxffxxxxxx uyuyffyxxyxxuuuyyyyyfffxyxxxxxx ytx t fttf ，从而由调和，令，则由上式可得22 23 2 112( )0 2( )ln( )1( ) 2ln( )ln(1)1( )(1)( )()3t tftfttft tftdttCt tftC tf tCtC 3计算积分，C 为以下曲线： 3cos()2Czdz z z A

19、(1)； 1|4z 2330cos2cos16()()22Czzizidz z zz A(2) ； 1|24z#*233 22cos2coscos2sin2cos8 2!()2C zzzizzzzizdzizzzz z A(3) .| 2z 2330 2cos2coscos168 2!()()22Czzzizziizdz z zz A4.设，求的值使为调和函数，并计算解析函数。 sinpxveypv( )f zuiv解：222sin ,sin ;cos ,sin ;0sinsinsin011.pxpx xxxpxpx yyypxpx xxyypxvpeyvp eyveyveyvvvp eyeyeyor pp 由调和可知，因而1sin .sin ,cos ,( )cossin( )( )xxx xyxxz yxzpveyveyveyfzviveyieyef zfz dzeC当时，1sin .sin ,cos ,( )cossin( )( )xxx xyxxz yxzpveyveyveyfzviveyieyef zfz dzeC 当时，

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