专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题.docx

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1、专题突破练22锥曲线中的范围、最值、证明问题1.(2021河北唐山一模)抛物线E:f=4y,点P(l,-2),斜率为上/0)的直线/过点P,与E相交于不同 的两点A,B.求女的取值范围；斜率为/的直线加过点P,与相交于不同的点C,。,证明:直线AC、直线及y轴围成等腰三 角形.2.(2021山东潍坊三模)设抛物线=2py(p0)的焦点为F点P(2,2)(z0)在抛物线。上,且满足 |PF|=3.求抛物线。的标准方程；过点GQ4)的直线/与抛物线。交于A乃两点，分别以为切点的抛物线。的两条切线交于点 。，求周长的最小值.3.(2021广东深圳一模)设。是坐标原点，以3为焦点的椭圆以尸产2|为直径

2、的圆和C恰好有两个交点.求。的方程；(2)P是C外的一点，过P的直线/均与。相切，且的斜率之积为m(-l m0)的短轴长为2,离心率为当(1)求椭圆C的方程；点P是椭圆。上一点，且在第一象限内，过P作直线交了轴正半轴于A点，交x轴负半轴于8点，与 椭圆C的另一个交点为区且PA二A优点。是P关于x轴的对称点，直线QA与椭圆C的另一个交点 为F.。正明:直线AQAP的斜率之比为定值；曾城直线EF的斜率的最小值.5.(202，河北唐山三模)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,O),5(1,O),C为动点，设A43C的内切圆分别与边 AC3CA5相切于P,Q,凡且|C尸| = 1,记点。的轨迹为曲线E

3、.求曲线E的方程；不过原点O的直线/与曲线E交于且直线y=-x经过MN的中点T,求bOMN的面积的最大值.6.(2021 .河南九师联盟联考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:鸟+马=l(ah0)的离心率为景短轴的 Q b，一个端点的坐标为(0,-1).求椭圆。的方程；(2)点b为椭圆C的右焦点,过椭圆C上一点人(即,“)(%/)的直线/i：xix+2yy=2与直线b：x=2交于 点P,直线A/交椭圆。于另一点反设A8与。尸交于点。.证明：/AFP乙(2为线段的中点.专题突破练22锥曲线中的范围、最值、证明问题L解由题意设/的方程为y+2=k(x-l与/二4联立得炉-4丘+4左+8=0.由/0

4、 得 Fh20,即 k2.又上0,所以人的取值范围是(2,+8).(2)证明设J1),8(%2,丁2),COM，。(孙声),由可得 X+X2=4k.由题意设m的方程为y+2=-6x-l),与工2二4联立得/2+46-42+8=。,得3+工4=-4女.kc-=空1,同理跖。=写与44因为 丘+加=M+力%3+(4=0,4所以直线AC、直线5。及y轴围成等腰三角形.2 .解由抛物线定义，得|P尸|=2十93,得p=2,故抛物线C的标准方程为f =4y.(2)设 A(xi,yi)1(x2,”),直线 /的方程为 y=kx+4,联立” ? 十 义消去得尸4狂16=0, Ik = 4%/ O,X1 +X

5、2 =4 太 X1X2 = -16.设48处的切线斜率分别为%#2,那么=等危=学,2在点A处的切线方程为y-尹二：(幻),即y二登一景2同理，在点3处的切线方程为产号*Z 42由得12=热=2匕代入或中可得了=|-?=、卜4-丁1=-4,故。(2-4),即点QL4在定直线y=-4上.设点G关于直线尸-4的对称点为G；那么G(0,-12),由知P(2企,2),：1PQ + |GQ| = |PQ + |GQ|N|GR=2回，即PQG，三点共线时等号成立， :aPOG周长的最小值为|GP| + |GR=2 同+2B.3 .解由题意可得2=2鱼,故a-y2.因为以尸为直径的圆和。恰好有两个交点，那么

6、b=c,282+。2=2庐=屋=2,可得)=c=l,因此椭圆C的方程为于+V=1 乙(2)由题意可知，直线/1,/2的斜率存在且不为零，设过点 P(xojo)的切线 l:y-yo=k(x-xo).(y-yo = k(x-x0),联立%2消去 y 可得(2F+l)f+4Kyo-版)x+2(yo-Axo)2-2=O,匕+y =1，由于直线/与椭圆。相切，那么/ = 16炉(再心o)2-4(2F+l)2(yo七o)2-2=O,化简并整理得(jo-Axo)2=22+L整理成关于左的二次方程得(诏-2)3-2xoyoZ+羽-1=0(易知比力士鱼)，设直线/1,/2的斜率分别为kl,k2,易知心危为关于攵

7、的二次方程(%-2)S-2xoyoZ:+y-l=O的两根，二加,羽刁%诏+ 1-2加,所 以,% 衣 + yo =(m+1 )%q +1 -2m,故 |P0|=J%1 + 羽 =7(m + l)%o + l-2m. 易知当 xo=O 时，有 w=|P(9|min=Vl-2m.因为所以鱼w叫1) + m(l+18/cz)x0 (l+18/cz)x0-6/c(m2-l)2/c(m2-l)rTTl771上 2 + /B心乙人、,(1 + 18/c )xn(1 + 2/c )%n所以直线EF的斜率kEF二一 27n2 ； 0=22(1 + 18/)%0 (1+2)%0因为Q0,所以无-窄二+力因为Q0

8、,所以无-窄二+力_V62- =当且仅当6月，即女时也尸有最小值手. KO，所以直线尸的斜率的最小值是三. 乙4 .解(1)依题意可知,|C4| + |C3|=|CP|+eQ + |AP| + |BQ=2|CP| + |AB|=4|AB|,所以曲线 E2是以A石为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点),因此曲线片的方程为9 +4。=1(月0).(2)设M(xi,yi),N(X2,y2),显然直线I的斜率存在，设其方程为y=Ax+m(mO),22代入 3 + 5=1,整理得(4F+3)f+8kmx+4 帆 2-12=0,(*)45那么为+%2=一黑心二裔，所以y+k总什+2片黑,故MN的中点

9、故MN的中点-4km 3m4 必+34/+3而直线三方经过MN的中点/，得海丹x含，又小0,所以直线”的斜率* 故(*)式可化简为 3x2+3/nx+m2-3=0,故 X+X2=-mCX2 =故 X+X2=-mCX2 =m2-3由 J=36-3m20 且#0,得-2逸w2a/且 mO.又网及二万力司1-尤2|=苧X 房养=亲X而点。到直线/的距离2|m| V139那么OMN的面积S=g x猾x崇x 7122 =白以区71224*xm2 + 12-m2nr2=、3,当且仅当根二H历时，等号成立，此时满足-28加28且加#0,所以OMN的面积的 最大值为6.(1)解设椭圆。的半焦距为c,因为C的短

10、轴的一个端点的坐标为(0,-1),所以匕=1,所以 。2-/ 二 1 .=噂，所以a=V2c.由，得C=l,所以4=加，所以椭圆。的方程为连+产1.(2)证明将 x-2 代入 xix+2yiy=2,得 2xi+2yiy=2, 解得尸所以P(2,*i)而=(1争又5(1,0)4孙yi),，可而二%卜1+券詈=0,所以E4J_fP,故NAFP.乙由直线A3过焦点/(1,0),得直线A3的方程为(-l)y=yi(/l),代入元2+2产=2,并结 合好+2资=2 整理，得(3-2xi)y2+2(xi-l)yiy-%=0.设 8(%2,),那么 y+=_2(驾?11.设 AB 中点为 R(%o,yo),贝! yo=yi；y2=_(；：；：i,%1-11xo=yo+l =yi%1-11xo=yo+l =yi叫哈斗1=3-2%i J生即R 3-2%i(%1-1必 3-2%!所以衣=品(2,芝9二品正,即丽与加共线，即AB的中点R在直线。尸上，从而点H与。重合, 故。是线段的中点.