集合与简易逻辑1.1集合(一).docx

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1、集合与简易逻辑1.1集合(一)集合与简易逻辑教案1、设全集为,则有:,。2、,。3、,则有如下关系:(1)若时,则是的充分条件;(2)若时,则是的充分不必要条件;(3)若时,则是的充要条件。4、由n个元素所组成的集合,其子集有个,即,真子集个,非空的真子集个。5、假如原命题是若P则,则原命题的否定是若P则非,而原命题的否命题是若非P则非,但对于全称命题其否定则应加以区分。例如:命题对随意的,的否定为:存在,6、运用反证法的重要一环是如何正确提出与原结论相反的假定,常见的有:7、一般地,已知函数,定义域和值域有如下性质:(1)若的定义域为A,且在集合B上有意义,则。(2)若的值域为A,且的取值范

2、围为B,则。(3)若的单调增(减)区间为A,且在区间B上单调递增(减),则。8、描述法给出的集合,解题中应留意代表元素的属性。有关集合问题的探讨不能遗漏了空集。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。有关集合问题的探讨应留意集合语言转化的等价性。9、充要条件的判定:(1)先分清哪是条件,哪是结论,将条件放在左边,结论放在右边;(2)从条件推到结论,说明条件是充分的;从结论推到条件,说明条件是必要的。10、非形式复合命题的真假与的真假相反;且形式复合命题,当与同为真时为真,其它状况时为假;或形式复合命题,当与同为假时为假,其它状况时为真。第一章集合与简易逻辑第一章集合与简易逻辑 第一教时

3、教材：集合的概念 目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。 过程： 一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合” 如：2x-13x2全部大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。 如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 如：自然数的集合0，1，2，3， 如：高一（5）全体同学组成的集合。 结论：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。 二、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员，B=1，2，3，4，

4、5 常用数集及其记法： 1非负整数集（即自然数集）记作：N 2正整数集N*或N+ 3整数集Z 4有理数集Q 5实数集R 集合的三要素：1。元素的确定性；2。元素的互异性；3。元素的无序性 （例子略） 三、关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A记作aA，相反，a不属于集A记作aA（或aA） 例：见P45中例 四、练习P5略 五、集合的表示方法：列举法与描述法 1列举法：把集合中的元素一一列举出来。 例：由方程x2-1=0的全部解组成的集合可表示为-1，1 例；全部大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为1，3，5，7，9 2描述法：用确定的条

5、件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法：例不是直角三角形的三角形再见P6例 数学式子描述法：例不等式x-32的解集是xR|x-32或x|x-32或x:x-32再见P6例 六、集合的分类 1有限集含有有限个元素的集合 2无限集含有无限个元素的集合例题略 3空集不含任何元素的集合F 七、用图形表示集合P6略 八、练习P6 小结：概念、符号、分类、表示法 九、作业P7习题1.1 第一章“集合与简易逻辑”教材分析 第一章“集合与简易逻辑”教材分析 本章支配的是“集合与简易逻辑”，这一章主要讲解并描述集合的初步学问与简易逻辑学问两部分内容集合的初步学问是现行中学数学教科书中原来就有的内容，这

6、部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系简易逻辑学问则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关学问 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础一方面，很多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用 逻辑是探讨思维形式及其规律的一门基础学科学习数学，须要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和推断，这就离不开对逻辑学问的驾驭和运用更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻

7、辑学问也是相识问题、探讨问题不行缺少的工具，是人们文化素养的组成部分 在中学数学中，集合的初步学问与简易逻辑学问，与其他内容有着亲密联系，它是学习、驾驭和运用数学语言的基础，这就是把它们支配在中学数学起始章的动身点 本章共编排了8小节，教学时间约需22课时： 11集合 约2课时 12子集、全集、补集 约2课时 13交集、并集 约2课时 14肯定值不等式的解法 约2课时 15一元二次不等式的解法 约4课时 16逻辑联结词 约2课时 17四种命题 约2课时 18充分条件与必要条件 约2课时 小结与复习 约4课时 说明：本章是中学数学的起始章，课时支配得相对宽松一些，像小结与复习部分支配4课时，其中

8、考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素 一内容与要求 大体上根据集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节 第一大节是“集合”学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了肯定的感性相识在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法然后，从探讨集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念接着，又讲解并描述了属于集合运算的交集、并集的初步学问鉴于不等式的内容目前初中数学只讲解并描述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合学问的运用与巩固，又考

9、虑到下一章探讨函数的定义域与值域的须要，第一大节最终支配的是肯定值不等式与一元二次不等式的解法此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料 这一大节的重点是有关集合的基本概念学习集合的初步学问，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地运用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点探讨、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集合的基本概念 这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区分与联系学生是从本章才正式起先学习集合学问的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还简单混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍

10、 其次大节是“简易逻辑”学生在初中数学中，学习过简洁的命题(包括原命题与逆命题)学问，驾驭了简洁的推理方法(包括对反证法的了解)由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了推断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法接下来，讲解并描述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的学问，进一步讲解反证法然后，通过若干实例，讲解并描述了充分条件、必要条件和充要条件的有关学问 这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件学习简易逻辑学问，主要是为了培育学生进行简洁推理的技能，发展学生的思维实力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充

11、要条件的有关内容是非常必要的 这一大节的难点是对一些代数命题真假的推断初中阶段，学生只是对简洁的推理方法有肯定程度的熟识，并且，相关的技能和实力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和实力，因此，像对代数命题的证明，学生还须要有一个逐步熟识的过程 依据全日制一般高级中学数学教学大纲（试验修订版）的规定，本章的教学要求是： 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；驾驭有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简洁的集合；驾驭带肯定值的不等式与一元二次不等式的解法 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其

12、相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简洁的问题；驾驭充要条件的意义 二本章的特点 留意初中与中学的连接 近年来，在与本章有关的内容上，根据教学大纲，初中的教学要求有哪些改变呢？ 先看有关集合的部分初中适当渗透一些集合思想，这一点基本没有改变此外，初中去掉了一元二次不等式与肯定值不等式的内容 再看有关逻辑的部分1996年以前的初中毕业生，应当达到以下要求：了解命题的概念；初步驾驭逆命题和逆定理的概念，能正确叙述题设与结论都是简洁命题的命题的逆命题，了解正确命题的逆命题的逆命题不肯定正确；了解四种命题及其相互关系；理解用反证法证明命题的思路，能用反证法证明一些比较简洁的几何题从1996年起，

13、对于高一新生，初中的要求又有进一步调整上述改为：了解逆命题和逆定理的概念，原命题成立它的逆命题不肯定成立，会识别两个互逆命题删去改为：了解反证法 基于以上状况，考虑到学习中学数学的须要，新教材一方面补充了一些必要的学问点，例如关于一元二次不等式与肯定值不等式的解法；另一方面对一些初中相对薄弱的内容，适当予以加强，例如关于反证法等 例如，关于交集、并集的概念，教科书先从图形表示入手，让学生有一个直观的相识，然后给出定义，再用实例加以说明，并且，引出概念的图形也只是采纳了一种简明的形式，而没有画出全部可能出现的状况 又如，本章是对比初中学过的一元一次不等式，并且借助二次函数的图象，讲解并描述一元二

14、次不等式解法的 重视集合与逻辑在中学数学学习中的应用 本章是中学数学的基础，学习本章，主要目的是为了理解后续章节出现的集合与逻辑语言，会用集合与逻辑语言描述学习中遇到的数学问题，进而解决这些问题像对一些性质、定理的理解，对函数的定义域、值域的描述，对推理方法的驾驭，等等 本章在集合与逻辑内容的编排上，既考虑到学问的系统性，又照看到学生的可接受性，并且始终围围着集合与逻辑在中学数学学习中的应用这一基本动身点 在集合这部分，有关集合运算的内容，就留意在解方程和不等式方面的应用，在数学概念的分类方面的应用 在逻辑这部分，有关命题的内容，突出的是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解和对复合命题真值

15、的相识，而不过多地涉及对一个语句是不是命题的推断此外，像关于复合命题的否定，对近期学习影响不大，学生学习又比较困难，本章基本未涉及 为了帮助学生理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”，教科书中介绍了“或门电路”、“与门电路”，这是两个应用的实例事实上，计算机的“智能”装置就是以数学逻辑为基础进行设计的 三教学中应留意的问题 教学要求的把握要适时、适度 本章是中学数学的起始章，适当地把握本章的教学要求是教学中应当重视的问题 集合与逻辑的初步学问是中学数学的基础学问，学习这些内容，主要是为今后进一步学习其他学问作基本语言、基本方法的打算，相应地，对学问系统性、严谨性的要求肯定要适度 学习有关集合的初

16、步学问，其目的主要在于应用详细说，就是在学习其他学问时，能读懂其中的简洁的集合概念和符号；在处理简洁的实际问题时，能依据须要，运用集合语言进行表述在支配训练时，要把握肯定的分寸，不要搞偏题、怪题集合有关性质的证明，一般不要求学生驾驭有些可能混淆但在实际问题中并不多见的关系，就不必有意编排在一起，让学生去一一进行辨析 本章支配的是集合与逻辑的初步学问，这些学问的讲解并描述，是以初中数学的内容为基础的从引出有关学问的实例，到详细应用的问题，基本都属于初中数学的范围，这种局限自然会对有关学问的理解和驾驭造成肯定影响随着后续章节的学习，对集合与逻辑学问的应用将越来越广泛和深化，相应地，对集合与逻辑学问

17、理解和驾驭的水平也就越来越高了因此，本章的教学要求，应当避开一步到位 关于含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真值表，在起先时，教学重点还是借助三个真值表，加深对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的了解，而不必急于让学生驾驭对一般复合命题的真假的推断 关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是限制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜 提高集合与逻辑的教学效益 目前中学数学教学的一个突出问题是教学效益不高详细表现在：一方面，学生用在数学上的时间比较多，像与美国比，是美国学生的好几倍；另一方面，学生在考试中表现良好，但创建性实力和应用实力有肯定欠缺，特性发展也存在着不足之

18、处 为了后续章节的学习，在本章必需给学生打下适当的集合与逻辑基础，限于学生的预备学问与接受实力，在本章又不能过多地追求理论的完整，只有处理好这个关系，才能提高教学效益因此，在实际教学时，肯定要抓住重点怎样把握本章的教学重点呢？一是要有助于对初中数学的理解，二是要能为中学数学的学习扫除障碍换句话说，学习集合与逻辑，要着眼于用集合与逻辑的学问解决数学学习中的问题，而不要在概念的严谨性、学问的系统性上花过多的时间与精力像逻辑中有不少问题，在学术界内部都有争辩，在高一数学课上，就完全没有必要去涉及了 运用数学符号要规范 本章教材有不少集合与逻辑的数学符号，这些符号的采纳，依据的是新的国家标准，其中有些

19、符号与原教科书不同，在教学时应当留意 第一章集合与简易逻辑小结 教学目的： 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；驾驭有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简洁的集合；驾驭带肯定值的不等式与一元二次不等式的解法 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简洁的问题；驾驭充要条件的意义 教学重点： 1.有关集合的基本概念; 2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件 【高考评析】 集合学问作为整个数学学问的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的学问来指

20、导我们思维，寻求解决其他问题的方法 【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆 【数学思想】 1、等价转化的数学思想；2、求补集的思想； 3、分类思想；4、数形结合思想 【解题规律】1、如何解决与集合的运算有关的问题: 1)对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来找寻各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素 2如何解决与简易逻辑有关的问题： 1）力求找寻构成此复合命题的简洁命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题 二、基本学问点： 集合： 1、集合中的元素属性： （1）（2）（3） 2、常用数集符号：NZQR 3、子

21、集：数学表达式 4、补集：数学表达式 5、交集：数学表达式 6、并集：数学表达式 7、空集：它的性质（1）（2） 8、假如一个集合A有n个元素（CradA=n）,那么它有个个子集， 个非空真子集 留意：（1）元素与集合间的关系用符号表示； （2）集合与集合间的关系用符号表示 解不等式： 1、肯定值不等式的解法： （1）公式法：|f(x)|g(x)|f(x)|g(x) (2)几何法 (3)定义法（利用定义打开肯定值） (4)两边平方 2、一元二次不等式或的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集 对应的图形 不等式 0 =0 0 3、分式、高次

22、不等式的解法： 4、一元二次方程实根分布： 简易逻辑： 1、命题的定义：可以推断真假的语句叫做命题 2、逻辑联结词、简洁命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简洁命题；由简洁命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题 构成复合命题的形式：p或q(记作“pq”)；p且q(记作“pq”)；非p(记作“q”) 3、“或”、“且”、“非”的真值推断 （1）“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反； （2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他状况时为假； （3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他状况时为真 4、四种

23、命题的形式： 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若P则q；逆否命题：若q则p (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题) 、原命题为真，它的逆命题不肯定为真 、原命题为真，它的否命题不肯定为真 、原命题为真，它的逆否命题肯定为真 6、反证法：从命题结论的反面动身（假设），引出(与已知、公理、定理)冲突，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法

24、7、假如已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件 推断两条件间的关系技巧： （1）（2） 留意：（1）复合命题的三种形式与假言命题中的四种命题的区分 （2）复合命题中的“p或q”与假言命题中的“若p则q”它们的“P”的区分 三、巩固训练 （一）、选择题： 1、下列关系式中不正确的是（） A0B0C0D0 2、下列语句为命题是（） A等腰三角形B对顶角相等C0D0是自然数吗？ 3、命题“方程|x|=1的解是x=1”中，运用逻辑联结词的状况是（） A运用了逻辑联结词“或”B运用了逻辑联结词“且” C运用了逻辑联结词“非”D没有运用逻辑联结词 4、不等式的解集为（） ABCD 5、不全

25、为0的充要条件是（） A都不是0B最多有一个是0 C只有一个是0D中至少有一个不是0 6、（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D即不充分也不必要条件 7、假如命题则 A即不充分也不必要条件B必要而不充分条件 C充分而不必要条件D充要条件 8、至少有一个负的实根的充要条件是（） ABCD （二）、填空题： 9、不等式的解集是则 10、分式不等式的解集为：_. 11、命题“”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有_个. 12、设A=，B=，若AB，则的取值范围是_. （三）、解答题： 13、解下列不等式 | () 14、利用反证法证明： 15、已知一元二次不等式对一切实数都成立，求的取值范围 16、已知集合A=，求实数的取值范围（表示正实数集合） 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页