2022年高中数学不等式选修知识点和常考题型归纳.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳选修 4-5 不等式选讲1、基础学问梳理2、常考题型归纳3、强化训练一、基础学问梳理【复习指导】本讲复习时, 紧紧抓住含肯定值不等式的解法,以及利用重要不等式对一些简洁的不等式进行证明 该部分的复习以基础学问、 基本方法为主, 不要刻意提高难度,以课本难度为宜,关键是懂得有关内容本质.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1含有肯定值的不等式的解法基础梳理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1|fx|aa 0. fxa 或 fx a.2|fx|a

2、a 0. afxa.3对形如 |xa|xb| c,|x a| |xb|c 的不等式,可利用肯定值不等式的几何意义求解 2含有肯定值的不等式的性质|a| |b|ab|a| |b|.3基本不等式定理 1：设 a,bR,就 a2b22ab.当且仅当 ab 时,等号成立a b定理 2：假如 a、b 为正数,就2ab,当且仅当 a b 时,等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 3：假如 a、b、c 为正数,就成立a b c33abc,当且仅当 abc 时,等号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - -

3、 - - - - - - - -第 1 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳定理 4：一般形式的算术几何平均值不等式假如 a1、a2、an 为 n 个正数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2 ann就n4 柯西不等式a1a2an,当且仅当 a1 a2 an 时,等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1柯西不等式的代数形式：设 a,b,c,d 为实数, 就a 2 b2 c2 d

4、2 ac bd 2,当且仅当ad bc 时等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 a i, bi i N * 为实数,就nia2nib 2 naib i2,当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1i 1i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bi 0 i 1,2, n或存在一个数k,使得ai kbi i 1,2,n时,等号成立3柯西不等式的向量形式：设, 为平面上的两个向量,就| | |,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立5不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等双基自测1不等式 1|x 1|3

5、 的解集为 答案 4, 2 0,22不等式 |x8| |x 4|2 的解集为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析令： fx |x8|x4|4, x 4,2x 12,4x8,4,x8,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x4 时, fx 42.当 4x 8 时, fx 2x122,得 x5, 4 x5.当 x8 时, fx 42 不成立 故原不等式的解集为： x|x 5 答案 x|x 53已知关于 x 的不等式 |x1| |x| k 无解,就实数 k 的取值范畴是 解析 |x 1| |x|x 1x| 1,当 k1 时,不等式 |x1|x| k 无解,故可编辑资料

6、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳k1.答案k14如不等式 |3x b| 4 的解集中的整数有且仅有1,2,3,就 b的取值范畴为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由|3xb| 4,得b43 xb 43,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

7、资料_b 4031,即b 4334,解得 5b7.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案5,752022 南京模拟 假如关于 x 的不等式 |xa|x4| 1 的解集是全体实数,就实数 a 的取值范畴是 解析在数轴上,结合实数肯定值的几何意义可知a 5 或 a 3.答案, 5 3, 考向一含肯定值不等式的解法【例 1】.设函数 fx |2x1|x4|.1解不等式 fx 2.2求函数 yfx的最小值 审题视点 第1 问：采纳分段函数解不等式.第2问：画出函数fx的图象可求 fx的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1fx |2x1| |x 4|1 x 5x 2

8、,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x 3 x 4 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x5x 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x11时,由 fx x52 得, x 7.x 7. 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 4 时,由 fx 3x 3 2,得 x ,23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

9、- - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳5 x4.3当 x4 时,由 fxx52,得 x 3, x4.故原不等式的解集为3x x 7 或x5.2画出 fx的图象如图：. fxmin 921用零点分段法解肯定值不等式的步骤：求零点.划区间、去绝 对值号. 分别解去掉肯定值的不等式.取每个结果的并集, 留意在分段时不要遗漏区间的端点值2用图象法,数形结合可以求解含有肯定值的不等式,使得代数问题几何化, 即通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法【训练 1】 设函数 fx |x 1|xa|.1如 a 1,解不等式 fx3.2假如. x R,fx2,求 a 的取值范畴

10、 解1当 a 1 时, fx|x1| |x 1|,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx 2x, x 1, 2, 1x1,2x, x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作出函数 fx|x1|x 1|的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

11、_精品资料_由图象可知,不等式的解集为x|x33.或x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 a1,fx 2|x 1|,不满意题设条件.2x a 1, xa,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a1,fx1a, ax1, 2x a1 , x 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx的最小值为 1a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a1,fx2x a 1, x 1, a1,1x a, 2x a1 ,xa,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx的最小值为 a1.对于 . xR, fx 2 的充要条件是 |a1|2,

12、 a 的取值范畴是 , 1 3, 考向二不等式的证明【例 2】.证明以下不等式：1设 ab0,求证： 3a32b33a2b2ab2. 2a2 4b29c22ab 3ac 6bc.273a6 8b6 1 c6 2a2b2c2. 审题视点 1作差比较. 2综合法. 3利用柯西不等式 证明13a3 2b33a2b2ab23a2ab 2b2ab ab3a2 2b2 a b 0, ab 0,3a2 2b20. ab3a2 2b20. 3a2 2b3 3a2b2ab2. 2a2 4b2 2a24b2 4ab,a2 9c2 2a29c2 6ac,4b29c224b2 9c2 12bc, 2a2 8b2 18

13、c24ab 6ac 12bc, a24b29c22ab3ac6bc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6616386 6 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a 8b c 3a b c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 2

14、 227272 2 2a2b2c2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a b c27 a68b6 1 c6 2a2b2c2.1作差法应当是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步 骤是：作差.分解因式.与0 比较.结论关键是代数式的变形才能 2留意观看不等式的结构,利用基本不等式或柯西不等式证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_acb【训练 2】2022 辽宁已知 a,b,c 均为正数,证明：a2 b2c2 1112 63,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并确定 a, b,c 为何值时,等号成立,证明法一由于 a,b,c 均为正数,由基本不等式

15、得,a2 b2c23abc231111c 3abc ,ab3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111acb所以 2 9abc2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 a2b2 c2111c ab23abc239abc 2.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 3abc239abc222763, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以原不等式成立当且仅当 ab c 时,式和式等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 3abc29abc32时,式等号成立3可编辑资料

16、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当且仅当 abc 13 时,原不等式等号成立4法二由于 a,b,c 均为正数,由基本不等式得a2b22ab, b2c22bc, c2 a22ac.所以 a2 b2c2abbcac.111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab同理a2b2 c2,bcac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222111 2333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cab故 a b c abbc acab63. bcac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

17、 - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳所以原不等式成立当且仅当 ab c 时,式和式等号成立,当且仅当abc,ab2bc23时,原不等式等号成立ac23 时,式等号成立故当且仅当a b c 14考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例 3】.已知 a,b,cR ,且 a b c 1,求3a 13b13c 1的最大值 审题视

18、点 先将3a 13b13c1平方后利用基本不等式.仍可以利 用柯西不等式求解解法一利用基本不等式 3a 1 3b1 3c 1 2 3a 1 3b 1 3c 1 2 3a 1 3b 1 2 3b1 3c1 2 3a1 3c1 3a 1 3b 1 3c1 3a1 3b 1 3b13c1 3 a 13c1 33a 13b 1 3c 1 18,3a13b13c132, 3a 13b13c1max 32.法二利用柯西不等式 12 12 123a1 2 3b 12 3c1 21 3a 1 1 3b 1 1 3c12 3a 13b13c12 33ab c3 又 abc 1, 3a13b 13c1218,3a

19、13b13c132.当且仅当3a13b13c1时,等号成立 3a 13b13c1max 32.利用基本不等式或柯西不等式求最值时,第一要观看式子特点,构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式,其次要留意取得最值的条件是否成立【训练 3】 已知 abc1,ma2 b2c2,求 m 的最小值 解法一abc1, a2b2c2 2ab2bc2ac1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - -

20、- - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳又 a2b2 2ab,a2c2 2ac,b2c2 2bc, 2a2 b2 c22ab 2ac 2bc, 1 a2b2c2 2ab2bc2ac3a2b2 c2. a2b2c2131当且仅当 ab c 时,取等号, mmin3.法二利用柯西不等式 121212a2b2 c21 a1b1cabc1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2b2c21 mmin31,当且仅当3abc 时,等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如何求解含肯定值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出,高考对不等

21、式选讲 的考查难度要求有所降低,重点考查含肯定值不等式的解法可能含参 或以函数为背景证明不等式,题型为填空题或解答题【示例】. 此题满分 10 分2022 新课标全国 设函数 fx|xa|3x,其中 a 0.1当 a1 时,求不等式fx 3x2 的解集.2如不等式 fx 0 的解集为 x|x 1 ,求 a 的值第2问解不等式 |x a| 3x0 的解集,结果用a 表示,再由 x|x 1 求 a. 解答示范 1当 a1 时, fx 3x2 可化为 |x1|2.由此可得 x 3 或 x 1.3 分故不等式 fx3x 2 的解集为 x|x3 或 x 1 5 分2由 fx 0 得, |xa| 3x0.

22、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此不等式化为不等式组xa, xa3x0xa,或ax3x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4xa, 即 xaxa, 或 x a2.8 分可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品_精品资料_a由于 a0,所以不等式组的解集为x x 2.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题设可得 1,故 a2.10 分 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此题综合考查了含肯定值不等式的解法,属于中档题解含肯定值的 不等式主要是通过同解变形去掉肯定值符号转化为一元一次和一元二次不等式组进行求解含有多个肯定值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于 形如|xa| |xb| m 或|xa| |x b|mm 为正常数 ,利用实数肯定值的几何意义求解较简便【试一试】2022 辽宁已知函数 fx |x2|x5|. 1证明： 3fx3.2求不等式 fx

24、 x28x15 的解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 尝试解答 1fx |x 2| |x5|3,x2,2x 7, 2 x5,3,x5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 2x 5 时, 3 2x73.所以3fx3.2由1可知,当 x 2 时,fx x28x 15 的解集为空集 .当 2 x 5 时,fx x2 8x15 的解集为 x|53x5 .当 x5 时,fx x2 8x15 的解集为 x|5 x 6 综上,不等式 fx x28x15 的解集为 x|53 x 6.二、常考题型归纳6.1 均值不等式在证明中的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

25、_1.（1）已知a, bR, x,yR ,求证： x2xy2y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）已知实数x, y满意：2 x2y21,试利用（ 1）求21的最小可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品_精品资料_x2y2值.2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）证： abxyx2y2bxayx2y22xyxy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2xy2（当且仅当xy时,取等号）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ababab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）解：2122122219 ,当且仅当 x2y21 时, 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y22x2y22x2y 23x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

27、资料_的最小值是 9 .考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2 肯定值不等式a6.2.1 单肯定值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知函数f xx25x4 , x0如函数yf xa x 恰有 4 个零点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x2 , x0就实数 a 的取值范畴为 .答案： 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：分别作出函数yf x 与ya | x | 的图像,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图知, a0 时,函数yf x与 ya |

28、 x | 无交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0时,函数yf x 与ya | x | 有三个交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 a0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 , a2 时,函数yf x 与ya | x | 有一个交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

29、_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 , 0a2 时,函数yf x 与ya | x | 有两个交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时,如 yax 与yx25 x4,4x1 相切,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就由0 得： a1或 a9 （舍）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

30、 欢迎下载精品_精品资料_因此当 x0 , a1时,函数yf x 与ya | x | 有两个交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 , a1 时,函数yf x 与ya | x | 有三个交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 , 0a1时,函数yf x 与ya | x | 有四个交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当且仅当 1a2 时,函数yf x 与ya | x | 恰有 4 个交

31、点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点：单肯定值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 存在 x0,使得不等式x22xt成立,就实数t的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 答案：9 , 224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解析：不等式 x2xt,即 xt2x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

32、_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 y1xt , y1的图象是关于 xt对称的一个 V字形图形, 其象位于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一、二象限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y22x2,是一个开口向下, 关于 y轴对称,最大值为 2的抛物线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要存在 x0,使不等式 xt2x成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 y1的图象应当在其次象限和y2的图象有交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两种临界情形,当t0时,y1 的右半部分和 y2在其次象限相切：可编辑资料