2004年考研数学一真题及答案详解.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 1 页 共 24 页 2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)(1)曲线上与直线垂直的切线方程为_.(2)已知,且,则=_.(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为_.(4)欧拉方程的通解为_.(5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=_.(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则=_.二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,

2、只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)(B)(C)(D)(8)设函数连续,且则存在,使得(A)在(0,内单调增加 (B)在内单调减少(C)对任意的有 (D)对 任 意 的有 lnyx1 yx(e)exxfx(1)0f()f xL222 yxLydxxdy2)0(024222xydxdyxdxydx210120001AB*2ABABAE*AAEBXDXXP 0 xdttdttdttxxx03002sin,tan,cos2,()f x,0)0(f0()f x)()f x)0,(),0(x()(0)f

3、xf)0,(x()(0)f xf欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 2 页 共 24 页 (9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛(B)若存在非零常数,使得,则级数发散(C)若级数收敛,则 (D)若级数发散,则存在非零常数,使得(10)设为连续函数,则等于(A)(B)(C)(D)0(11)设是 3 阶方阵,将的第 1 列与第 2 列交换得,再把的第 2 列加到第 3 列得,则满足的可逆矩阵为(A)(B)(C)(D)(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关(B)的列向量

4、组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关(D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(13)设 随 机 变量服 从 正 态 分 布对 给 定 的,数满 足1nnannnalim1nnannnalim1nna1nna0lim2nnan1nnannnalim()f xttydxxfdytF1)()()2(F2(2)f(2)f(2)fAABBCAQCQ101001010100101010110001010100001110,A BABOA,BA,BA,BA,BX(0,1),N)10(u欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质

5、的文档！第 3 页 共 24 页 ,若,则等于(A)(B)(C)(D)(14)设 随 机 变 量独 立 同 分 布,且 其 方 差 为 令,则(A)(B)(C)(D)三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分 12 分)云梯教育，专注考研，更加专业，旗下推出的免费手机应用“口袋题库考研”更是新一代的考研利器，内含免费历年真题及答案解析，科学的复习笔记，更有学长学姐的经验分享，更多功能及资料下载请抓紧时间下载应用或者加入 QQ 群 97240410！设,证明.(16)(本题满分 11 分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地

6、的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分 12 分)计 算 曲 面 积 分其 中是 曲 面的上侧.(18)(本题满分 11 分)设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.uXP xXPx2u21u21u1u)1(,21nXXXn.02niiXnY1121Cov(,)X Yn21Cov(,)X Y2

7、12)(nnYXD211)(nnYXD2eeab2224lnln()ebaba).100.66k,)1(322233dxdyzdzdxydydzxI)0(122zyxz10nxnx nnx11nnx欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 4 页 共 24 页 (19)(本题满分 12 分)设是由确定的函数,求的极值点和极值.(20)(本题满分 9 分)设有齐次线性方程组 试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分 9 分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.(22)(本题满分 9 分)设为

8、随机事件,且,令 求:(1)二维随机变量的概率分布.(2)和的相关系数(23)(本题满分 9 分)设总体的分布函数为 其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求:(1)的矩估计量.(2)的最大似然估计量.2004 年数学一试题 详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线(,)zz x y2226102180 xxyyyzz(,)zz x y121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna xxxxa xxnnxnxna xa12314315a AaA,A B111(),(|),(|)432P AP B AP A B;,0,1不发生发生

9、AAX.,0,1不发生发生BBY(,)X YXY.XYX,1,1,0,11),(xxxxFnXXX,121X欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 5 页 共 24 页 上）（1）曲线 y=lnx 上与直线1 yx垂直的切线方程为 1 xy.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。【详解】由11)(lnxxy，得 x=1,可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10 xy，即 1 xy.【评注】本题也可先设切点为)ln,(00 xx，曲线 y=lnx 过此切点的导

10、数为1100 xyxx，得10 x，由此可知所求切线方程为)1(10 xy，即 1 xy.（2）已知xxxeef)(，且 f(1)=0,则 f(x)=2)(ln21x .【分析】先求出)(xf 的表达式，再积分即可。【详解】令tex，则txln，于是有 tttfln)(，即 .ln)(xxxf 积分得 Cxdxxxxf2)(ln21ln)(.利用初始条件f(1)=0,得 C=0，故所求函数为 f(x)=2)(ln21x.【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。（3）设L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分，则曲线积分Lydxxdy2的值为 23.【分析】利用极坐标将曲线用

11、参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】正向圆周222 yx在第一象限中的部分，可表示为 .20:,sin2,cos2yx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 6 页 共 24 页 于是 dydxxdyLsin2sin22cos2cos2220 =.23sin2202d【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解为 221xcxcy.【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换tex 化为常系数线性

12、齐次微分方程即可。【详解】令tex，则 dtdyxdtdyedxdtdtdydxdyt1，11122222222dtdydtydxdxdtdtydxdtdyxdxyd，代入原方程，整理得 02322ydtdydtyd，解此方程，得通解为 .221221xcxcececytt【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令tex，则欧拉方程 )(222xfcydxdybxdxydax，可化为 ).(22tefcydtdybdtdydtyda （5）设矩阵100021012A，矩阵 B 满足EBAABA*2，其中*A为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B 91 .【分析】可先用公式EAAA*进行化简

13、 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 7 页 共 24 页 【详解】已知等式两边同时右乘 A，得 AABAAABA*2，而3A，于是有 ABAB 63，即 ABEA)63(，再两边取行列式，有 363ABEA，而 2763 EA，故所求行列式为.91B【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A，一般均应先利用公式EAAAAA*进行化简。（6）设随机变量X 服从参数为的指数分布，则DXXP=e1.【分析】已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。【详解】由题设，知21DX，于是

14、 DXXP=dxeXPx11 =.11eex【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。云梯教育，专注考研，更加专业，旗下推出的免费手机应用“口袋题库考研”更是新一代的考研利器，内含免费历年真题及答案解析，科学的复习笔记，更有学长学姐的经验分享，更多功能及资料下载请抓紧时间下载应用或者加入QQ 群 97240410！二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把 0 x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2，使排在后面的是前

15、一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A),.(B),.(C),.(D),.B 【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 8 页 共 24 页 【详解】0cos2tanlimcostanlimlim20020002xxxdttdttxxxxx，可排除(C),(D)选项，又 xxxxdttdttxxxxxtan221sinlimtansinlimlim230003002 =20lim41xxx，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将,分别与nx进行比较，再确定

16、相互的高低次序.（8）设函数 f(x)连续，且,0)0(f则存在0，使得 (A)f(x)在（0，)内单调增加.（B）f(x)在)0,(内单调减少.(C)对任意的),0(x有 f(x)f(0).(D)对任意的)0,(x有f(x)f(0).C 【分析】函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。【详解】由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0 xfxffx，根据保号性，知存在0，当),0()0,(x时，有 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 9

17、页 共 24 页 0)0()(xfxf 即当)0,(x时，f(x)f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。（9）设1nna为正项级数，下列结论中正确的是 (A)若nnnalim=0，则级数1nna收敛.（B）若存在非零常数，使得nnnalim，则级数1nna发散.(C)若级数1nna收敛，则0lim2nnan.(D)若 级 数1nna发 散,则 存 在 非 零 常 数，使 得nnnalim.B 【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】取nnanln1，则nnnalim=0，但11ln1nnnnna发

18、散，排除(A)，(D)；又取nnan1，则级数1nna收敛，但nnan2lim，排除(C),故应选(B).【评注】本题也可用比较判别法的极限形式，01limlimnanannnn，而级数11nn发散，因此级数1nna也发散，故应选(B).（10）设 f(x)为连续函数，ttydxxfdytF1)()(，则)2(F等于 (A)2f(2).(B)f(2).(C)f(2).(D)0.B 【分析】先求导，再代入 t=2 求)2(F即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量 t.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 10 页

19、共 24 页 【详解】交换积分次序，得 ttydxxfdytF1)()(=txtdxxxfdxdyxf111)1)()(于是，)1)()(ttftF，从而有)2()2(fF，故应选(B).【评注】在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x:)()()()()()()(xbxaxaxafxbxbfdttf 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上。（11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C,则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为(A)10100

20、1010.(B)100101010.(C)110001010.(D)100001110.D 【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积。【详解】由题设，有 BA100001010，CB100110001，于是，.100001110100110001100001010CAA 可见，应选(D).【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。（12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有(A)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(B)A 的列向

21、量组线性相关，B 的列向量组线性相关.(C)A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D)A的 行 向 量 组 线 性 相 关，B的 列 向 量 组 线 性 相 关.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 11 页 共 24 页 A 【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解 1】设 A 为nm矩阵，B 为sn矩阵，则由 AB=O 知，nBrAr)()(.又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)0,r(B)0.可见 r(A)n,r(B)e 时，,

22、0)(t 所以)(t单调减少，从而)()(2e，即 2222lnlneee，故)(4lnln222abeab.【证法 2】设xexx224ln)(，则 24ln2)(exxx，2ln12)(xxx,所以当 xe 时，,0)(x 故)(x单调减少，从而当2exe时，044)()(222eeex，即当2exe时，)(x单调增加.因此当2exe时，)()(ab，即 aeabeb22224ln4ln，故 )(4lnln222abeab.【评注】本题也可设辅助函数为2222),(4lnln)(exaeaxeaxx或 2222),(4lnln)(ebxexbexbx，再用单调性进行证明即可。（16）（本题

23、满分 11 分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 14 页 共 24 页 注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。【详解 1】由题设，飞机的质量 m=

24、9000kg，着陆时的水平速度hkmv/7000.从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t).根据牛顿第二定律，得 kvdtdvm.又 dxdvvdtdxdxdvdtdv，由以上两式得 dvkmdx，积分得.)(Cvkmtx 由于0)0(,)0(0 xvv，故得0vkmC，从而 ).()(0tvvkmtx 当0)(tv时，).(05.1100.67009000)(60kmkmvtx 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【详解2】根据牛顿第二定律，得 kvdtdvm,所以 .dtmkvdv 两端积分得通解tmkCev，代入初始条件00vvt解得0vC，故

25、 .)(0tmkevtv 飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(0000kmkmvekmvdttvxtmk 或由tmkevdtdx0，知)1()(000tmkttmkemkvdtevtx，故最长距离为当t时，).(05.1)(0kmmkvtx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 15 页 共 24 页 【详解 3】根据牛顿第二定律，得 dtdxkdtxdm22,022dtdxmkdtxd，其特征方程为 02mk，解之得mk21,0，故 .21tmkeCCx 由 002000,0vemkCdtdxvxttmkttt，得 ,021km

26、vCC 于是).1()(0tmkekmvtx 当t时，).(05.1)(0kmkmvtx 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t或0)(tv的极限值，这种条件应引起注意.（17）（本题满分 12 分）计算曲面积分 ,)1(322233dxdyzdzdxydydzxI 其中是曲面)0(122zyxz的上侧.【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】取1为 xoy 平面上被圆122 yx所围部分的下侧，记为由与1围成的空间闭区域，则 dxdyzdzdxydydzxI1)1(3222

27、33 .)1(3221233dxdyzdzdxydydzx 由高斯公式知 dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx)(6)1(322222331 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 16 页 共 24 页 =rdzrzdrdr)(620101022 =.2)1()1(2112232210drrrrr 而 123322133)1(322yxdxdydxdyzdzdxydydzx，故 .32I【评注】本题选择1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与 z 轴正向相反，所

28、以取负号).（18）（本题满分 11 分）设有方程01 nxxn，其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根nx，并证明当1时，级数1nnx收敛.【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。【证】记.1)(nxxxfnn 由01)0(nf，0)1(nfn，及连续函数的介值定理知，方程01 nxxn存在正实数根).1,0(nx 当 x0 时，0)(1nnxxfnn，可见)(xfn在),0 上单调增加,故方程01 nxxn存在惟一正实数根.nx 由01 nxxn与0nx知 nnxxnnn110，故当1时，)1(0nxn.而正项级数11nn收敛，所以当1

29、时，级数1nnx收敛.【评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证。（19）（本题满分 12 分）设 z=z(x,y)是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz 的极值点和极值.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 17 页 共 24 页 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】因为 0182106222zyzyxyx，所以 022

30、62xzzxzyyx，0222206yzzyzyzyx.令 0,0yzxz 得,0103,03zyxyx 故 .,3yzyx 将上式代入0182106222zyzyxyx，可得 3,3,9zyx 或 .3,3,9zyx 由于 02)(22222222xzzxzxzy，,02222622yxzzxzyzyxzyxz 02)(22222022222yzzyzyzyyzyz，所以 61)3,3,9(22xzA，21)3,3,9(2yxzB，35)3,3,9(22yzC，故03612 BAC，又061A，从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由 61)3,3,9

31、(22xzA，21)3,3,9(2yxzB，35)3,3,9(22yzC，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 18 页 共 24 页 可知03612 BAC，又061A，从而点(-9,-3)是 z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9,-3)=-3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程。（20）（本题满分 9 分）设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121nxannxnxxxaxxxxannn 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解

32、.【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数 a 的可能取值进行讨论即可。【详解 1】对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 .00002111122221111BanaaaaannnnaaA 当 a=0 时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021nxxx 由此得基础解系为,)0,0,1,1(1T,)0,1,0,1(2T,)1,0,0,1(,1Tn 于是方程组的通解为,1111nnkkx 其中11,nk

33、k 为任意常数.当0a时，对矩阵 B 作初等行变换，有 .10000120002)1(10000121111nnnanaB 可知2)1(nna时，nnAr1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 19 页 共 24 页 ,0,03,0213121nxnxxxxx 由此得基础解系为 Tn),2,1(，于是方程组的通解为 kx，其中 k 为任意常数.【详解 2】方程组的系数行列式为 1)2)1(22221111nannaannnnaaA.当0A，即 a=0 或2)1(nna时，方程组有非零解.当 a

34、=0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 000000000111122221111nnnnA，故方程组的同解方程组为 ,021nxxx 由此得基础解系为,)0,0,1,1(1T,)0,1,0,1(2T,)1,0,0,1(,1Tn 于是方程组的通解为,1111nnkkx 其中11,nkk 为任意常数.当2)1(nna时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 anaaaaannnnaaA00002111122221111 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 20 页 共 24 页 1000012000010000121111nna，故方

35、程组的同解方程组为 ,0,03,0213121nxnxxxxx 由此得基础解系为 Tn),2,1(，于是方程组的通解为 kx，其中 k 为任意常数.【评注】矩阵 A 的行列式A也可这样计算：annnnaaA22221111=aE nnnn22221111，矩 阵nnnn22221111的特征值为2)1(,0,0nn，从而 A 的特征值为 a,a,2)1(,nna,故行列式.)2)1(1nannaA （21）（本题满分 9 分）设矩阵51341321aA的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化.【分析】先求出 A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确

36、定 A 是否可相似对角化即可.【详解】A 的特征多项式为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 21 页 共 24 页 513410)2(251341321aaAE =).3188)(2(51341011)2(2aa 当2是特征方程的二重根，则有,03181622a 解得 a=-2.当 a=-2 时，A 的特征值为 2,2,6,矩阵 2E-A=321321321的秩为 1，故2对应的线性无关的特征向量有两个，从而 A 可相似对角化。若2不是特征方程的二重根，则a31882为完全平方，从而18 3a=16，解得.32a 当32a时，A

37、的特征值为 2，4，4，矩阵 4E-A=1321301323秩为 2，故4对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化。【评注】n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是：对于 A 的任意ik重特征根i，恒有.)(iikAErn 而单根一定只有一个线性无关的特征向量。(22)（本题满分 9 分）设 A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(BAPABPAP，令 ;,0,1不发生发生AAX .,0,1不发生发生BBY 求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）X 和 Y 的相关系数.XY【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件

38、的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数。云梯教育，专注考研，更加专业，旗下推出的免费手机应用“口袋题库考研”欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 22 页 共 24 页 更是新一代的考研利器，内含免费历年真题及答案解析，科学的复习笔记，更有学长学姐的经验分享，更多功能及资料下载请抓紧时间下载应用或者加入 QQ 群97240410！【详解】（I）由于121)()()(ABPAPABP，,61)()()(BAPABPBP 所以，121)(1,1ABPYXP，61)()

39、()(0,1ABPAPBAPYXP，,121)()()(1,0ABPBPBAPYXP )(1)(0,0BAPBAPYXP=32)()()(1ABPBPAP（或321216112110,0YXP），故(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1 0 32 121 1 61 121(II)X,Y 的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P 43 41 P 65 61 则61,41EYEX，163DX，DY=365,E(XY)=121,故 241)(),(EYEXXYEYXCov，从而 .1515),(DYDXYXCovXY （23）（本题满分9 分）设总体 X 的分布函数为 欢迎您阅读并下载本文档，本

40、文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 23 页 共 24 页 ,1,1,0,11),(xxxxF 其中未知参数nXXX,121为来自总体 X 的简单随机样本，求：（I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。【详解】X 的概率密度为 .1,1,0,),(1xxxxf（I）由于 1);(11dxxxdxxxfEX，令X1，解得 1XX，所以参数的矩估计量为 .1XX（II）似然函数为 其他,0),2,1(1,)();()(1211nixxxxxfLinnnii 当),2,1(1nixi时，0)(L，取对数得 niixnL1ln)1(ln)(ln，两边对求导，得 niixndLd1ln)(ln，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 24 页 共 24 页 令0)(lndLd，可得 niixn1ln，故的最大似然估计量为 .ln1niiXn