余弦定理(陈宏林).ppt

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1、1.1.2余弦定理临澧四中数学组 陈宏林复习回顾正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。变型：CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2c2 a2+b2看一看想一想看一看想一想 直角三角形中的边直角三角形中的边a a、b b不变，角不变，角C C进行变动进行变动勾股定理仍成立吗？勾股定理仍成立吗？c2=a2+b2是寻找解题思路的最佳途径是寻找解题思路的最佳途径 c=AcbCBa AB c2=AB=AC+CB算一算试试！算一算试试！联想联想证明：证明：向量法向量法若若 ABC为任意三角形，已知角为任

2、意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：求证：bcABCa证明证明余弦定理余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC你能用文字说明吗你能用文字说明吗？CBAabc 三角形任何一边的平方三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。积的两倍。归纳归纳变一变乐在其中变一变乐在其中CBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a22bc cosA=c2+a2-b22ca

3、 cosB=a2+b2-c22ab cosC=变形变形归纳归纳想一想：想一想：余弦定理在直角三角余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？形中是否仍然成立？cosC=a2+b2-c2 2abC=90 a2+b2=c2 cosA=b2+c2-a2 2bc cosB=c2+a2-b2 2ca问题问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广定理是勾股定理的推广.问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;剖剖 析析 定定 理理（2）每个等式中有同一个三

4、角形中的）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一四个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）剖析剖析思考：思考：已知两边及一边的对角时，已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？理来解这个三角形？如：已知如：已知b=b=4 4,c=,C=,c=,C=6060求边求边a.a.（3 3）已知）已知a a、b b、c c（三边），可（三边），可以求什么？以求什么？剖剖 析析 定定 理理剖析剖析（2）已知三边求三个）已知三边求三个角角.问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用余弦定理在解三角形

5、中的作用是什么？是什么？（1）已知两边）已知两边和一和一角，求第三边角，求第三边及及其其他两个角他两个角；剖剖 析析 定定 理理剖析剖析P P7 7例例3 3、例、例4 4会用才是真的掌握了会用才是真的掌握了 余弦定理在解三角形余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？中能解决哪些问题？角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理运用运用练一练：练一练：P P8 8练习练习1 1，2 2 1、已知、已知ABC的三边为的三边为 、2、1，求它的最大内角。，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1 则最大内角为A由余弦定理 cos

6、A=12+22-()2221=-12 A=120变一变：变一变：若已知三边的比是若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？又怎么求？再练：再练：2、已知、已知ABC中中AB=2、AC=3、A=，求，求BC的长。的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7BC=思考：思考：（1）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定三判定三角形角形ABC的形状的形状分析：三角形分析：三角形ABC的形状是由大边的形状是由大边b所对的大角所对的大角B决决定的。定的。（2）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求三

7、角形三角形ABC的面积的面积分析：三角形的面积公式分析：三角形的面积公式 S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出只需先求出cosC(cosA或或cosB),然后求出然后求出 sinC(sinA或或 sinB）代入面积公式即可。）代入面积公式即可。2.2.余弦定理余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222223.3.由余弦定理知由余弦定理知1.1.证明定理证明定理:课堂小结课堂小结向量法、（解析法、几何法）（1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三们的夹角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.5.5.余弦定理的作用余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积）判断三角形的形状，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.4.余弦定理适用于任何三角形余弦定理适用于任何三角形