《圆、扇形、弓形》学案.docx

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1、圆、扇形、弓形学案圆、扇形、弓形的面积(二) 教学目标： 1、使学生在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积； 2、会计算一些简洁的组合图形的面积 3、通过弓形面积的计算培育学生视察、理解实力，综合运用学问分析问题和解决问题的实力； 4、通过运用弓形面积的计算解决实际问题，培育学生把实际问题抽象成数学问题的实力； 5、通过学生对弓形及简洁组合图形面积的计算，培育学生正确快速的运算实力 教学重点： 弓形面积的计算 教学难点： (1)简洁组合图形的分解 (2)从实际问题中抽象出数学模型 教学过程： 一、新课引入： 上一节我们复习了圆的面积，在它的基础上我们学习了扇形的面积，本节课就

2、要在前一课的基础上学习弓形面积的计算 弓形是一个最简洁的组合图形之一，由于有圆的面积、扇形面积、三角形面积做基础，很简单计算弓形的面积 由于计算弓形的面积不像圆面积和扇形面积那样有公式，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半也就是说要计算弓形的面积首先要视察这个弓形是怎么组合而成的，从而得到启发；一些组合图形的面积总要分解为几个规则图形的和与差来解决的方法所谓规则图形指的是有计算公式的图形因此弓形面积的计算以及受它启发的分解组合图形求面积的方法就是本节课的重点本节拟就三部

3、分组成：1师生共同视察分解弓形，然后作有关的练习2运用弓形面积的计算解决实际问题3受分解弓形的启发分解一些简洁的图形 二、新课讲解： (复习提问)：1请回答圆的面积公式2请回答扇形的面积公 (以上三问应支配中下生回答)4请同学看图7-163，弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形，哪位同学记得弓形的定义？(支配中下生回答：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形) 所组的弓形它的面积能不能跟扇形面积联系上呢？(支配中上生回答：能，连结OA、OB)大家再视察图形，这个弓形的面积如何通过扇形 也就是说组成弓形的弧假如是劣弧，那么它的面积应当等于以此劣弧与半径组成的扇形面积减去这两半径与弦组成的三角形的面

4、积 和半径OA、OB组成的图形是扇形吗？为什么？(支配中上生回答：是，因为它符合扇形的定义) 假如弦AB是O的直径，那么以AB为弦，半圆为弧的弓形的面积又是多少？(支配中下生回答：圆面积的一半) 于是我们得出结论：假如组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；假如组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；假如组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积也就是说：要计算弓形的面积，首先视察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确 哪位同学知道要对这种题进行计算，首先要作什么工作？(支配中下 三角形AOB的面

5、积怎么求？(支配中上生回答：过O作ODAB，垂 以只要解此AOD即可求出OD、AD的长，则SAOB可求) 请同学们把这题计算出来(支配一学生上黑板做，其余在练习本上 请同学们探讨探讨第2题，并计算出它的结果(支配中上生上黑板 (幻灯供应例题：)水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m求截面上有水的弓形的面积(精确到0.01m2) “水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你供应了什么数学信息？(支配中上生回答：O的半径是0.6m)“其中水面高是0.3m”又为你供应了什么信息？(支配中上生回答：弓形高CD是0.3m)“求截面上有水的弓形的面积为你供应什么信息？(支配

6、中等生回答： 长，看看已知条件，你准备怎么办？(支配中上学生回答：因弓形高CD已知，半径已知，所以弦心距OD可求，依据垂径定理，RtAOD可解，即AOD的度数可求，所以AOB的度数可求n既然可求当然 请问AOB的面积又该如何求？(支配中等学生回答：通过解此AOD可求出AD的长，再据垂径定理可求AB的长，OD已求，所以SAOB可求) 请同学们完成这道应用题(支配一位中上学生到黑板做，其余学生在练习本上完成) 弓形面积虽然没有计算公式，但可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决，那么其它一些组合图形，不也可以用图形分解法来求其面积吗？ 幻灯示题：如图7-166，已知正ABC的边长为

7、a，分别以A、B、 图形面积S 明显图形中阴影部分的面积无计算公式，因此必需将它转化为有公式图形的和或差来解决想想看，你准备如何求S阴？(支配中等生回答：S阴=S正ABC-3S扇) 正三角形的边长为a，明显S正ABC可求由于正ABC，所以 请同学们完成此题(支配一中上学生上黑板，其余在练习本上完成) 幻灯示题：已知：O的半径为R，直径ABCD，以B为圆心， 大家视察，图(7-167)中的阴影部分面积应当如何求？(支配中下生回 我的看法对还是不对？为什么？(支配举手的学生回答：图形BCAD不是扇形，因为扇形的定义是在同一个圆中，一条弧和过弧端点的两条半径 的半径因此将阴影面积看成两扇形的差是错误

8、的) 请同学们根据正确思路完成此题(支配一中等学生上黑板，其余学生在练习本上做) 三、课堂小结： 哪位同学能为本节课作总结？(支配中上学生回答：1弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案2应用弓形面积解决实际问题3分解简洁组合图形为规则圆形的和与差) 四、布置作业 教材P183练习1、2；P188中12 圆、扇形、弓形的面积(三) 教学目标： 1、简洁组合图形的分解； 3、通过简洁组合图形的分解，培育学生的视察实力、发散思维实力和综合运用学问分析问题、解决问题的实力 4、通过对S与S扇形关系的探讨，进一步探讨正多边形与圆的关系，培育学生抽象思维实力和归纳概括实力 教学

9、重点： 简洁组合图形的分解 教学难点： 正确分解简洁的组合图形 教学过程： 一、新课引入： 上节课学习了弓形面积的计算，并且从中获得了简洁组合图形面积的计算可转化为规则图形的和与差来解决的方法今日我们接着学习“720圆、扇形、弓形的面积(三)”，巩固化简洁组合图形为规则图形和与差的方法 学生在学习弓形面积计算的基础上，获得了通过分解简洁组合图形，计算其面积的方法但要正确分解图形，还需肯定题量的练习，所以本堂课为学生供应练习题让学生们相互切磋、探讨通过正多边形的有关计算的复习进一步理解正多边形与圆的关系，随着正多边形边数增加，周长越来越趋向于圆的周长，面积越来越趋向于圆的面积，使学生初步体会极限

10、的思想，了解S与S扇形之间的关系 二、新课讲解： (复习提问)：1圆面积公式是什么？2扇形面积公式是什么？如何选择公式？3当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？(以上各题均支配中下生回答) (幻灯显示题目)：如图7-168，已知O上随意一点C为圆心，以R 从题目中可知O的半径为R，“以O上随意一点C为圆心，以R为半径作弧与O相交于A、B”为我们供应的数学信息是什么？(支配中上生回答：A、B到O、C的距离相等，都等于OC等于R) 转化为弓形面积求呢？若能，协助线应怎样引？(支配中等生回答：能，连结AB) 大家视察图形不难发觉我

11、们所求图形实质是两个弓形的组合，即 倍？(支配中下生回答：因已知OA=OC=AC所以OAC是等边三角 同学们探讨探讨一下，SAOB又该如何求呢？(支配中上等生回答：求SAOB，需知AB的长和高的长，所以设OC与AB交点为DAOC=60，OA=R解RtAOD就能求出AB与高OD)连结OC交AB于D怎么就知ODAB？(支配中等生回答：依据垂径定理C是AB中点) 同学们相互探讨看，此题还有什么方法？ 下面给出另外两种方法，供参考： 幻灯展示题目：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积 请同学们细致视察图形，思索如何分解这个组合图形同学间相互探讨、探讨、沟通

12、看法： 现将学生可能提出的几种方案列出，供参考： 方案1S阴=S正方形-4S空白视察图形不难看出S+S=S正方形- 方案2视察图形，由于正方形ABCDAOB=90，由正方形的轴对称性可知阴影部分被分成八部分视察发觉半圆AOB的面积- 即可即S阴=4S瓣而S瓣=S半-SAOBS阴=4(S半-SAOB)=2S-4SAOB=2S-S正方形 方案4视察扇形EAO，一瓣等于2个弓形，一个S弓形=S扇OA- 方案5视察RtABC部分用半圆BOC与半圆AOB去盖RtABC，发觉这两个半圆的和比RtABC大，大出一个花瓣和两个弓形，而这两个弓形的和就又是一个瓣因此有2个S瓣=2个S半圆-SRtABC= 方案6

13、用四个半圆盖正方形，发觉其和比正方形大，大的部分恰是S即： 在学生们充分探讨沟通之后，要求学生细致回味展示出来的不同解法尤其要琢磨这些解法是怎样视察、思索的 幻灯展示练习题：1如图7-176，已知正ABC的半径为R，则它的外接圆周长是_；内切圆周长是_；它的外接圆面积是_； 2如图7-177，已知正方形ABCD的半径R，则它的外接圆周长是_；内切圆周长是_；它的外接圆面积是_；它的内切圆面积 3如图7-178，已知正六边形ABCDEF的半径R，则它的外接圆的周长是_；内切圆周长是_；它的外接圆 将上面三片复合到一起如图7-179，让学生视察，随着正多边形边数的增加，周长和面积有什么改变？(支配

14、中等学生回答：随着正多边形边数的增加，周长越来越接近圆的周长，面积越来越接近圆的面积)正因为如此，所以古代人用增加正多边形边数的方法探讨圆周率，探讨圆的周长与圆的面积的计算 大家再视察，随着正多边形边数的增加，边长越来越接近于弧，再看正多边形的边心距越来越接近于圆的半径，所以以边长为底，边心距 三、课堂小结： 支配学生归纳所学学问内容：1简洁组合图形的分解；2复习了正多边形的计算以及以此为例，复习了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算进一步理解了正多边形和圆的关系定理 四、布置作业 教材P185练习1、2、3；P187中8、11圆学案 圆其次节点和圆位置关系导学案1 主审人： 班级：

15、学号：姓名： 学习目标： 【学问与技能】 弄清并驾驭点和圆的三种位置关系及数量间的关系，探求过点画圆的过程，驾驭过不在同始终线上三点画圆方法；了解运用“反证法”证明命题的思想方法 【过程与方法】 通过生活中的实际事例，探求点和圆三种位置关系，并提炼出相关的数学学问，从而渗透数形结合、分类探讨等数学思想 【情感、看法与价值观】 通过本节学问的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在我们身边。从而更加酷爱生活，激发学习数学的爱好。 【重点】 圆的三种位置关系；三点的圆；证法； 【难点】 线和圆的三种位置关系及数量间的关系；反证法； 学习过程: 一、自主学习 （一）

16、复习巩固 1、圆的定义是 2、什么是两点间的距离： （二）自主探究 1、放寒假了,爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖竞赛。他们把靶子钉在一面墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成果好？ 2、视察下图这些点与圆的位置关系有哪几种？ 3、点与圆的位置与这些点到圆心的距离有何关系? 到圆心的距离等于半径的点在,大于半径的点在,小于半径的点在 4、在平面内随意取一点P，若O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 那么： 点P在圆dr 点P在圆dr 点P在圆dr 5、若A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标

17、为(5,8),则点P的位置为() A.在A内B.在A上 C.在A外D.不确定 6、两个圆心均为O的甲,乙两圆,半径分别为r1和r2,且r1OAr2,那么点A在() A.甲圆内B.乙圆外 C.甲圆外,乙圆内D.甲圆内,乙圆外 7、探究确定圆的条件 经过一点可以作多数条直线，经过二点只能作一条直线， 那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆 （1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ （2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ （3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A

18、、B、C三点不在同始终线上），你是如何做的？如何确定圆心？你能作出几个这样的圆？ 结论：不在同始终线上的三个点确定圆 8、经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的圆 外接圆的圆心是三角形三条边的交点，叫做这个三角形的心 9、用反证法的证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆 证明：如图，假设过同始终线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段的垂直平分线L2，即点P为L1与L2的点，而L1L，L2L，这与我们以前所学的“过一点有且只有条直线与已知直线”冲突所以，过同始终线上的三点不能作圆 上面的证明方法与我们前面所学的证

19、明方法思路不同，它不是干脆从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同始终线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出冲突，由冲突断定所作假设不正确，从而得到命题成立这种证明方法叫做 在某些情景下，反证法是很有效的证明方法 10、用反证法证明：若A、B、C分别是的三个内角， 则其中至少有一个角不大于60 11、推断正误 经过三个点肯定可以作圆.() 随意一个三角形肯定有一个外接圆.() 随意一个圆肯定有一内接三角形,并且只有一个内接三角形.（） .三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等.（） （三）、归纳总结： 1点和圆的位置关系有、和；不在的三个点确定一个圆； 2、反证法是 （

20、四）自我尝试： 1、已知P的半径为3，点Q在P外，点R在P上，点H在P内， 则PQ_3，PR_3,PH_3 2、O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与O的位置关系是：点A在；点B在；点C在； 3、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作A，则点B在A；点C在A；点D在A。 4、某地出土一明代残缺圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘确定 其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心 5、下列图形中四个顶点在同一个圆上的是（） A矩形、平行四边形B菱形、正方形 C正方形、平行四边形D矩形、等腰梯形 6、一个三角形的外心在三角形的

21、内部，则这个三角形是三角形. 7、在中，则此三角形的外心是，外接圆的半径为. 8、在中，外心到的距离为，则外接圆的半径为. 9、已知矩形的边，. 以点为圆心，为半径作，求点、与的位置关系； 若以点为圆心作，使得、三点中有且只有一点在圆外，求的半径的取值范围. 二、老师点拔 1、三角形外接圆的圆心叫三角形的，它是三角形三边的交点。三角形的外心到三角形的的距离相等。要留意的是，锐角三角形的外心在三角形的；直角三角形的外心是三角形是三角形的；钝角三角形的外心在三角形的；反之成立； 2、反证法是证明问题的一种方法。反证法证明的一般步骤：首先假设不成立，然后进行，得出与所设相冲突，或与已知冲突，或与学过

22、的定义、定理、公理等相冲突。最终得出结论，成立。 三、课堂检测 1已知的直径为，若点是内部一点，则的长度的取值范围为（） ABCD 2直角三角形的两条直角边分别为和5，则其外接圆的半径为（） A5B12C13D6.5 3下列命题不正确的是（） A三点确定一个圆B三角形的外接圆有且只有一个 C经过一点有多数个圆D经过两点有多数个圆 4、是平面内的三点，下列说法正确的是（） A可以画一个圆，使、都在圆上B可以画一个圆，使、在圆上，在圆外 C可以画一个圆，使、在圆上，在圆外D可以画一个圆，使、在圆上，在圆内 5三角形的外心是（） A三角形三条中线的交点B三角形三条高的交点 C三角形三条角平分线的交点

23、D三角形三条边的垂直平分线的交点 6若的半径为5，圆心的坐标为（3，4），点的坐标（5，8），则点的位置为（） A内B上C外D不确定 四、课外训练 1、已知的半径为5，为一点，当时，点在；当时，点在圆内；当时，点在. 2、已知的三边长分别为6、8、10，则这个三角形的外接圆的面积为_.（结果用含的代数式表示） 3、如图，通过防治“非典”，人们增加了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，、为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为便利起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问假如你是工程师，你将如何选址 4、如图，在中，以点为圆心，为半径画，请推断、与的位置关系，并说明理由. 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页