2013年全国高考-理科数学试题-分类汇编4-数列Word版含答案~.doc

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1、#*2013 年全国高考理科数学试题分类汇编年全国高考理科数学试题分类汇编 4：数列：数列一、选择题1. （2013 年高考上海卷（理） ）在数列中,若一个 7 行 12 列的矩阵的第na21n na i 行第 j 列的元素,()则该矩阵元素能取, i jijijaa aaa1,2,7;1,2,12ij到的不同数值的个数为( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A. 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知数列满足,则的前 10 项和等于 na12430,3nnaaa na(A) (B) (C) (D)106 1 31

2、011 39103 1 3103 1+3【答案】C 3. （2013 年高考新课标 1（理） ）设的三边长分别为,的面积nnnA B C,nnna b cnnnA B C为,若,则(nS1,2,3,n 11111,2bc bca111,22nnnn nnnncabaaa bc) A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列 C.S2n-1为递增数列,S2n为递减数列D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列【答案】B 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得= ( )y f x, a b(2)n n 12,

3、 .,nx xx则的取值范围是1212()( )()=,nnf xf xf x xxxn(A) (B) (C) (D) 3,42,3,43,4,5 2,3【答案】B 5. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知等比数#*列的公比为 q,记na(1) 1(1) 2(1).,nm nm nm nmbaaa则以下结论一定正确的是( )* (1) 1(1) 2(1).( ,),nm nm nm nmcaaam nNA.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为 nbmq nb2mqC.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为 nc2mq

4、ncmmq【答案】C 6. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）等比数列 na的前n项和为nS,已知12310aaS,95a,则1a(A)31(B)31 (C)91(D)91【答案】C 7. （2013 年高考新课标 1（理） ）设等差数列的前项和为 nan,则 ( )11,2,0,3nmmmSSSS m A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）下面是关于公差的等差数列的四个命题:0d na 1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:napn数

5、列是递增数列；4:3npand数列是递增数列；其中的真命题为(A) (B) (C) (D)12,p p34,pp23,pp14,p p【答案】D 9. （2013 年高考江西卷（理） ）等比数列 x,3x+3,6x+6,.的第四项等于A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 二、填空题10. （2013 年高考四川卷（理） ）在等差数列中,且为和的等比中na218aa4a2a3a项,求数列的首项、公差及前项和.nan#*【答案】解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 dnns. 2 1111228,38adadadad所以, 114,30add da解得,或,即数列的首相为 4,公

6、差为 0,或首相为 1,公差为 3. 14,0ad11,3ad na所以数列的前项和或 n4nsn23 2nnns11. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）等差数列 na的前n项和为nS,已知10150,25SS,则nnS的最小值为_.【答案】 4912. （2013 年高考湖北卷（理） ）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,第个三角形数为.记第个边形数为n2111 222n nnnnk,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:,N n k3k kn三角形数 211,322N nnn正方形数 2,4N

7、 nn五边形数 231,522N nnn六边形数 2,62N nnn可以推测的表达式,由此计算_.,N n k10,24N选考题【答案】1000 13. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）在正项等比数列中,则满足na21 5a376 aa的最大正整数 的值为_.nnaaaaaa2121n【答案】12 14. （2013 年高考湖南卷（理） ）设为数列的前 n 项和,nSna#*则1( 1),2n nnnSanN (1)_; (2)_.3a 12100SSS【答案】; 1 1610011(1)3 215. （2013 年普通高等学

8、校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）当时,有如下表达式:,1xR x211.1nxxxx两边同时积分得:11111 222222 0000011.1ndxxdxx dxx dxdxx从而得到如下等式: 23111111111( )( ).( ).ln2.2223212n n 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:0122311111111( )( ).( )_2223212nn nnnnnCCCC【答案】 113( )112n n16. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）已知 na是等差数列,11a ,公差0d ,nS为其前n项和,若

9、125,a a a成等比数列,则8_S 【答案】64 17. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为57,则数列的前项和_.nn=S【答案】 257 66nn18. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）在等差数列中,已知,则_. na3810aa573aa【答案】 2019. （2013 年高考陕西卷（理） ）观察下列等式: 21122123 22212632222124310 照此规律, 第n个等式可为_. ) 1(2) 1-n1-32-11 21 -n222 nnn（）（#*【答案】 )

10、1(2) 1-n1-32-11 21 -n222 nnn（）（20. （2013 年高考新课标 1（理） ）若数列na的前n项和为 Sn=21 33na ,则数列na的通项公式是na=_.【答案】na=1( 2)n. 21. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版） ）如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所12,nA AX12,nB BBnnA B有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是11nnnnA B BA.nnOAa121,2,aa na_.【答案】 *,23Nnnan22. （2013 年高考北京卷（理） ）若等比数列an满足a2

11、+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_;前n项和Sn=_.【答案】2, 122n23. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则 nanS nan13aa，2540xx_.6S 【答案】63 三、解答题24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）设函数,证明:22222( )1(,)23n n nxxxfxxxR nNn #*()对每个,存在唯一的,满足;nnN2 ,13nx ()0nnfx()对任意,由()中构成的数列满足.npNnx nx10nnpx

12、xn【答案】解: () 是 x224232224321)(0nxxxxxxfnxyxnnn 是单调递增的时，当的单调递增函数,也是 n 的单调递增函数. . 011) 1 (, 01)0(nnff且010)(,1 , 0(321nnnnxxxxxfx，且满足存在唯一xxxxxxxxxxxxxfxnnn11 4111 4122221)(,).1 , 0(2122242322 时当 1 ,320)23)(2(11 41)(02 nnn nn nnnxxxxxxxf综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕) nnN2 ,13nx ()0nnfx() 由题知 04321)(, 012242322 nxx

13、xxxxfxxn nnnn nnnpnn0)() 1(4321)(2212242322 pnxnxnxxxxxxfpn pnn pnn pnpnpnpn pnpnpn上式相减:22122423222242322)() 1(432432pnxnxnxxxxxnxxxxxpn pnn pnn pnpnpnpn pnn nnnn n ）（）（2212244233222)() 1(-4-3-2-pnxnxnxxxxxxxxxxpn pnn pnn nn pnnpnnpnnpn pnn . nxxnpnnpnn1-111法二: #*25. （2013 年高考上海卷（理） ）(3 分+6 分+9 分)给定

14、常数,定义函数0c ,数列满足.( )2|4|f xxcxc 123,a a a * 1(),nnaf anN(1)若,求及;(2)求证:对任意,;12ac 2a3a* 1,nnnNaac(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说1a12,na aa1a明理由.【答案】:(1)因为,故, 0c 1(2)ac 2111()2|4| 2af aacac 3122()2|4|10af aacacc #*(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立, ( )f xxcxR( )2|4|f xxcxcxcxc 即只需证明 2|4| |+xcxcxc 若,显然有成立; 0xc2|4|

15、 |+=0xcxcxc 若,则显然成立 0xc2|4| |+4xcxcxcxcxc 综上,恒成立,即对任意的, ( )f xxc*nN1nnaac(3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故 n 无限增大时,总有 na0dc0na 此时, 1()2(4)()8nnnnnaf aacacac 即 8dc故, 21111()2|4|8af aacacac 即, 1112|4| |8acacac 当时,等式成立,且时,此时为等差数列,满足题意; 10ac2n 0na na若,则, 10ac11|4| 48acac 此时,也满足题意; 230,8,(2)(8)naacanc综上,满足题意的的取值范围是.

16、 1a,)8cc 26. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 10 分.设数列,即当 122,3,3,34444na：，- ，-，- ，- ，- ，- ，-1-1-1-1kkkkk 个（），（）时,记,对11 22kkk kn（）（）kN11k nak （- ）12nnSaaanN于,定义集合lNlP1nnn SanNnl是的整数倍，且(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.11P2000P【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用#*数学归纳法分析解决问题能力及推

17、理论证能力. (1)解:由数列的定义得:, na11a22a23a34a35a36a, 47a48a49a410a511a,11S12S33S04S35S66S27S28S69S, 1010S511S, 111 aS440 aS551 aS662 aS11111 aS集合中元素的个数为 5 11P(2)证明:用数学归纳法先证 ) 12()12(iiSii事实上, 当时, 故原式成立 1i3) 12(13)12(SSii假设当时,等式成立,即 故原式成立 mi ) 12()12(mmSmm则:,时, 1 mi2222 )12(32)(1(1)1(2)1()22() 12() 12()22() 1

18、2(mmmmmmSSSmmmmmm)32)(1()352(2mmmm综合得: 于是 ) 12()12(iiSii) 1)(12() 12() 12() 12(22 12(12)1(iiiiiiSSiiii由上可知:是的倍数 12(iiS) 12(i而,所以是 ) 12 , 2 , 1( 1212)(1(ijiajii) 12()12()12(ijSSiijii的倍数 ) 12 , 2 , 1(12)(1(ijajii又不是的倍数, ) 12)(1(12)1(iiSii22 i而 )22 , 2 , 1)(22(12)(1(ijiajii所以不是)22() 1)(12()22()12)(1()1

19、2)(1(ijiiijSSiijii的倍数 )22 , 2 , 1(12)(1(ijajii#*故当时,集合中元素的个数为 ) 12(iillP2i1-i 231）（于是当时,集合中元素的个数为 ）（1i 2j1j) 12(iillPji2又 471312312000）（故集合中元素的个数为 2000P10084731227. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.dna101a3215 , 22 ,aaa(1)求; (2)若,求nad,0d. |321naaaa【答案】解:()由已知得到: 222 21 31

20、1(22)54(1)50(2 )(11)25(5)aa aadaddd; 224112122125253404611nndddddddanan 或()由(1)知,当时, 0d 11nan当时, 111n123123(1011)(21)0 |22nnnnnnnaaaaaaaaa A A AA A A当时, 12n123123111213 2123111230 |()11(21 11)(21)212202()()2222nnnnaaaaaaaaaaaannnnaaaaaaaa A A AA A AA A AA A AA A A所以,综上所述:; 1232(21),(111)2|21220,(12)

21、2nnnn aaaannnA A A28. （2013 年高考湖北卷（理） ）已知等比数列满足:,. na2310aa123125a a a (I)求数列的通项公式; na#*(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说m121111maaam明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:,又, 25a 2110a q13q 或所以数列的通项或 na25 3nna(II)若,不存在这样的正整数; 1q 12111105maaa 或m若,不存在这样的正整数. 3q 12111919110310mmaaam29. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）设

22、等差数列 na的前 n 项和为nS,且424SS,221nnaa.()求数列 na的通项公式;()设数列 nb前 n 项和为nT,且 1 2n nnaT (为常数).令2nncb*()nN.求数列 nc的前 n 项和nR.【答案】解:()设等差数列 na的首项为1a,公差为d, 由424SS,221nnaa得 11114684 (21)22(1)1adad anand , 解得,11a ,2d 因此 21nan*()nN()由题意知:12nnnT所以2n 时,1121 22nnnnnnnbTT #*故,1 221221(1)( )24n nnnncbn *()nN所以01231111110 (

23、 )1 ( )2 ( )3 ( )(1) ( )44444n nRn , 则12311111110 ( )1 ( )2 ( )(2) ( )(1) ( )444444nn nRnn 两式相减得1231311111( )( )( )( )(1) ( )444444nn nRn11( )144(1)( )1414nnn 整理得1131(4)94nnnR所以数列数列 nc的前 n 项和1131(4)94nnnR30. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 16 分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项naad)0(dnSn和

24、.记,其中为实数.cnnSbn n2*Nnc(1)若,且成等比数列,证明:();0c421bbb或或knkSnS2*,Nnk(2)若是等差数列,证明:.nb0c【答案】证明:是首项为,公差为的等差数列,是其前项和 naad)0(dnSn dnnnaSn2) 1( (1) 0cdnanSbn n21成等比数列 421bbb或或412 2bbb)23()21(2daada 041 212dad0)21(21dad0dda21ad2#* anannnadnnnaSn222) 1( 2) 1(左边= 右边= aknankSnk222)(aknSnk222左边=右边原式成立 (2)是等差数列设公差为,带

25、入得: nb1d11) 1(dnbbncnnSbn n2对11) 1(dnbcnnSn 2)()21()21(1112 113 1bdcncdndadbndd恒成立 Nn 0)(0021021111111bdccddadbdd由式得: dd2110d01d由式得: 0c法二:证:(1)若,则,. 0cdnaan) 1( 22) 1(adnnSn22) 1(adnbn当成等比数列, 421bbb或或412 2bbb 即:,得:,又,故. 23 22daadaadd220dad2由此:,. anSn2aknankSnk222)(aknSnk222故:(). knkSnS2*,Nnk(2), cna

26、dnncnnSbn n22222) 1(cnadncadncadnn22 22) 1( 22) 1( 22) 1(. () cnadncadn 222) 1(22) 1(若是等差数列,则型. nbBnAnbn#*观察()式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:,即,而0, 022) 1(2cnadnc 022) 1(adnc22) 1(adn故. 0c经检验,当时是等差数列. 0cnb31. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式. nannS2 32=Sa124,S SS na【答案】32. （20

27、13 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）已知首项为的3 2等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成na(*)nSnN等差数列. () 求数列的通项公式; na() 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. *()1nn nTSnSNnT【答案】#*33. （2013 年高考江西卷（理） ）正项数列an的前项和an满足:222(1)()0nnsnnsnn(1)求数列an的通项公式 an;(2)令,数列bn的前项和为.证明:对于任意的,都有221 (2)nnbnannT*nN5 64nT 【答案】(1)解:由,得. 222

28、(1)()0nnSnnSnn2() (1)0nnSnnS由于是正项数列,所以. na20,nnSSnn于是时,. 112,2aSn22 1(1)(1)2nnnaSSnnnnn综上,数列的通项. na2nan(2)证明:由于. 2212 ,(2)nn nnan bna则. 22221111 4(2)16(2)nnbn nnn#*222222222111111111111632435(1)(1)(2)nTnnnn. 222211111151(1)162(1)(2)16264nn34. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）设数列的前项和为.已知,. nan

29、nS11a 2 1212 33n nSannn*nN() 求的值;2a() 求数列的通项公式; na() 证明:对一切正整数,有.n121117 4naaa【答案】.(1) 解: ,. 2 1212 33n nSannnnN当时, 1n 112212221233aSaa 又, 11a 24a(2)解: ,. 2 1212 33n nSannnnN 32 1112122333nnnn nnSnannnna当时, 2n 111213nnnn nSna由 ,得 112211nnnnSSnanan n1222nnnaSS1211nnnananan n数列是以首项为,公差为 1 的等差数列. 111nn

30、aa nnna n111a21 11,2n nannannn 当时,上式显然成立. 1n 2*,nan nN(3)证明:由(2)知, 2*,nan nN#*当时,原不等式成立. 1n 11714a 当时, ,原不等式亦成立. 2n 121117144aa 当时, 3n 2 21111 ,11nnnnnn 222 1211111111111121 32 4211naaannnnn 1 111 111 1111111112 132 242 3522211nnnn 1 111111111112 132435211nnnn 1 11117111712 1214214nnnn 当时,原不等式亦成立. 3

31、n 综上,对一切正整数,有. n121117 4naaa35. （2013 年高考北京卷（理） ）已知an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .1na2na(I)若an为 2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为 4 的数列(即对任意nN*,),写出4nnaad1,d2,d3,d4的值; (II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列; (III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则an的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.【答案】(I) 12

32、341,3.dddd(II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以 nad0d 12.naaa因此,. nnAa1nnBa1(1,2,3,)nnndaadn (必要性)因为,所以. 0 (1,2,3,)nddn nnnnABdB#*又因为,所以. 于是,. nnaA1nnaB1nnaannAa1nnBa因此,即是公差为的等差数列. 1nnnnnaaBAdd nad(III)因为,所以,.故对任意. 112,1ad112Aa1111BAd11,1nnaB假设中存在大于 2 的项. (2)nan 设为满足的最小正整数,则,并且对任意,. m2na 2m 1,2kkm a又因为,所以,且. 12

33、a 12mA2mmAa于是,. 2 11mmmBAd 1min,2mmmBaB故,与矛盾. 111220mmmdAB11md所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为 1 或 2. 1n 2na na因此对任意,所以. 故. 1n 12naa2nA 2 11nnnBAd 因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为 1. nmmn1ma na36. （2013 年高考陕西卷（理） ）设是公比为q的等比数列. na() 导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是na1na 等比数列. 【答案】解:() 分两种情况讨论. .111111naaaaSaaqnn的常数数列，所以是首项为时

34、，数列当. nnnnnnqaqaqaqaqSaaaaSq1211211时，当上面两式错位相减: .)()()()-11123121nnnnnqaaqaqaaqaaqaaaSq（. qqa qqaaSn n n-1)1 (.-111综上, ) 1(,1)1 () 1(,11qqqaqnaSn n#*() 使用反证法. 设是公比q1 的等比数列, 假设数列是等比数列.则 na1na 当=0 成立,则不是等比数列. 1*naNn，使得1na 当成立,则 01*naNn，使得恒为常数 11 111 111 nnnn qaqa aa.这与题目条件q1 矛盾. 1,01111 11qaqaqann时当综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q1 时, 数列不是1na 1na 等比数列.