2 2013高三数学第一轮复习资料（新课标） 指数与指数函数 对数与对数函数幂函数与二次函数.doc

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1、第4讲指数与指数函数【2021年高考会这样考】1考查指数函数的图象与性质及其应用2以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用3以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比拟大小【复习指导】1熟练掌握指数的运算是学好该局部知识的根底，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一根本技能是重中之重2本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质. 根底梳理1根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n1且，nN*)，那么这个数叫做a的n次方根也就是，假设xna，那么x叫做a的n次方根，

2、其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数(2)根式的性质当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示正负两个n次方根可以合写为(a0)na.当n为奇数时，a；当n为偶数时， |a|.负数没有偶次方根2有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂：anaa (nN*)；零指数幂：a01(a0)；负整数指数幂：ap(a0，pN*)；正分数指数幂：a(a0，m、n N*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m、nN*且n1

3、)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r、sQ)(ar)sars(a0，r、sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)x0时，0y1x0时，y1.在(，)上是减函数当x0时，0y1；当x0时，y1；在(，)上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论(2)换元

4、时注意换元后“新元的范围三个关键点画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.双基自测1(2021山东)假设点(a,9)在函数y3x的图象上，那么tan的值为() A0 B. C1 D.解析由题意有3a9，那么a2，tan tan .答案D2(2021郴州五校联考)函数f(x)2|x1|的图象是()解析f(x)应选B.答案B3假设函数f(x)，那么该函数在(，)上是()A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值解析设yf(x)，t2x1，那么y，t2x1，x(，)t2x1在(，)上递增，值域为(1，)因此y在(1，)上递

5、减，值域为(0,1)答案A4(2021天津)a5log23.4，b5log43.6，clog30.3，那么()Aabc BbacCacb Dcab解析clog30.35log30.35log3，log23.4log221，log43.6log441，log3log331，又log23.4log2log3 ，log2 3.4log3 log4 3.6又y5x是增函数，acb.答案C5(2021天津一中月考)aa3，那么aa1_；a2a2_.解析由条件(aa)29.整理得：aa17又(aa1)249，因此a2a247.答案747考向一指数幂的化简与求值【例1】化简以下各式(其中各字母均为正数)(1

6、)；(2)ab2(3ab1)(4ab3).审题视点 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键解(1)原式 ab.(2)原式ab3(4ab3) ab3 ab . 化简结果要求(1)假设题目以根式形式给出，那么结果用根式表示；(2)假设题目以分数指数幂的形式给出，那么结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂【训练1】 计算：(1)0.02720；(2).解(1)原式(1)221 49145.(2)原式aabba0b0.考向二指数函数的性质【例2】函数f(x)x3(a0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值

7、范围，使f(x)0在定义域上恒成立审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决解(1)由于ax10，且ax1，所以x0.函数f(x)的定义域为x|xR，且x0(2)对于定义域内任意x，有f(x)(x)3 (x)3(x)3 x3f(x)，f(x)是偶函数(3)当a1时，对x0，由指数函数的性质知ax1，ax10，0.又x0时，x30，x30，即当x0时，f(x)0.又由(2)知f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，那么当x0时，x0，有f(x)f(x)0成立综上可知，当a1时，f(x)0在定义域上恒成立当0a1时，f(x).当x0时，1ax0，ax10，ax1

8、0，x30，此时f(x)0，不满足题意；当x0时，x0，f(x)f(x)0，也不满足题意综上可知，所求a的取值范围是a1. (1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以到达所需要的形式，另外，还可利用f(x)f(x)，来判断(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法【训练2】 设f(x)是定义在R上的函数(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)假设f(x)是偶函数，试研究其在(0，)的单调性解(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，即a0，即a210显然无解f(x)不可能是奇函数(2)因为f(x)是偶函数，所以f

9、(x)f(x)，即，整理得(exex)0，又对任意xR都成立，有a0，得a1.当a1时，f(x)exex，以下讨论其单调性，任取x1，x2(0，)且x1x2，那么f(x1)f(x2)ex1ex1 ex2ex2 ，x1，x2(0，)且x1x2，ex1x21，ex1ex20，ex1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)，当a1时在(0，)为增函数，同理，当a1时，f(x)在(0，)为减函数考向三指数函数图象的应用【例3】(2021山东)函数y的图象大致为()审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性解析y1，当x0时，e2x10且随着x的增大而增

10、大，故y11且随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，应选A.答案A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比方：函数y，y，ylg(10x1)等【训练3】 方程10x10x，lg xx10的实数解分别为和，那么的值是_解析作函数yf(x)10x，yg(x)lg x，yh(x)10x的图象如下图，由于yf(x)与yg(x)互为反函数，它们的图象是关于直线yx对称的又直线yh(x)与yx垂直，yf(x)与yh(x)的交点A和yg(x)与yh(x)的交点B是关于直线yx对称的而yx与yh(x)的交点为(5,5)又方程10x10x的解为A点横坐标，

11、同理，为B点横坐标5，即10.答案10难点突破3如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最根本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【例如】 (2021福建五市模拟)设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数K，定义函数fK(x)取函数f(x)2xex，假设对任意的x(，)，恒有fK(x)f(x)，那么K的最大值为_二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法【例如】 假设f1(x)3|x1|，f2(x)23|xa|，xR，且f(x)那么f(x)f1(x)

12、对所有实数x成立，那么实数a的取值范围是_第5讲对数与对数函数【2021年高考会这样考】1考查对数函数的定义域与值域2考查对数函数的图象与性质的应用3考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质4考查对数函数与指数函数互为反函数的关系【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响根底梳理1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点记法 一般对数底数为a(

13、a0且a1)logaN常用对数底数为10lg N自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法那么(1)对数的性质alogaNN；logaaNN(a0且a1)(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.(3)对数的运算法那么如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；log amMnlogaM.3对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，)值域：R过点(1,0)当x1时，y0当0x1，y0当x1时，y0当0x1时

14、，y0是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称 一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法那么都可以通过对数式与指数式的互化进行证明两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，.四种方法对数值的大小比拟方法(1) 化同底后利用函数的单调性(2)作差或作商法(3)利用中间量(0或1)(4)化同真数后利用图象比拟双基自测1(2021四川)2 log510log50.25()A0 B

15、1 C2 D4解析原式log5100log50.25log5252.答案C2(人教A版教材习题改编)alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，那么a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dcab解析将三个数都和中间量1相比拟：0alog0.70.81，blog1.10.90，c1.10.91.答案C3(2021黄冈中学月考)函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，) B0，)C(1，) D1，)解析设yf(x)，t3x1.那么ylog2t，t3x1，xR.由ylog2t，t1知函数f(x)的值域为(0，)答案A4(2021汕尾模拟)以下区间中，函数f(

16、x)|ln(2x)|在其上为增函数的是()A(，1 B.C. D1,2)解析法一当2x1，即x1时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数f(x)在(，1上单调递减当02x1，即1x2时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数f(x)在1,2)上单调递增，应选D.法二f(x)|ln(2x)|的图象如下图由图象可得，函数f(x)在区间1,2)上为增函数，应选D.答案D5假设loga1，那么a的取值范围是_答案考向一对数式的化简与求值【例1】求值：(1)；(2)(lg 5)2lg 50lg 2；(3)lg lg lg .审题视点 运用对数运算法那么及换底公式解(1)原式.(2)原式

17、(lg 5)2lg(105)lg (lg 5)2(1lg 5)(1lg 5)(lg 5)21(lg 5)21.(3)法一原式(5lg 22lg 7)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5(lg 2lg 5)lg 10.法二原式lglg 4lg(7)lglg. 对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化【训练1】 (1)假设2a5b10，求的值(2)假设xlog341，求4x4x的值解(1)由alog210，blo

18、g510，那么lg 2lg 5lg 101.(2)由xlog43，那么4x4x4log434log433.考向二对数值的大小比拟【例2】f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，那么a，b，c的大小关系是()Acab BcbaCbca Dabc审题视点 利用函数单调性或插入中间值比拟大小解析log3log23log49，bf(log3)f(log49)f(log49)，log47log49,0.20.62log49，又f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20

19、.6)f(log3)f(log47)，即cba，应选B.答案B 一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比拟大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决【训练2】 (2021全国)设alog32，bln 2，c5，那么()Aabc Bbca Ccab Dcba解析法一alog32，bln 2，而log23log2e1，所以ab，c5，而2log24log23，所以ca，综上cab，应选C.法二alog32，bln 2，1log2elog232，1；c5，所以cab，应选C.答案C考向三对数函数性质的应用【例3】函数f(x)loga(2ax)，是否

20、存在实数a，使函数f(x)在0,1上是关于x的减函数，假设存在，求a的取值范围审题视点 a0且a1，问题等价于在0,1上恒有.解a0，且a1，u2ax在0,1上是关于x的减函数又f(x)loga(2ax)在0,1上是关于x的减函数，函数ylogau是关于u的增函数，且对x0,1时，u2ax恒为正数其充要条件是，即1a2.a的取值范围是(1,2) 研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原那么研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题复合函数的单调性的法那么是“同增异减此题的易错点为：易忽略2ax0在0,1上恒成立，即2a0.实质上是忽略了真数大于0的条件【训练3】 f(x)lo

21、g4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间上的值域解(1)由4x10解得x0，因此f(x)的定义域为(0，)(2)设0x1x2，那么04x114x21，因此log4(4x11)log4(4x21)，即f(x1)0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递增在x上单调递增在x上单调递减在x上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)(3)两根式：f(x)a(

22、xx1)(xx2)(a0) 五个代表函数yx，yx2，yx3，yx，yx1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表两种方法函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)双基自测1(2021安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，那么f(1)()A3 B1 C1 D3解析f(x)为奇函数，f(1)f(1)3.答案A2.(人教A版教材例题改编)如图中曲线

23、是幂函数yxn在第一象限的图象n取2，四个值，那么相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，答案B3(2021浙江)设函数f(x)假设f()4，那么实数等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2解析由或得4或2，应选B.答案B4函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，那么b等于()A3 B2或3 C2 D1或2解析函数f(x)x22x2在1，b上递增，由条件即解得b2.答案C5(2021武汉模拟)假设函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为(，4，那么该函数的解析式f(x)_.解析f(x)bx2(ab2a)

24、x2a2由条件ab2a0，又f(x)的值域为(，4，那么因此f(x)2x24.答案2x24考向一二次函数的图象【例1】(2021安徽)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()审题视点 分类讨论a0，a0.解析假设a0，那么bc0，根据选项C、D，c0，此时只有b0，二次函数的对称轴方程x0，选项D有可能；假设a0，根据选项A，c0，此时只能b0，二次函数的对称轴方程x0，与选项A不符合；根据选项B，c0，此时只能b0，此时二次函数的对称轴方程x0，与选项B不符合综合知只能是选项D.答案D 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向

25、；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等【训练1】 二次函数f(x)的图象如下图，那么其导函数f(x)的图象的大致形状是()解析由函数f(x)的图象知：当x(，1时，f(x)为减函数，f(x)0；当x1，)时，f(x)为增函数，f(x)0.结合选项知选C.答案C考向二二次函数的性质【例2】函数f(x)x22x2在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t)(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值审题视点 分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式

26、解(1)f(x)(x1)21.当t11，即t0时，g(t)t21.当t1t1，即0t1时，g(t)f(1)1当t1时，g(t)f(t)(t1)21综上可知g(t)(2)g(t)的图象如下图，可知g(t)在(，0上递减，在1，)上递增，因此g(t)在0,1上取到最小值1. (1)二次函数yax2bxc，在(，)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数yax2bxc，在m，n上的最值需要根据二次函数yax2bxc图象对称轴的位置，通过讨论进行求解【训练2】 函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间

27、5,5上是单调函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，x1时，f(x)取得最小值1；x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，yf(x)在区间5,5上是单调函数，a5或a5，故a的取值范围是a5或a5.考向三幂函数的图象和性质【例3】幂函数f(x)xm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)(32a)的a的取值范围审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数的图象关于

28、y轴对称，m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)(32a)等价于a132a0或0a132a或a1032a.解得a1或a.故a的取值范围为. 此题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围【训练3】 幂函数yxa，当a取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，

29、线段AB恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图象三等分，即有|BM|MN|NA|.那么，()A1 B2 C3 D无法确定解析法一由条件得M，N，由一般性，可得，即log，log.所以loglog1.法二由解法一，得，那么a，即1.答案A标准解答4如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，防止漏解【解决方案】 对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论【例如】(此题总分值12分)(2021济南模拟)

30、f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，求a的值及函数表达式f(x) 求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论解答示范 f(x)424a，抛物线顶点坐标为.(1分)当1，即a2时，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a12(舍去)；(4分)当01，即0a2时，x时，f(x)取最大值为4a.令4a5，得a(0,2)；(7分)当0，即a0时，f(x)在0,1内递减，x0时，f(x)取最大值为4aa2，令4aa25，得a24a50，解得a5或a1，其中5(，0(10分)综上所述，a或a5时，f(x)在0,1内有最大值5.f(x)4x25x或f(x)4x220x5.(12分) 求解此题易出现的问题是直接利用二次函数的性质最值在对称轴处取得，无视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论【试一试】 设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)尝试解答函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当2a1时，函数在2，a上单调递减，那么当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，那么当x1时，ymin1.综上，g(a)