投资组合几何增值理论(doc 14)9461.docx

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1、漫谈投资组合的的几何增值理理论从掷硬币打赌看看投资组合问问题什么是投资组合合？首先我们们从掷硬币打打赌谈起。假设有一种可以以不断重复的的投资或打赌赌，其收益由由掷硬币确定定，硬币两面面出现的可能能性相同； 出A面你投一亏亏一，出B面你投一赚赚二；假设你你开始只有1100元，输输了没法再借借。现在问怎怎样重复下注注可以使你尽尽快地由百元元户变为百万万元户?我们可以象小孩孩子玩登山棋棋那样，几个个人下不同的的赌注，然后后重复掷硬币币，看谁最先先变成百万富富翁。你可能能为了尽快地地变为百万富富翁而全部押押上你的资金金。 可是只要有有一次你输了了，你就变成成穷光蛋，并并且永远失去去发财机会。你你可能每

2、次下下注10元。但是是，如果连输输10次，你就就完了。再说说，如果你已已经是万元户户了，下100元是不是太太少了? 每次将你你的所有资金金的10%用来下下注，这也许许是个不错的的主意。首先先，你永远不不会亏完(假设下注的的资金可以无无限小)； 第二，长此此以往，赢亏亏的次数大致致相等时，你你总是赚的。假假设平均两次次，你输一次次赢一次，则则你的资金会会变为原来的的(1+0.2)(1-0.1)=1.08倍。可可是，以这样样的速度变为为百万富翁是是不是太慢了了，太急人了了? 有没有更更快的方法? 有! 理论研究究表明，每次次将你所有资资金的25%或0.25倍用用来下注，你你变为百万富富翁的平均速速

3、度将最快。几个不同下注比比例带来的资资金变化如图图1所示(掷币结果分分别是A, B, A, B, .)。实实验表明，张张大胆每次投投100，嬴嬴时嬴得多，可可亏时亏得惨惨，一次亏损损就永远被淘淘汰出局。李李糊涂每次下下50，收益益大起大落，到到头来白忙。王王保守每次下下10，稳赚赚但少赚；“你”每次下25，长期期看结果最好好。图1 资金增值值随几种不同同投资比例的的变化前面的打赌中，硬硬币只有一个个。 如果同时有有两个、三个个或更多，各各个硬币盈亏亏幅度不同，两两面出现的概概率（频率或或可能性）也也可能不同；怎样确定在在不同硬币上上的最优下注注比例？如果果不同硬币出出现A面B面是不同程程度相关

4、的(比如一个出出A面，另一个个十有八九相相同?正相关，或或相反反反相关)，又如何确确定最优下注注比例？股票票、期货、期期权、放贷、房房地产、高科科技等投资象象掷硬币打赌赌一样，收益益是不确定的的且相互关联联的。 如何确定不不同证券或资资产上的投资资比例，以使使资金稳定快快速增长并控控制投资风险险，这就是投投资组合理论论要解决的问问题。投资组合也就是是英文说的pportfoolio。当当今世界上著著名的投资组组合理论是美美国的马科维维茨(H. Markoowitz)理论。笔者者则从自己建建立的一个广广义信息理论论(参见专著广广义信息论，中中国科技大学学出版社，11993)和和自己的投资资实践出发

5、，得得到了投资组组合的几何增增值理论，或或者叫熵(sshang)理论（因为为其中采用了了同物理学和和信息论中的的熵函数相似似的熵函数作作为优化标准准）， 并完成了专专著投资组组合的熵理论论和信息价值值?兼析股票票期货等风险险控制（中中国科技大学学出版社，11997)。现现在笔者知道道美国的H. A. LLatanee 和D. L. Tutttle最早提提出了用几何何平均产出比比?即1+几何平均均收益或平均均复利?作为优化化证券组合的的准则；后来来T. E. Coveer等人研究究了用几何平平均产出比的的对数作为优优化准则. 不同的是，笔笔者的研究更更注重应用。马科维茨理论及及其缺陷1952年，

6、马马科维茨发表表了有家证证券的选择：有效的转移移。这篇开开创性的论文文导致了一个个新理论?投资组合理理论?的诞生。19990年，瑞瑞典皇家科学学院将诺贝尔尔经济学奖授授予了H. 马科维茨，WW. 夏普(Shaape) 和和W. 米勒(Milller), 以表彰它它们在投资组组合和证券市市场理论上的的贡献。马科维茨用收益益的期望E和标准方差差?表示一种证证券的投资价价值和风险。期期望收益也就就是算术平均均收益。收益益的标准方差差反映了收益益的不确定性性。比如对于于上一节谈到到的掷硬币打打赌(亏时亏一倍倍，嬴时嬴两两倍)，用全部资资金下注时，E=P1 r11+P2 rr2 =0.5(-1)+0.5

7、2=0.55? =P1( r1-EE)2+P22( r2-E)200. 5=0.5(-1-0.55)2+0.5(2-00.5)20.5=11.5上式中P1=00.5和r1= -1是亏钱的的概率和幅度度，P2=00.5和r2=2是嬴嬴钱的概率和和幅度。根据据马科维茨理理论，期望越越大越好，而而标准方差越越小越好。标标准方差反映映了收益的不不确定性或投投资风险。至至于两种证券券或两种组合合，一个比另另一个期望收收益大，标准准方差也大，那那么选择哪一一个好呢？马马科维茨理论论认为这没有有客观标准。有有人不在乎风风险而只希望望期望收益越越大越好，而而有人为了小小一些的风险险而情愿要低低一些的期望望收益

8、。马科维茨证明了了，通过分散散投资互不相相关或反相关关的证券，可可以在不降低低期望收益的的情况下，减减小总的投资资的标准方差差(即风险). 比如同时用用两个硬币打打赌，嬴亏幅幅度同样，每每种证券下注注50%时, 收益的可可能性有三种种：1)两边亏，亏亏100，概概率是1/44=0.255; 2)一一亏一嬴，嬴嬴50, 概率是1/22=0.5 ; 3)两两边嬴，嬴2200，概概率是1/44=0.255. 这时期期望收益E=0.5不变变，标准方差差由1.5减小为为?=0.255(-1-00.5)2+0.5(00.5-0.5)2+00.25(22-0.5)0. 55=1.066如果两个硬币的的嬴亏总

9、是反反相关的，比比如一个出AA面，另一个个必定出B面，反之亦亦然；则期望望收益不变，标标准方差为00?完全无无风险。马科维茨理论的的成就是巨大大的，但是其其缺陷也是不不可忽视的。缺缺陷之一是：不认为有客客观的最优投投资比例，或或者说并不提提供使资金增增值最快的投投资比例(当然也就不不能解决前面面的掷硬币打打赌问题)； 缺陷之二是是：标准偏差差并不能很好好反应风险。下下面我们举例例说明。例：两种证券当当前价格皆是是1元，证券券I(象是期期权)未来价价格可能是00元和2元，概概率分别为11/4和3/4（参看图图1，其中产产出比=产出出比=本利和和/本金=11+收益)。证证券II(象象是可转换债债券

10、)的收益益的期望和标标准方差同样样是0.5和和0.8866，但是收益益的概率分布布以0.5为为中心(产出出比以1.55为中心，)对称反转了了一下.两者者投资价值分分析如表1所所示(这里忽忽略银行利息息和交易手续续费)。图 1 期望和和标准方差相相同但风险不不同的两个证证券表 1 期望和和标准方差相相同的两种证证券的投资价价值分析期望标准方差下100时平平均复利优化比例优化后平均复利利比例证券 I0508861005015证券 II0508863210032表中最优投资比比例?1000%意味着：如果可以贷贷款或透支，投投更多更好。按按Markoowitz 理论，A和B投资价值相相同，而按常常识和

11、投资组组合的几何增增值理论，BB远优于A。 对于存在大大比例亏损可可能的投资，比比如期权、期期货、放贷(可能收不回回本金)、卫星发射射和地震保险险（风险极大大而标准方差差并不大），马马科维茨理论论的缺陷尤为为明显。几何级数增值的的魅力1988-19989年，日日本股市从221564点点上涨了800，到达388921点；然后开始大大跌，19992年8月跌到141194点，跌跌幅达63。虽然然80大于63，算术术平均大于00，可是总的的来说是跌的的，跌了约11/3，因为为累积产出比比是 (1+0.8)(1-0.663)=0.666，累累积收益是00.666-1= -00.334-33.44. 炒过

12、股票的人都都知道，如果果你总是将所所有的资金买买入股票，则则先赚50% 再亏50%； 或者先亏后后赚，虽然算算术平均收益益是0，可是你的的资金会变少少(变成0.51.5=00.75倍)。可见算术术平均收益不不能反映实际际增值情况。能反映实际增值值的收益是什什么呢？是几几何平均收益益。设每一元元资金投资NN年后变为M元，则累计计产出比是MM/1=M。 累计产出比比的N次开方M1/N被称为几几何平均产出出比， 我们记为Rgg, 即Rg=M11/N 。 投资的平均均复利又叫几几何平均收益益，我们记为为rg，则有rg=Rg-1. 可见几何何平均产出比比或几何平均均收益才能反反映长期投资资业绩。因为为N

13、年累积产出比比M=RgNN =(1+rg)N.投资组合的几何何增值理论(或者说熵理理论)就是用几何何平均产出比比作为优化投投资组合的标标准，根据这这一标准，使使几何平均收收益达最大的的投资比例就就是最好的投投资比例。稳定的几何增长长具有无比的的魅力。几何何平均收益的的微小优势，在在长期累计后后可能导致惊惊人的成功。下下表显示了几几何平均收益益对20年累积产产出比的影响响。表1 几何平均均收益对200年累积产出出比的影响几何平均收益10%15%20%23.8%20年产出比6.716.438.371.5其中23.8%就是巴费特特管理的伯克克希尔公司332年里的几几何平均收益益。在过去的的32年里，

14、伯伯克希尔公司司每股资产从从19美元增长长到190111美元，算算术平均年收收益大约是11000/332=31225，可是是几何平均年年收益只有223.8%. 美国的基基金管理大师师彼得林奇之所以以有成功，是是因为他十年年里使基金的的几何平均收收益达到300。有人做做过计算说明明，虽然两百百年前美国政政府从印地安安人手里以极极便宜的价格格买了大片土土地，但是如如果印地安人人把钱存入银银行每年得到到现在美国长长期国债的收收益，则利滚滚利后，印地地安人现在将将极其富有，足足以买回更大大面积的土地地。可见稳定定的几何平均均收益的威力力。有人炒期货看到到可能的盈利利幅度大于亏亏损幅度就大大量投入；有有

15、人炒期货还还要透支。 中国人在期期货市场上破破产的比例极极大，原因就就是因为许多多人看不到稳稳定增值的重重要性。许多股民类似，他他们对收益波波动极大的亏亏损垃圾股、庄庄股、新股、权权证等倍加追追捧；而对收收益较为稳定定的年收益达达2030的投资资（比如认购购新股)不以为然。这这不能不说是是中国股市不不成熟的表现现。笔者特别羡慕那那些有稳定收收入的年轻人人。只要他们们有耐心，采采取稳健的策策略(比如每年认认购新股，如如果认购新股股效益不变的的话)，一、二十十年后成为百百万富翁将极极其容易。当当然，对于包包括笔者在内内的许多人?既不年轻轻又有生活压压力，要成为为百万富翁，我我们当采取更更加进取的投

16、投资策略，即即选择多种投投资方式，优优化投资组合合，赢得更高高的几何平均均收益。掷硬币打赌问题题的数学解答答掷硬币打赌问题题是：有一种种可以不断重重复的投资或或打赌，其收收益由掷硬币币确定，硬币币两面出现的的可能性相同同； 出A面你投一亏亏一，出B面你投一赚赚二；假设你你开始只有1100元，输输了没法再借借。现在问怎怎样重复下注注可以使你尽尽快地由百元元户变为百万万元户? 不知读者是否记记得中学学过过的抛物线公公式y=axx2+bxc。抛物线可可以用来描述述炮弹飞行轨轨迹，它有一一个最高点, 当水平距距离x= - bb/(2a) 时，高度度y达最大。下下面我们说明明中学数学知知识如何能帮帮助我

17、们尽快快成为百万富富翁。对于上面的掷硬硬币打赌，几几何平均产出出比Rg随下注比比例q的变化是要使Rg达最大大，只需使上上式右边括号号中的内容达达最大。根据据中学数学知知识，q= -1/22(-2)=1/4=0.25=25%时，括括号中的内容容，也即几何何平均收益RRg达最大。这这就是说，对对于上面的掷掷硬币打赌，25是最优投资比例。图1 几何平均均收益rg和算术平平均收益raa随q的变化对于上面的掷硬硬币打赌，算算术平均收益益ra和几何平平均收益rgg随下注比例例q的变化如图图1所示。容易易看出，算术术平均收益rrg和投资比比例q成正比关系系；而几何平平均收益不是是，q太大反而不不好，如果qq

18、0.5则则从长远看必必然亏损。上面假设硬币的的两面出现的的可能性或概概率相同，即即P1=P22=0.5；嬴亏幅度是是给定 的（1和2)。 如果硬币是是弯的，一面面出现的可能能性大，另一一面出现的可可能性小, P1和P2皆不等于于0.5, 并且嬴亏幅幅度也是变的的(为r1小于0和r2大于0)， 这时几何平平均收益等于于则这时最优比例例如何求法？ 现在我们用用H表示资金翻翻一番数目， 如果Rg=2， 则H=1; 如果Rg不等于2呢? 我们可以用log2Rg表示翻番数， 即H=log2RRg=P1llog(1+r1q)+P2logg2(1+rr2q)这一公式很象通通信理论中的的熵公式，所所以我们把翻

19、翻番数H叫做增值熵熵。这样求几几何平均收益益最大和求增增值熵最大就就是一回事。可可惜这时不能能用中学生的的方法求最优优投资比例。这这时要用到大大学生学到的的求极值的方方法(可见数学还还是有用的)。令H对q的导数等于于0可以求出最最优投资比例例是q*= ?(PP1r1+PP2r2)/(r1r22).注意上式分子括括号中正好是是算术平均收收益。有了这这一公式，我我们就可以对对付收益更复复杂的打赌或或投资。比如如重复掷骰子子打赌，可能能出现的数字字是1到6；出1，2亏一倍，出出3，4，5，6嬴一倍。P11=1/3, P2=22/3, rr1= ?11, r2=1。于是可可以求出最优优下注比例qq*=

20、1/33=33.33%。读者不不妨通过反复复掷硬币或掷掷骰子检验上上面结论。股票和国债的投投资组合优化化上一节我们介绍绍了掷硬币打打赌下注比例例的优化公式式： q*= ?(PP1r1+PP2r2)/(r1r22).有人会问：剩下下的资金不投投资不是浪费费掉了？回答答是：剩下的的资金如能产产生稳定收益益更好，即使使不能产生，那那也不是浪费费。就象打仗仗要有后备军军一样，风险险投资也要有有后备军，它它能在前次投投资亏损后发发挥更大效用用。可幸的是是，目前深圳圳上海交易所所允许股民同同时从事股票票和国债买卖卖，使得股民民可以用“后备军”购买国债，同同时得到稳定定的国债收益益。假设只有购买二二级市场股

21、票票和购买国债债两种投资方方式，股票收收益近似用掷掷硬币打赌收收益来模拟，即即已知国债收收益率r0和股票收收益的概率预预测P1,rr1, P22, r2。如如何优化股票票和国债的投投资比例？这这时资金的平平均翻番数或或增值熵变为为H=log2RRg=P1llog2(11+r0q00+r1q)+P2loog2(1+r0q0+r2q)其中q01q, 是投资资国债的比例例。令H对q的导数等于于0可以求出最最优投资比例例：q*= ?(PP1d1+PP2d2)RR0/(d11d2).其中R0=1+r0, 是是投资国债的的产出比；dd1=r1- r0和d2=r2?r0是超出出国债收益的的收益。国债债收益也

22、可以以说是市场平平均收益，我我们可以说dd1和d2是超常收收益。因为国国债利率反映映了资金成本本，我们也说说上式是考虑虑资金成本的的优化公式。例：可选择的投投资是股票和和国债，投资资人每年年终终调整投资比比例, 股市每年年的涨跌幅由由掷硬币确定定，收益预测测P1=P22=0.5, r1= -0.3, r2=00.8，一年年期国债收益益率是r0=0.1; 求股票最优优投资比例qq*(忽略手续续费)。解:已知R0=1+r0=1.1; d1= -0.3-00.1= -0.4, d2=0.8-0.11=0.7; 由上面公公式可以求出出q*=0.59.故最优的股票和和国债投资比比例是0.559:0.44

23、1。图 1 三种投投资方式资金金增值比较我们按三种不同同方式重复投投资，资金增增值情况如图图1所示。其中中假设有十个个年头，每年年收益预测相相同; 按优化的的投资比例投投资，则投资资者每年年终终都要转移一一下资金。如如果上一轮股股票赚了就减减少股票仓位位，否则就增增仓，保持适适当的持股比比例这是取胜胜的关键。由由图可见，全全投股票或全全投国债的效效果显然不如如优化的组合合。怎样战胜小神仙仙赌博和投资并没没有严格的分分界线。首先先，两者收益益都是不确定定的；其次，同同样的投资工工具，比如期期货，你可以以按照投资的的方式来做，也也可以按照赌赌博的方式来来做不做任何何分析，孤注注一掷；同样样的赌博工

24、具具，比如赌马马，你可以象象通常人们所所做的那样去去碰运气，也也可以象投资资高科技产业业那样去投资资基于细致致的分析按恰恰当的比例下下注。但是赌博和投资资也有显然不不同的地方：投资要求期期望收益一定定大于0，而赌博不不要求.。比如通常常人们买彩票票、赌马、赌赌大小 的期望收益益就小于0。支撑投资资的是关于未未来收益的分分析和预测，而而支撑赌博的的是侥幸获胜胜心理。投资资要求回避风风险，而赌博博是找风险。一一种投资工具具可能使每个个投资者获益益，而赌博工工具不可能。投资也是一种博博弈对手是“市场先生”。但是评价价投资和评价价通常的博弈弈比如下围棋棋不同。下围围棋赢一目空空和赢一百目目空是等价的的

25、，而投资赚赚钱是越多越越好。由于评评价标准不同同，策略也不不同。对于赌大小或赌赌红黑那样的的赌博，很多多人推荐这样样一种策略：首先下一元元（或1），如果果输了，赌注注加倍；如果果赢了，从头头开始再下一一元。理由是是只要有一次次赢了，你就就可以扳回前前面的全部损损失，反过来来成为赢家赢一元；有人还认为为它是一种不不错的期货投投资策略。但但是从几何增增值理论看，这这是一种糟透透了的策略。因因为这样做虽虽然胜率很高高，但是赢时时赢得少，输输时输得多可能倾家家荡产，期望望收益为0不变，而风风险无限大。不不过，这种策策略对于下围围棋等博弈倒倒是很合适，因因为下围棋重重要的是输赢赢，而不在于于输赢多少目目

26、。围棋手在在实空不如对对手的情况下下扩大战争或或放出胜负手手就是采用这这一策略。电影生死赌门门上面有个个小神仙，特特别善于心理理战。赌博方方式是猜宝，那那里的宝是两两个分别涂有有红黑二色的的圆块块。小小神仙在密室室里把其中之之一放在宝盒盒中，然后让让人拿出宝盒盒供大家下注注，下中颜色色者赢，否则则输。猜家总总是根据前面面的颜色预测测后面的颜色色，如果出宝宝者出的颜色色顺序和猜家家预测的不同同，猜家就会会输。有一次次小神仙一连连出十几个黑黑，令众多赌赌徒大跌眼镜镜。后来赌场场老板为鼓励励其他赌博高高手向小神仙仙挑战，给予予优惠赔率：挑战者输了了一赔一，赢赢了一赔五。结结果小神仙还还是一再赢了了。

27、现实中可能有这这样赢钱的赌赌坊吗？我说说可能。假设设每赌三次小小神仙赢两次次，赌徒每次次拿出自己的的一半资金下下注，那么赌赌徒的几何平平均产出比是是0.5223.511/31, 重复赌下下去，赌徒必必输无疑。很很多赌徒没有有足够的耐心心，输到一定定程度就孤注注一掷，那样样亏光更快。怎样战胜小神仙仙呢？首先要要有恰当的比比例。根据熵熵理论得出的的比例是(嬴亏概率分分别是1/33和2/3，幅度度是-1 和5):q*= ?(PP1r1+PP2r2)/(r1r22)? (22/3)(-1)+(1/3)5/(-15)=0.2即每次拿出你的的20资金下下注，多次重重复，必能取取胜。另外，你可以通通过掷硬币

28、确确定下哪一种种颜色，由此此避免心理战战。小神仙再再聪明也难猜猜中掷硬币结结果，那样你你的胜率当接接近1/2。如果你没有太好好的运气，赌赌场老板不是是一赔五，而而是一赔二，即即使你通过掷掷硬币避免心心理战的不利利，你也要注注意控制下注注比例（255最优，超超过50就会输输钱）。由前面分析可以以看出，赌场场老板赢钱的的一个重要原原因是：参赌赌者没有足够够的耐心，或或赌注下限太太高，使得赌赌友很容易输输光自己的资资金，失去扳扳本的机会；而赌场老板板的“战斗寿命”要长得多，因因为资金实力力更大，也因因为面对不同同的赌友老板板分散了投资资，因而不容容易输光。另另外，许多赌赌博方式都有有庄家占先的的特例

29、，比如如掷3只骰子赌大大小，只要庄庄家掷出三个个“1”或三个一样样，则不管下下注者掷出什什么，庄家通通吃，这使得得庄家的期望望收益大于00，而下注者者的期望收益益小于0。从统计的的角度看，赌赌得越久，庄庄家胜率越大大。有部美国电影叫叫赌场风云云，其中讲讲道，如果游游客嬴了大钱钱，老板就会会想方设法缠缠住他再赌，使使用的办法小小到让妓女去去挽留，大到到让飞机晚点点。没有耐心心的赢家往往往很快会变为为输家。上面讲的还是比比较规范的赌赌场，有的赌赌场在赌具上上搞鬼，或者者使用暴力挽挽回损失，那那么赌徒就更更没有赢钱的的希望。想通通过赌博赚钱钱往往是“出去减羊毛毛，自己的脑脑瓜被剃成瓢瓢”。但是由于于

30、人的冒险本本性和总希望望有意外惊喜喜的本性，使使得赌博可以以作为一种娱娱乐。注意，赌赌注小点再小小点，不然娱娱乐就会变成成痛苦。股民跟庄和赌徒徒企图战胜小小神仙类似。如如果预计的盈盈利幅度不是是远大于亏损损幅度，则最最好避而远之之； 即使盈利可可能性和幅度度较大，也应应以恰当的比比例下注。从巴费特的一笔笔生意看保险险公司如何量量力而行巴菲特不仅是股股票投资大师师，还是杰出出的保险经营营家。他的一一个著名经营营策略是：在在别人纷纷降降价销售保险险，扩大市场场的时候，自自己收缩保险险业务；在别别人遭受破产产风险之后，自自己再加大保保险业务。正正是由于这一一策略，巴菲菲特控股的保保险公司(GGEIC

31、O)才能在竞争争激烈的保险险市场上发展展壮大。巴菲菲特的这一策策略通俗说来来就是：量力力而行，生存存唯上。但是是巴菲特又敢敢于冒别人不不敢冒的风险险。下面的例例子说明他特特别善于在风风险和收益之之间作适当的的权衡。最近，巴菲特又又做了一桩很很大的保险生生意。他和加加州政府签订订协议：在11997年44月1日到22001年33月31日的的四年里，加加州如发生损损失达70亿亿美元的地震震灾害，巴菲菲特将赔偿115亿。加州州为此现在付付给巴菲特55.9亿美元元。据历史统统计，加州出出现超过700亿元的地震震损失大约880年一次，即即巴菲特赔偿偿损失的概率率是4/800=1/200=5%.这这笔保险生

32、意意看来很合算算，因为承保保人的期望收收益是5.99-1555%=5.115亿。一旦旦赔偿，损失失是1555.9=9.1亿（忽略略银行利息)。但是为什什么没有人出出低于5.99亿的价格抢抢走巴菲特的的生意呢？可可能的原因是是：1)其他他承保人心有有余而力不足足；2)其他他承保人担心心未来4年发发生大地震的的概率比过去去大许多；33)巴菲特通通过非保费竞竞争手段赢得得了这桩生意意。对于第三三种因素我们们姑且不论。现现在我们从几几何增值理论论的角度考虑虑前两个因素素。首先，假设赔偿偿损失的概率率是5，求求自有资本达达多大的承保保人承保最好好。对于本例例，P1=00.05, P2=0.95。 我我们

33、可以设亏亏损额9.11亿就是投资资额，则r11= -1, r2=55.15/99.1=0.57。利用用不考虑资金金成本的优化化比例公式，可可以求出最优优投资比例：q*= -(P1r11+P2r22)/(r11r2)= -0.005(-11)+0.9950.557/(-10.557)=0.862令qq*=投资额额/自有资本本，可得：自自有资本投投资额/q*=9.1/0.862210.556亿。即：自有资金为为10.566亿的承保人人承保，可使使自己的资金金几何平均增增值最快。巴菲特的保险公公司资产远超超过10.556亿，故承承保更安全。现在我们看另一一个问题：假假设保险公司司自有资产为为30亿,

34、 问赔偿概率率大到什么程程度，保险公公司才不合算算。令几何平平均收益或增增值熵等于00，即H=llog2Rgg=P1loog(1-99.1/300)+(1-P1)loog2(1+5.15/30)=00由此方程可可以解出P11=0.3。这这就是说，当当亏损概率达达到0.3时时，如此保险险才是不合算算的(重复如如此保险将使使自己的资金金不断减少)；如果考虑虑管理费用，这这一比例应更更低一些。从上面分析可以以看出，退出出竞争的保险险公司过高地地估计了承保保的风险。保险公司如何参参与火箭发射射保险竞争？几何增值理理论同样可以以告诉你如何何量力而行。例：卫星发射有有失败和成功功两种可能，担担保金额是22

35、亿，保费是是3千万，失失败和成功的的概率分别为为0.1和00.9，问有有多少净资产产的公司适于于独家承保；净资产为33亿的保险公公司应分保多多大比例？解：P1=0.1, P22=0.9; 险公司的的投资亏损时时亏1倍, 盈利时赚00.3/2=0.15倍倍, 故r11=-1, r2=0.15. 利利用前面公式式可以算出最最优投资比例例是q*=00.23。设设保险公司净净资产为Z, 则投资比比例q=2/Z。令q=q*=0.23, 可可得Z=Z*=2/0.23=8.7。故净资资产大于或等等于8.7亿亿的保险公司司适于独家保保险。仅有33亿净资产的的公司适于承承保的比例是是3/8.77=0.344=3

36、4%。前面假设保险公公司在同一期期间只承保一一桩风险。如如果承保多桩桩风险，就要要用到更复杂杂数学公式甚甚至电脑程序序, 一般情情况下要求承承保人有更强强的实力。上上面的优化公公式仍不失参参考价值。从从目前的自然然灾害、飞机机失事等保险险行情来看，保保费比率太高高了，使得开开保险公司远远比开赌场合合算。希望上上面的分析有有助于保险行行业的竞争，使使买保险者受受益。医疗等保险和卫卫星发射的地地震灾害保险险不同, 可可能嬴亏幅度度xi有多种种，保险赔偿偿比率的概率率分布可以通通过统计得到到。假设x00是保本比率率(其确定考考虑了保费的的投资收益和和管理费用)。第i种比比率发生时，保保险公司的产产出

37、比是rii=1+q(x0-xii)/x0, 其中q等等于保费除以以保险公司净净资产。则相相应的增值熵熵是H=Sii P(xii)log221+q(1-xi/x0)（SSi 表示累累加)。对于于给定的赔率率xi的概率率分布和保本本赔率x0, 可以用电电脑求出最优优承保比例qq*。设q是是保费比率ff的函数(因因为f越小棗棗即保险越便便宜，q将越越大棗即投保保人越多), 即q=qq(f)，则则通过上式可可以求出最优优的保费比率率f *。在降低保费比率率以便增加客客户的同时也也会增加风险险，风险大了了又要求有较较低的最优投投资比例q*。目前在中中国，许多保保险公司不顾顾一切地抢占占市场(特别别是人寿

38、和养养老保险市场场)，好象保保费是没有成成本的利润，不不要白不要，这这是很危险的的。美国就曾曾有许多保险险公司因降价价出售保险而而破产。巴菲菲特的策略揪他在保保险市场过热热时情愿失去去部分市场而而不降价出售售保险，在别别人无力承保保时加大承保保量值得得借鉴。怎样根据盈亏的的幅度和概率率定头寸笔者曾听到一位位经纪人说：“我看到一一个又一个来来做期货的亏亏完钱离开的的样子，心里里真不是滋味味；好象我们们把人家骗来来，搜光他们们身上的钱，再再把他们赶出出去。”笔者者以为原因主主要在于头寸寸控制不好。罗恩迈克尔森森在世界杰杰出交易商的的特色(中中国期货，996年2月)一文中写道道：一般来说，什么么队能

39、拿全国国或世界杯呢呢？是防守好好的。交易易大师总是留留有退路，以以便东山再起起。交易大大师总是保存存资本。拉里里海特每次次交易只拿出出1的资本本。投资者者商业报的的比尔奥尼尼尔说，每庄庄买卖所耗费费的资本不要要超过7，超超过7，他他就会被赶出出市场。埃德德赛柯塔说说，保存资本本是最重要的的赚钱秘密，如如果不能保存存实力，就不不能把期货交交易进行到底底。很多人认为，只只投入一小部部分资金，手手里留那么多多现金，这不不是很浪费吗吗？从几何增增值的角度看看， 即使其其他资金不投投在别处，那那也不是浪费费。因为期货货交易就象打打仗，留下的的现金就是你你的后备军，它它能在你亏损损时发挥更大大效用。笔者赞

40、成头寸控控制的重要性性，但是不以以为7或110是牢不不可破的界限限。头寸控制制在多大范围围内，应以盈盈亏的概率预预测而定。有人说，只要盈盈利的空间（或或者说幅度）是是亏损空间的的三倍，就值值得投资。但但是投多少呢呢？可以百分分之百投入吗吗？盈亏概率率不等时又如如何处理? 下面我们先先看盈亏等概概率时, 优优化比例如何何随盈亏幅度度变化。例：对于只有盈盈亏可能性皆皆相同的投资资，一种是股股票，盈亏相相对(相对于于保证金)幅幅度是 -110和300；另一种种是期货，盈盈亏相对幅度度是 -1000和3000，求优优化的投资比比例(忽略资资金成本和交交易手续费）。解：用最优投资资比例公式qq*= -(

41、P1r1+P2r2)/(r1rr2)可以得出结论：对于前者，可可以满仓甚至至透支投入；而对于后者者，最优比例例是33%。这表明，风险越越大，投资比比例应越小。根据盈亏概率定定头寸可以同同样依据上面面公式。假设设两种可能的的盈亏幅度是是：r1=-2, r22=3; 当当0P100,不管它有有多小，你的的做多头寸占占有的资金比比例都不能超超过1/2，因因为一旦超过过，有一次亏亏损，你就得得破产；同样样，只要P11不等于1，不不管它多么接接近1，你做做空的头寸占占有的资金比比例都不能超超过1/3，因因为一旦超过过，有一次亏亏损，你就会会全军覆没。由由此可见，对对于期货这样样的盈亏幅度度很大、而且且不

42、能被绝对对正确预测的的交易，最优优投资比例往往往被限制在在很小的范围围内，一旦超超出，就可能能破产。这也也说明了为什什么很多人加加入期货交易易不久就被淘淘汰出局。鸡蛋和篮子问题题俗话说，不要把把鸡蛋放在一一个篮子里。下下面我们将说说明这是有数数学道理的。前面我们假设只只有一种投资资(证券或项项目)，如果果有两种三种种呢? 是否否有最优的在在各证券上的的投资比例? 有! 现现在我们假设设有两种可选选择期货，它它们的收益由由两个硬币的的投掷结果确确定(出A面面你投一亏一一，出B面你你投一赚二)。这时如何何确定现金比比例和各期货货上的投资比比例(假设两两种期货上的的投资比例相相同，使得得重复投资后后

43、累积收益最最大?这时有三种可能能的盈亏：11)同时出AA面，亏损是是下注资金的的1倍，概率率是1/4;2)一A一一B, 盈利利是下注资金金的0.5倍倍，概率是11/2;3)同时出A面面，盈利是下下注资金的22倍，概率也也是1/4。上面问题和下面面问题是等价价的：假设用用两个足够大大的篮子贩运运鸡蛋，运到到目的地可赢赢利200%(增值为原原来的 3倍倍)，每个篮篮子在路上被被打翻从而损损失100%的概率是00.5，两个个篮子是否被被打翻是相互互无关的，每每个篮子各装装价值多少资资金的鸡蛋，可可使多次贩运运后，资金平平均增值最快快?掷硬币实验和理理论研究表明明，各投总资资金的23%可使长期累累积增

44、值最快快(参看表11) 。表11 两种期货货时，不同下下注比例的增增值比较实验序号掷币结果张大胆各下500李糊涂各下255你各下23王保守各下122.501001001001001A,B150125123112.52A,A062.566.4284.383B,A078.1381.797.464B,B0156.26156.86155.55B,A0195.32192.94174.946B,B0390.64370.44262.417A,B0488.3455.64295.218A,A0244.15246.05295.21.0244.15246.05221.4160596.09606.41490.18几何

45、平均收益100118119117假如有三个、四四个篮子，甚甚至无穷多个个篮子呢，理理论研究表明明有表2和图图1结果。表2 优化比例例和几何平均均收益随篮子子数目变化篮子数目1234N最优投资比例%1?52?33?1.14?9.2N?00/N几何平均收益%6.0711.9117.4522.5850可见，篮子越多多，资金越分分散，资金平平均增值越快快. 当然，实实际投资中，过过于分散会增增加信息和操操作成本，适适当地将鸡蛋蛋分散放在五五、六个篮子子里， 投资资组合的效果果就相当不错错了。图 1 投资比比例和收益随随篮子数目变变化(N)有人不喜欢分散散，认为集中中力量分析并并投资一个品品种更好。而而

46、事实往往是是：不管你付付出多少精力力，你对某个个期货品种的的了解和认识识永远有限；盈利往往在在于机会，而而不在于能力力，就象当官官一样。分散散实际上就是是更充分利用用机会。另一方面，不恰恰当地分散投投资也是要不不得的。 是是否分散要看看：1)产出出比是否随投投资规模增大大而减小，如如果增大,比比如对于对于于存在规模效效益的行业，分分散往往不好好；2)投资资的收益是否否是不确定的的，如果确定定，则无必要要分散；3)不同投资收收益是否是不不相关甚至反反相关的， 如果相关，则则分散无效。比比如同时做多多不同月份的的期铜和只做做单个月份的的期铜没有很很大区别。反相关组合对几几何增值的影影响在前面的鸡蛋和和篮子的问题题讨论中，我我们假设几个个篮子被打翻翻是相互独立立的，如果几几个篮子被打打翻是相关的的会怎么样呢呢? 显然，如如果两个篮子子总是一道被被打翻，那么么，将鸡蛋放放两个篮子里里和放一个篮篮子里是一样样的，并不能能降低风险。同同样的道理