[美妙神奇的同构式] 神奇美妙的想法.docx

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1、美妙神奇的同构式 神奇美妙的想法 数学以奇妙奇妙著称.数学的奇妙，如对称和谐，不是嗅觉、味觉和听觉所能体会到的，要专心灵去触摸；数学的奇妙是指解决问题的功能巨大、出其不意、应用广泛和生命力强盛.“同构式”就是具有深刻意义的一种对称和谐的式子.现举几道巧用“同构式”来解决的典型题目，通过解剖、赏析，专心来品尝，我们就可知它的“味道好极了”！ 一、 何谓同构式 “同构”是指“结构相同”.设有ax21+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0(a0)，两式中除字母x的下标不同外，其余的完全一样，这就是结构相同.去掉两式中的下标，得ax2+bx+c=0，奇迹出现了，x1，x2就是此方程的两根，才智“碰

2、撞”迸发出灵感的“火花”！当然,同构式决不只限于这类形式，利用奇妙奇妙激发思维的创建性，类比联想、变通敏捷、实力迁移显示的是无穷的魅力和威力. 二、 巧用同构 稀奇制胜 若同构式理论只能解决一两道题，则其生命力极为有限.反之，若伸展思维的强劲翅膀，开阔视野、丰富联想、穿云破雾，在“形异”中窥得“质同”，则可发觉同构式的理论可在广袤的天地里大显身手.广而言之，在这种理念的启导下，其他很多的数学思想方法、技能、技巧也都可以纵横驰骋、左右逢源、浮想联翩和稀奇制胜. 例1 若不同的两条直线a1x+b1y+c=0，a2x+b2y+c=0相交于点(p，q)(p，q不同时为0)，求过不同的两点A(a1，b1

3、)，B(a2， b2)的直线方程. 解析 因为点(p，q)是两条直线的交点，所以a1p+b1q+c=0，a2p+b2q+c=0， 即pa1+qb1+c=0,pa2+qb2+c=0,则可知点A(a1，b1)与B(a2，b2)都在直线px+qy+c=0上，又两点确定一条直线，故过A，B两点的直线为px+qy+c=0. 点睛题目中除下标数字与等号右边的数0外，全都是字母，即便历尽千难万险求出两条直线的交点坐标，再往下仍会感到手足无措.这时同构式理论显奇能！将a1p+b1q+c=0，a2p+b2q+c=0改写为pa1+qb1+c=0，pa2+qb2+c=0，虽然只是交换了两个字母的位置，但视察问题的视

4、角就大不相同了.这就叫变通敏捷. 例2 ABC的三边长分别为a，b，c，m为正数，求证：aa+m+bb+mcc+m. 解析 构造协助函数f(x)=xx+m，则f(x)=xx+m=1mx+m，易知g(x)=mx+m在(0，+)上单调递减，则f(x)在(0，+)上单调递增，所以由a+bc，得f(a+b)f(c)，即a+ba+b+mcc+m. 又a+ba+b+m=aa+b+m+ba+b+maa+m+bb+m，故aa+m+bb+mcc+m. 点睛不等式两端的三个式子的共同点是?+m，这又是一种类型的同构式，于是协助函数应运而生.再利用函数的单调性、三角形两边之和大于第三边以及放缩法，突破获证. 例3

5、如图1，在直角坐标系xOy中，ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c，0).点P(0，p)在线段AO上(异于端点)，设a，b，c，p为非零常数.若直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F.某同学已正确求得直线OE的方程是1b1cx+1p1ay=0，那么有直线OF的方程为( )x+1p1ay=0. 解析直线AB的方程为xb+ya=1, 直线CP的方程为xc+yp=1. 因为点F既在直线AB上，又在直线CP上，所以点F的坐标满意上述两个方程. 两式相减，得1c1bx+1p1ay=0，则点F的坐标满意此方程，又原点O的坐标也满意此方程，且两点确定一条直线，故直线OF的方程为1c1b

6、x+1p1ay=0，其中x的系数为1c1b. 点睛与例1一样，若求出直线AB与CP的交点F的坐标，难度太大.题目虽给出了所求直线方程中y的系数，只要求x的系数，好像是一种提示，但意义并不大.胡乱猜想，又颇具风险.对同构式的视察、推断和应用，对“形异质同”的识别，依靠的是基于思维深刻性的洞察力.“两式相减”，夸张地说，是“神来之笔”；其实熟能生巧，也属平常. 图1 图2 例4 如图2，设抛物线E：x2=2py(p0)，M为直线y=2p上随意一点，过M引抛物线E的两条切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列. 解析 由x2=2py，得y=x22p，则可设Ax1，x212p，B

7、x2，x222p. 求导，得y=xp，则两条切线的斜率分别为x1p，x2p，又设M(x0，2p)， 所以切线MA的方程为y+2p=x1p(xx0)，MB的方程为y+2p=x2p(xx0)， 因为A，B分别在直线MA，MB上，所以x212p+2p=x1p(x1x0)，x222p+2p=x2p(x2x0)， 分别化简，得x212x0x14p2=0，x222x0x24p2=0， 则可知x1，x2是方程x2-2x0x-4p2=0的两根，则x1+x2=2x0，故x1，x0，x2成等差数列. 点睛在这里，同构式的获得过程有些曲折.由A，B分别在直线MA，MB上，得到的式子比较困难，且不大像同构式.但假如心

8、中有同构的思想，且知欲证的是x1+x2=2x0，便想到了韦达定理和一元二次方程，那么经过一番有目标的“改造”，变别扭为自然，就不难得同构式. 图3 例5 如图3，过点M(2，1)的椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点是F1(2， 0). (1) 求椭圆C的方程； (2) 设过点P(4，1)的动直线l与椭圆C相交于不同的两个点A， B，且在线段AB上取一点Q，满意|AP|QB|=|AQ|PB|，求证：点Q总在某定直线上. 两式相减，得8(2x+y2)=0(0)，所以2x+y2=0，故点Q(x，y)在定直线2x+y2=0上. 点睛得到上述两个式子的过程看似很麻烦，其实是很自然的，沉住

9、气细致点，不难得到.关键是如何通过“改造”得到这两个式子.尝试性地进行化简，再以为主元，整理得另一种类型的同构式.目标是消去，而2的系数相同，的系数互为相反数，故相减奏效. 图4 例6 如图4，设点P(x0，y0)在直线x=m(y0m，0m1)上，过点P作双曲线x2y2=1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，设定点M1m，0.求证：A，M，B三点共线. 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知得y1y20，且x21y21=1，x22y22=1. 设切线PA的方程为y-y1=k(x-x1)，代入x2y2=1并化简， 得(1k2)x22k(y1kx1)x(y1kx1)21=0. 由=

10、4k2(y1kx1)2+4(1k2)(y1kx1)2+4(1k2)=0， 解得k=x1y1，则PA的方程为yy1=x1y1(x-x1)，即y1y=x1x1. 同理，PB的方程为y2y=x2x1. 因为点P(m，y0)在切线上，所以有y1y0=x1m1， y2y0=x2m1， 即点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直线y0y=mx1上. 又点M1m，0也在此直线上，故A，M，B三点共线. 点睛若不是同构式的“见义勇为”，此题获证的难度之大可想而知. 负责任地告知你，上面各例基本上都是高考试题，耐人寻味吧？ 图5 1 如图5，点A，B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已 知OA

11、OB， OMAB于M.求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 2 设A，B是椭圆3x2+y2=上的两点，点N(1，3)是线段AB的中 点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C，D两点.确定的取值范围，并 求直线AB的方程. 1 设A(4pt21，4pt1)，B(4pt22，4pt2)，则由OAOB，易得t1t2=1. 分别以OA，OB为直径作圆，则点M就是这两个圆除原点以外的另一个交点，而两圆的方程分别为x(x4pt21)+y(y4pt1)=0，x(x4pt22)+y(y4pt2)=0， 即x2+y24pt21x4pt1y=0， x2+y24pt22x4pt2y=0. 所以t1，t2为关于t的方程4pxt2+4pyt(x2+y2)=0的两根，则t1t2=x2+y24px. 所以x2+y24px=1，故所求轨迹方程为x2+y24px=0， 即(x2p)2+y2=4p2(x0)，表示以(2p，0)为圆心，2p为半径的圆，且去掉原点. 2 (12，+)，直线AB的方程为x+y4=0.