广西梧州高级中学.docx

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1、2021-2021学年上学期梧州高级中学段考试题高二数学（理科）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两局部，总分值150分.第1-12 小题答案用23填涂在答题卷选择题方框内，第13-22小题用黑色签字笔写在答题 卷上各题的答题区域内.考试时间120分钟.在试题卷上作答无效.第一卷（选择题）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的.）x21.椭圆上+25x21.椭圆上+25Jm2=相0）的左焦点为丹（-4,0）,那么加=（）A. 9B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在”轴，所以口2=2

2、5，b2=m2 1=16,又因为=占2 =2=9 ,解得m=3,应选 C.考点：椭圆的根本性质2.命题吧x（）（0,+go） , lnx0 =玉）1 的否认是）A. 3x0 e （0, +oc） , In x0 x0 -1B. 3x0 （0, +oc） , In x0 = x0 -1C. Vxe（0, +oo）, lnxwx1D. Vxe（0,+oo）, lnx = x-l【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否认是全称命题，并将结论加以否认，所以命题的否认为:/x e （0, +oo）, lnxwx1考点：全称命题与特称命题3.设复数z满足(z 2i)(2 i) = 5,那么z=(1、因为函

3、数/(x)在区间a,a + -(其中。0)上存在最大值，2 Ja 122故答案为：一。1.2【点睛】关键点点睛：函数在开区间内有最值，那么最值点(极值点)必在此开区间内，这 是解决此题的关关键.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.解以下不等式： 2； x + 32) 9v-4-3x-120【详解】解：(1)即10. 20,等价于八 八 ),故xN4% + 3x + 3x + 3x + 3w0或x3, .不等式的解集为(tq,3)U4,+8)；2)(3)24312Q：. r2-4r-120,解得 0v，v6,即03、6 = 3嘀6,故x cos

4、C = C =2) SMSC = absin C = V3 = ab- ab = 62又.,。2 +b2 - 2abcos C = c24 +/ = 13 ,(q + Z?)2 = 25 = + b = 51AABC的周长为5 +疗考点：正余弦定理解三角形.19 .函数/（x） = （qx +。） 4x,曲线y = /（x）在点（0（。）处切线方程为 y = 4x + 4 .m求q,。的值； 讨论了（尤）的单调性，并求/（光）的极大值.【答案】1） a = b = 4； （2）见解析.【解析】【详解】试题分析：m 求导函数，利用导数的几何意义及曲线y = /（x）在点（。,/（。）处 切线方程

5、为y = 4x + 4,建立方程，即可求得。，匕的值；2）利用导数的正负，可得/（X） 的单调性，从而可求的极大值.试题解析：1） /（x） = e（以+ + ）-2x4.由得/（O）= 4, r=4.故。=4, 。+6=8.从而。=4, h = 4.由 知，/(x) = 4ex (x+l)-x2 -4x,( iAx) = 4/(x + 2)-2x-4 = 4(x+2)靖.令1(x) = 0得，x = -n2x = -2.从而当x(s,2)U(ln2,+Go)时，/r(x)0；当 X(2,ln2)时，r(x)vO.故)(x)在(8,2), (In2,48)上单调递增，在(2,ln2)上单调递减

6、.当 = 2时，函数)取得极大值，极大值为2) = 40 I).考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数 的极值.【方法点晴】此题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性； 利用导数研究函数的极值.求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数/(%)； (3)解 方程/(%)=。，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验/(%)在/(%)=。的根X。左右两 侧值的符号，如果左正右负，那么/(X)在/处取极大值，如果左负右正，那么/(X)在/处 取极小值.20 .抛物线丁 = 4x截直线y = 2x +m所得弦长I AB =

7、375 .1求力的值；2)设P是x轴上的点，且A4BP的面积为9,求点尸的坐标.【答案】-4；(5,0)或(-1,0).【解析】【分析】设4(不加),5亿，%)由抛物线方程和直线方程联立，根据|A3|=3石，利用弦长公 式结合韦达定理由| AB = Jl + %2 /、+)2_452 = 3后求解.2）由（1）知直线A3的方程为y = 2x 4,设P（,0）,求得点尸到直线A3的距离|2-0-4| _2|-2|722 + (-1)2 - V5|2-0-4| _2|-2|722 + (-1)2 - V5，再八45户的面积为9,ABP= -AB-d 求解. 2【详解】设4（不以）,3（%2，%）y

8、 = 2x + m, 90?,得4x+4(根一 l)x +根 = 0 ,y =4xA = 16(m-l)2 -16m2 = 16(1 2m) 0,m ,由根与系数的关系得玉+=1 一机,王工2 =z | AB = Jl +12 J(X +)2 49入2=Vl + 22 J(1 -m)2 4x=75(1 -2m)， V I AB|= 3a/5 , J5(l-2m)=3&, 解得加= -4.2)由(1)知直线AB的方程为y = 2x 4.设P（cz,0）,点P到直线AB的距离为,2a-Q-4 2a-22 +( 1)2V5又 S/BP又 S/BP17 2s ARP.2|-2|_2x9V5 15,|

9、q - 21= 3,，a = 5 或。=1 .故点P坐标为(5,0)或(1,0).【点睛】此题主要考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，三角形面积问题，还考查了运7171算求解的能力，属于中档题.21 .函数/(九)= %cosx sin%, xe 0,2)假设对恒成立，求。的最大值与匕的最小值.2【答案】(1)证明见解析；2)，的最大值为一，b的最小值为L71【解析】【分析】1)求出函数的导数，判断函数的单调性，然后证明即可；(2)构造函数利用函数的导数求解函数的单调性以及函数的最值，然后求解。的最大值与力的 最小值.【详解】1证明：由/(x) = xcosx-sinx得/(x) = cos

10、x-xsinxcosx =尤sinx.因为在区间上/(x) = -xsinx12J0,所以/(x)在区间0,5上单调递减从而/(x)。等价于“sinx打0 ； ” b等价于XXsinx-hvvO.当C21时，因为对任意0,令g(x) = sinxcx, 那么 g(x) = cosx c , 当cWO时，鼠同八对任意代”用恒成立.g(x) = cosx-c0,所以g(x)在区间0,y上单调递减，从而对g (%) W g(0)= 0对任意X e o,恒成立.当 OC1 时，存在唯一的 xeo,、使得 ga)=COS%oc = 0. g (%)与g(%)在区间l H 上的情况如下：X0(。，/)%(

11、兀)*()，；712/(%)1-c+0-cg(%)0单调递增极大值单调递减1兀1C2因为g(x)在区间o,%上是增函数，所以g(/)Ng(O)= O,进一步，“g(x)N0对任意BP0c-.71% ，5卜恒成立当且仅当g彳二1一7。20 L 22/2综上所述，当且仅当c4|时，g(%)20对任意xgo,5恒成立; 当且仅当c21时，g(%) 0对任意X W1。,外恒成立.那么。的最大值为2, 兀b的最小值为1r一所以，假设 丝二 b 0),由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x? =8ya2=b2+c联立解得即可；(2)设的准线y = -2上，可得b = 2,解得b.又 =且, a 2A(X1,yJ,

12、 B(x2,y2),由/APQ = /BPQ,那么PA, PB的斜率互为相互数，可设直线 PA的斜率为k,那么PB的斜率为k，直线PA的方程为：y-V3=k(x-2),与椭圆的方 程联立化为(l + 4k2)x2+8k(G 2k)x + 4(G 2k)216 = 0,利用根与系数的关系、斜 率计算公式即可得出.【详解】(1)设椭圆Cx2 的标准方程为、ay2=l(a b 0),.椭圆的一个顶点恰好在抛物线x? =8y的准线y = -2.b = 2,解得b = 2.又 =旦 a2=b2+c2，a 2.二 a = 4, c = 2/3 ，可得椭圆C的标准方程为三+二=1.16 4(2)设A(X1,

13、yJ, B(x2,y2), NAPQ = NBPQ ,那么PA, PB的斜率互为相互数,可设直线PA的斜率为k,那么PB的斜率为-k,直线PA的方程为：y-J5 = k(x-2),联立-y/3=k(x-2) x2 +4y2 = 16化为(l + 4k2)x2+8k(G 2k)x + 4(62k)216 = 0,X + 2 二l + 4k2同理可得:8k 2k 3)l + 4k28kX + x216k2-416瓜l + 4k2 X, -X2- l + 4k2)-4k _ V3X1-X2v _yi-y2 _k(xi + x2 KAB ,.直线AB的斜率为定值上6【点睛】考查直线与圆锥曲线位置关系，

14、所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的, 圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为 一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦 中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用.A. 2 + 3iB. 2 32C. 3 + 2iD. 3万【答案】A【解析】试题分析:v（z-20（2-i） = 5:.z-2i =；= 2 + i:.z = 2 + 3i考点：复数的运算1 1 1 1 （ 1 1 4为正偶数，用数学归纳法证明1一大+彳二+ ; = 2 - + - + 时，2 3 4 n + n

15、 + 2 + 42n）假设已假设=左（左22为偶数）时命题为真，那么还需要用归纳假设再证=）时等式成立）A. n = k + lB. n = k + 2C. n = 2k + 2D.几=2（左+ 2）【答案】B【解析】【分析】由数学归纳法的概念直接求解【详解】假设已假设=k（Q2, k为偶数）时命题为真，因为只能取偶数,所以还需要证明n=k+2成立.、应选B.【点睛】此题主要考查数学归纳法的概念问题，对学生的理解概念并灵活应用的能力有一定的要求，属于根底题目.x+y.假设变量刘V满足约束条件y xVl ,那么z = 2xy的最小值为）xB.m2或0m1：.0m=&+1恒过定点（0, 1）,且直

16、线 =丘+1与椭圆上 +匕=1总有公共点, 5 m所以点（0, 1）必在椭圆内或椭圆上，那么02=1上的动点p连线的中点M的轨迹方程为（）A. y2=2（x-l） B. y2=4（x-l） C. y1 - x-D.y2=：（%T）【答案】D【解析】x - 2x - 2 。 ，又北=不，代入即可求得轨 M=2y【分析】 设那么I 2迹方程.【详解】设尸（七,%）, M（x,y）,定点4（2,0）,_ x（）+2- 2I x0 = 2x-2利用中点坐标公式知，那么 c ，v = &Uo=2yI 2又动点P在抛物线上，所以即（2=2x2,即1）.应选：D.【点睛】方法点睛：此题考查求轨迹方程，求轨迹

17、方程一般是问谁设谁的坐标为（九,y）,然后 根据题目条件建立关于（x,y）的等式即可，考查学生的转化与划归能力及运算求解能力，属于 根底题.8 .假设/（%） = d双2+4在（0,2）内单调递减，那么实数”的取值范围是（）A. a3B. a = 3C. a3D. 0z3【答案】A【解析】【分析】由%） （0,2）单调递减，所以 W（0,2）时/（%） 0恒成立列出不等式组求解可得答案.【详解】/。） = 3X22冰，由/（X）在（0,2）单调递减，.fo2,那么x)2x + 4 的解集为)A. (-U)B. (-l,+oo)C. (-oo,-l)D. (-co,+oo)【答案】B【解析】【分

18、析】构造函数g(x) = /(x) 2x4,利用导数判断出函数y = g(x)在H上的单调性，将不等式 %)2% + 4转化为4X)41),利用函数y = g(%)的单调性即可求解.【详解】依题意可设虱%)= 力一2%-4,所以g(x) = r(%)-20.所以函数丁 =8(%)在R上单调递增，又因为g(1) = 1) + 24 = 0.所以要使g(x) = x) 2x40,即g(x)g(1)，只需要X1,应选B.【点睛】此题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造 新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10. A, B为双曲线E的左，右顶点，点M在

19、E上，AABM为等腰三角形，且顶角为120。，那么E的 离心率为1 )A. V5B. 2C. 73D. 6【答案】D【解析】22设双曲线方程为二七= 1(40力0),如下列图，=NM = 120,过点ma bI作Wx轴，垂足为N,在用中，忸N|=a, |MN| 二 J5a,故点M的坐标为代入双曲线方程得2=2=/即02=2/，所以e = 应选D.考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.直线/： = %（% 2）（%0）与抛物线C：V=8x交于两点，尸为抛物线。的焦点,假设,那么左的值是1A.31A.3R 2V2D.3C. 2a/2【答案】C【解析】分析】 设4&,乂）,5（，%），那么+2 =

20、2（%+2）,联立直线方程和抛物线方程，消去丁利用韦达定理可求左的值.【详解】由抛物线C：V=8x,知尸（2,0）,设A（/y）I（X2，%）， 因为直线/过（2,0）且其斜率大于零，故A B在工轴两侧.又 AF = 2 BF ,知玉，且 +2 = 2（九2+2）,即% =2 + 2.0时，y = 2- x + - 42 2/xx=2.当且仅当x = , x = 2时取等号2),由A3的中点是尸(8, 1),知阳+%2=16,6+以 =2,利用点差法能求出这条弦所在的直线方程.【详解】设弦的两个端点分别为3(%，%)，那么片-4犬=4,考-4代=4,两式相减得( +%)(%1 -) - 4(%

21、 +%)(% -%)=。,因为线段的中点为尸(&1),所以为+%=16, y+%=2,所以Hi =2%- 4(乂+%) 所以直线AB的方程为y 1 = 2(x8)代入x2-4/ = 4满足A0,即直线方程为2x y 15 = 0.故答案为：2xy 15 = 0.【点睛】此题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用.7T5兀15.直线x=一，x=与曲线y二sinx, y二cosx围成平面图形的面积为.44【答案】272【解析】5兀sinx + cosx)|： = 22.5兀sinx + cosx)|： = 22.5k画出图像如以下列图所示，由图可知,面积为 J (sinx-cosx)dr =-(714y=cos x16.函数%)=上电式在区间(其中a0)上存在最大值，那么实数”的取值 x 2 J范围是.【答案】一。0,所以/(%) =绊. 大X当Ovxvl时，/r(x)0；当xl 时，/(%)0.所以/(%)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减，所以函数/(X)在X = 1处取得极大值.