第9讲隐圆模型（原卷版）.docx

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1、中考数学几何模型9 :隐圆模型拨开云雾开门见山名师点睛【点睛1】触发隐圆模型的类型(1)动点定长模型若P为动点，但AB=AOAP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径原理：圆A中，AB=AC=AP备注：常转全等或相似证明出定长(2)直角圆周角模型固定线段AB所对动角NC恒为90 则A、B、C三点共圆，AB为直径原理：圆。中，圆周角为90。所对弦是直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角变式练习7 . (1)如图1, E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交NABC的外角平分线于点F,求证：FE=DE.当点,尸分别在对角线80、边CD上,若R?=6,则8石的(2)如图 2,正

2、方形 A5CQ, ZEAF=45,图2例题8.在锐角A8C中乂8=4,8C=5,NACB=45。，将ABC绕点8按逆时针方向旋转，得到48。， 点E为线段A3中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点3按逆时针方向旋转过程中，点P的对应 点是点P，求线段EP1长度的最大值与最小值.C1变式练习8 .如图，已知等边A3C的边长为8,点P是A3边上的一个动点（与点A、3不重合）.直线/是经过点 P的一条直线，把沿直线/折叠，点8的对应点是点牙.当。3=6时丁在直线/变化过程中，求AC9 面积的最大值.达标检测领悟提升强化落实1 .如图，是半圆。的直径，点C在半圆。上，A8=10, AC=8.。是弧

3、8c上的一个动点，连接AD, 过点C作CEL4。于E,连接BE.在点。移动的过程中，8E的最小值为.2 .如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ZBE, ZAEB90 , AC. 8。交于。.已知AE、 BE的长分别为3, 5,求三角形O8E的面积.3 .如图，正方形ABC。的边长是4,点E是A。边上一动点，连接BE,过点A作于点R 点P是 AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为.4 .如图，在 RSA3C 中，ZACB=90, /B=30。, AB=4,。是 5C上一动点，CE上AD 于 E, EFLAB 交 BC 于点F,则CF的最大值是.5 .如图，ABC为等边三角形，AB

4、=3,若P为ZkABC内一动点，且满足=NACH则线段P5长度的 最小值为.6 .如图，A3是半圆。的直径，点C在半圆。上，AB=5cm, AC=4cm.。是弧3C上的一个动点（含端点B,不含端点C),连接AQ,过点。作CE_LA。于,连接3E,在点。移动的过程中，的取值 范围是.7 .在RQASC中，ZC=90, AC=10, BC=12,点。为线段8C上一动点.以CO为。0直径，作AO 交。于点E,连5，则5E的最小值为.8 .如图，在等腰RtaA3C中，ZBAC=90, AB=AC, BC= /，点。是AC边上一动点，连接3Q,以 AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为.9

5、 .如图，在矩形A8CD中，已知A5=4, 3C=8,点。、P分别是边A& A。的中点，点”是边CQ上的 一个动点，连接0”,将四边形08cH沿。“折叠，得到四边形OFEH,连接PE,则PE长度的最小值是10 .如图，矩形A5CO中，AB=3, 5C=4,点石是AB边上一点，且AE=2,点尸是边8c上的任意一点, 把ABE尸沿 所翻折，点5的对应点为G,连接AG, CG,则四边形AGC。的面积的最小值为.备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可(3)定弦定角模型固定线段AB所对动角ZP为定值则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆(4)四点共圆模型若动角NA+动角NO180。 则A、B、C、D四点共圆原理

6、：圆内接四边形对角互补备注：点A与点C在线段AB异侧(5)四点共圆模型固定线段AB所对同侧动角NP=NC 则A、B、C、P四点共圆原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等备注：点P与点C需在线段AB同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB绕点。旋转一周,点M是线段AB上的一动点，点C是定点（1）求CM最小值与最大值（2）求线段AB扫过的面积（3）求最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OMJ_AB, B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：CMi最小，CM3最大线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积S&8C最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高典题探究启迪思维探

7、究重点例题1.如图，在边长为2的菱形A3CO中，ZA=60, M是边的中点，N是A3边上的一动点，将 沿所在直线翻折得到4MN,连接A、C,则A、C长度的最小值是.变式练习1 .如图，在RSA3C中，ZC=90, AC=69 3C=8,点方在边AC上，并且。尸二2,点E为边3c上的动点, 将/沿直线比翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是.例题2 .如图，已知圆。的半径为3,圆外一定点。满足。=5,点P为圆。上一动点，经过点。的直线/ 上有两点A、B,且0A=0B, NAPB=90。，/不经过点C,则A3的最小值为.变式练习2 .如图，矩形A3C。中，A3=4, BC=8, P、。

8、分别是直线BC、A3上的两个动点，AE=2, A4EQ沿EQ翻 折形成FE。，连接PG PD,则PF+PO的最小值是.例题3.如图，E、尸是正方形A3CD的边AO上的两个动点，满足AE=OF,连接Cb交8。于点G,连接 BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段QH长度的最小值是.变式练习3 .如图，RtZkABC中，ABLBC, AB=S, BC=4, P是ABC内部的一个动点，且满足/必3=NP3C,则线 段CP长的最小值是.例题4.如图，在RtA43C中，ZACB=90, BC=4, AC=10,点。是AC上的一个动点，以CZ）为直径作圆 0,连接8。交圆。于点E,则4E的最小值为.D变

9、式练习4 .如图，正方形A3CD的边长为4,动点厂分别从点A、。同时出发，以相同的速度分别沿A3、CD 向终点3、。移动，当点E到达点3时，运动停止，过点3作直线E尸的垂线3G,垂足为点G,连接AG, 则AG长的最小值为.例题5.如图，等边A8C边长为2, E、b分别是BC、CA上两个动点，M BE=CF,连接AE、BF,交点为 P点，则CP的最小值为.变式练习5 .在A3C中，ABM, NC=60。，ZAZB,则的长的取值范围是例题6.如图，A3CO为正方形，。为AC、的交点，。CE为Rt, ZCE)=90, ZCE= 30,若)0石=泥+、）2,则正方形的面积为（ 2C. 3D. 2变式练习6 .如图，BE, CF为ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：AD1BC.例题7.如图，在四边形A8c。中，ZBCD=90, AC为对角线，过点。作。FL4& 垂足为,交延 长线于点 R 若 AC=CR /CAD=/CFD, DF - AD=2, A8=6,则 E。的长为