用样本频率估计总体频率(教案)hlel.docx

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1、2.2.1 用样本频频率估计计总体频频率（教教案）陈巴尔 引入：我们本章章学习的的内容是是统计学学，我们们运用统统计学解解决一个个具体问问题，要要分几个个步骤？首先是数数据的收收集，然然后是数数据的分分析。我们之前前的课程程已经学习习了怎么么收集数数据，今今天我们们要开始始学习怎怎么分析析我们得得到的数数据，来来解决一一个实际际问题。（看问题题，图片片）面对这样样一个现现状，我我们该如如何节约约用水？政府部门门提了这这么一个个设想：（看问问题）问题的提提出：该如何确确定a呢呢？能不能太太高？失去去节约用用水的意意义。（由由学生回回答）能不能太太低？影响响居民的的正常生生活。（由由学生回回答）所

2、以，我我们希望望大部分分的居民民用水量量应该低低于a，而而小部分分的居民民用水量量高于aa，这样样即不影影响居民民正常生生活，又又能达到到节水的的效果。既然要求求大部分分居民的的用水量量在a以以下，小小部分在在a以上上，我们们就需要要了解本本市居民民的用水水量情况况，更准准确地说说，我们们要知道道用水量量在哪些些范围内内较多，哪哪些范围围内较少少，或者者说大部部分集中中在哪些些范围内内。即了了解居民民用水的的整体“分布”。这类类似于我我们考完完试，分分析班级级的成绩绩分布。那我们可可以通过过什么方方法来了了解用水水情况？抽样样（若学学生提出出普查则则加以说说明）数据的处处理：我们通过过合理的的

3、抽样方方法，获获得了1100位位居民某某年的月月平均用用水量。（得得到用水水量表格格）刚才我们们说过要要了解用用水的整整体分布布吧，就就是在哪哪些范围围内较多多，哪些些范围内内较少？如果就就给你一一个表格格，这么么多数据据一放，你你能看清清吗？（由由学生回答答，发现现只能大大致看出出最大值值，最小小值，以以及点点几和点几的的用水量量都“比较多多”，但具具体就不不清楚了了。）看不清，就就要对表表格的数数据进行行整理与与分析，你们初中有没有学过拿到这么一大堆数据可以怎么处理，分析？（学生回回答频数数分布表表）回顾初中中熟悉的的频数数分布表表。初中中的频数数分布表表是如何何制作的的？数据的处处理过程

4、程：（由学生生回答，让让一名学学生起来来回答，如如果忘记记了，可可以让他他参考书书本中的的过程在在一一说说出。）过程：（将个个处理数数据的步步骤完整整得留在在黑板上上。）步骤1、找出最大最小值（过大或过小的区间都没有意义）步骤2、确定组距与组数（1） 起始区间间是不是是一定要要从0.2开始始？（留留给学生生一定的的思考时时间，可可以提问问学生回回答！）可以从0开始，一是为了方便，二是实际意义。当然最后一组的右端点也不一定是4.3。所以如果我们设组数为n,组距为r，则n*r大于等于4.1，而且是略大于等于。（2） 由上面的的式子我我们就可可以知道道组数和和组距是是有联系系的，确确定其中中一个就就

5、可以近近似确定定另外一一个，那那我们应应该先确确定组距距还是先先确定组组数？（为为了制图图方便，通通常希望望组距“取整”，所以以可以先先确定组组距再求求组数，并并可以和和经验公公式做比比较）（3） 现在我们们取0.5为组组距，则则可以得得到组数数应该为为8.22，即可可以取组组数为99组。（4） （若学生生此时提提出组距距和组数数大小如如何选择择，则举举较极端端的例子子，如分分1组、22组，与与组距00.1，00.055等例子子说明分分组太少少则信息息表达过过少，数数据分析析不够细细致，而而分组过过多，则则由于样样本容量量的限制制与数据据采集方方法等影影响，使使得原始始数据本本身不够够精细，从

6、从而会导导致失真真的后果果。如图图片放大大率与像像素值的的关系。若若学生没没有提出出，则此此问题在在画完直直方图后后讲解。）步骤3、将数据分组统计（通过划正统计）步骤4、得到初中我们熟悉的是频数分布表。频数分布布表的讨讨论：我们通过过处理数数据得到到频数分分布表，与与原始数数据相比比，能获获得哪些些有关数数据分布布的进一一步信息息？学生：大大部分集集中在区区间上，（或或最多，次次多集中中在区间间上），越越往中间间数据越越多，越越往两边边数据越越少。频数的好好处在于于知道落落在每个个区间内内数据的的多少。如如果我想想知道落落在每个个区间内内的数据据占全部部的比例例是多少少的时候候，该怎怎么办？用

7、频频数除以以样本容容量，就就得到了了比例，我我们称这这个比例例为频率率。我们们把频率率这一列列加在我我们刚才才的表格格中，就就得到了了频率分分布表。步骤5、得得到频率率分布表表频率分布布表的讨讨论：那我们为为什么要要引入频频率，用用频数不不是已经经能很好好得看出出各个区区间里面面的数据据多少吗吗？（若学生生不能回回答就直直接说出出！）频频率与频频数相比比，更容容易看清清这个区区间内的的数据个个数占全全部样本本的比例例是多少少，我们们研究样样本的目目的是什什么？（学学生估计总总体！）所所以引入入频率的的话，在在我们估估计总体体的时候候特别有有效，比比如我们们知道总总体是一一万户，那那么根据据我们

8、的的频率分分布表，我我们如何何估计总总体中落落在区间间中的的个数？（学生生：用样样本的频频率来估估计总体体的频率率，将总总体乘以以样本的的频率即即可）（这里可可以举一一个具体体的例子子计算一一遍）从频率分分布表中中，与原原始数据据表相比比较，我我们能得得到些什什么新的的信息？数据落在在各个小小组的比比例大小小（越往往中间越越多，最最多是其其次是大大部分集集中在）数据的表表示有表表格的形形式，那那除了表表格还有有别的形形式吗？图形。图能能给我们们更加直直观的感感觉。如何作图图？（学学生可能能提出以以下不同同做法）1、 取分组区区间的中中点为横横坐标，频频率为纵纵坐标画画三点图图；（学学生没提提出

9、则略略过）2、 以频率为为高度画画柱状图图，有间间隔或没没有间隔隔；（学学生没提提出则略略过）书上是和和我们做做法一样样吗？步骤6、以以区间跨跨度为矩矩形的宽宽，以频频率除以以组距作作为矩形形的高画画出相应应的柱状状图就是是频率分分布直方方图。为什么用用直方图图而不用用我们觉觉得更加加自然的的条形图图？直方图与与频率条条形图比比较：1、总体体分布的的直观感感受：由表格中中得到的的信息，现现在仍然然能得到到（各个个分组数数据的比比例大小小，单峰峰对称的的分布形形状），并并且更加加直观。（此时直方图没有优势）2、如何何读取频频率？那直方图图中的频频率到底底怎么读读？如何读取取区间1,11.5)的频

10、率率？条形形图为矩矩形高度度，直方方图用面面积表示示！我们们可以用用读取的的样本频频率估计计总体的的频率。如何读取取区间1,22)的频率率？条形形图为矩矩形高度度和，直直方图为为面积和和！（直直方图感感觉更加加直观）我我们可以以用读取取的样本本频率估估计总体体的频率率。如何读取取区间1,22.1)的频率率？可以以利用直直方图为为1至22.1处处的所有有面积和和作为总总体的频频率的估估计，条条形图可可以按照照比例计计算频率率估计值值，但远远不如直直方图直直观简便便。直方图与与表格之之间的对对应关系系：面积积是频率率，总面面积是11。即频率分分布直方方图以面面积的形形式来反反映数据据落在各各个小组

11、组的频率率大小（而而频率柱柱状图以以高度来来反映频频率大小小。）缺点：频率分布布表和频率率分布直直方图除除了得到到新的信信息以外外，也会会丢失一一些原有有的信息息，如原原始数据据。表和图的的应用：回到原问问题的解解决，如如果要求求85%以上的的居民用用水量不不超出标标准，则则如何寻寻找标准准？3t（通通过计算算频率的的累加获获得，由由学生做做到。让让个别学学生起来来回答自自己是如如何选择择的）3t的选选择一定定能保证证85%以上的的居民用用水量不不超标吗吗？学生不一定定！为什么？（一下下两个原原因先由由学生回回答，不不全面的的再加以以补充）原因1、样样本只是是总体的的代表，与与总体仍仍有区别别

12、，且代代表性与与抽样方方法，样样本容量量均有关关。并且且如果多多做几次次抽样得得到的样样本几乎乎不可能能完全一一样，自自然画出出的直方方图也很很可能不不同，但但只要抽抽样方法法设计合合理，样样本的代代表性强强，不同同样本得得到的结结论应该该比较接接近。那么如果果通过普普查得到到的标准准a能够够保证吗吗？原因2、今今年的月月平均用用水与明明年乃至至以后的的月平均均用水量量情况不不可能完完全一样样，有较较多的不不确定因因素会影影响用水水量的变变化，所所以现在在得到的的标准只只能作为为明年的的一个相相对合理理的猜测测。结果的统统计意义义：对于于总体或或者将来来的一个个较为合合理与准准确的估估计，其其

13、误差在在额可以以容许的的范围之之内，也也正因为为这样，统统计结果果的好坏坏，往往往需要进进一步的的评价，或或通过理理论方法法的评价价，或通通过实际际应用的的检验。（统计方方法也不不唯一，可可以在直直方图上上找到面面积正好好为0.85的的分界点点作为aa的取值值。）总结：为了解总总体的分分布，我我们通常常通过分分析样本本的频率率分布来来估计总总体的分分布，（分分布表和和直方图图体现的的都是样样本的频频率分布布，而我我们则是是利用它它们来估估计总体体的分布布。）估计的结结果是一一个具有有统计意意义的结结果，这这个结果果会根据据样本的的不同而而有所改改变，但但对于有有较好代代表性的的不同样样本，得得

14、到的估估计结果果应该是是近似的的。不仅仅用相同同的方法法由于样样本不同同可能得得到不同同的结果果，对于于同一问问题，我我们也经经常会有有不同的的方法来来处理，得得到的结结果也不不同，那那么对于于不同的的结果的的好坏，通通常需要要进一步步评价。其中估计计的方法法有频率率分布表表，频率率分布直直方图，其其中我们们较为感感兴趣的的应该是是频率分分布直方方图。用面积来来反映频频率，为为估计总总体的分分布提供供了一个个直观、简简便的方方法。需需要注意意的是矩矩形的高高度不是是频率，而而是频率率除以组组距。事实上利利用样本本估计总总体的处处理方法法还有很很多很多多，今天天我们介介绍的频频率分布布表和频频率分布布直方图图只是其其中最基基本的两两种方法法，其他他的方法法，在我我们后续续的课程程中，而而更多的的是在大大学的课课程中你你们会接接触到。练习：某个容量量为1000的样样本的频频率分布布直方图图如下，则在在区间4,55)上的的数据的的频数为为O0.050.100.150.40123456数据