八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的应用专题讲解.docx

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1、八年级数学竞赛例题和差化积-因式分解的应用专题讲解八年级数学竞赛例题和差化积-因式分解的方法1专题讲解 专题3和差化积-因式分解的方法（1）阅读与思索提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常依据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必需进行到每一个因式都不能再分解为止一些困难的因式分解问题常常用到以下重要方法：1换元法：对一些数、式结构比较困难的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等2拆、添项法：拆项即把代数式中的某

2、项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解 例题与求解【例l】分解因式_（浙江省中考题）解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构 【例2】视察下列因式分解的过程：（1）；原式；（2）原式第（1）题分组后能干脆提公因式，第（2）题分组后能干脆运用公式仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）；（西宁市中考试题）（2）（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经验“试验失败再试验再失败直至胜利”的过程 【例

3、3】分解因式（1）；（重庆市竞赛题）（2）；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）（“五羊杯”竞赛试题） 解题思路：（1）式中系数较大，干脆分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有亲密联系 【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（）ABCD（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：干脆分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如341 【例5】分解因式：（1）；（扬州市竞赛题）（2）；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略 【例6】分解因式：（河南

4、省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法 实力训练 A级1分解因式：（1）_（泰安市中考试题）（2）_（威海市中考试题）2分解因式：（1）_；（2）_3分解因式：_4多项式与多项式的公因式是_5在1100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_个6将多项式分解因式的积，结果是（）ABCD7下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）ABCD（“希望杯”邀请赛试题）8把分解因式，其中一个因式是（）ABCD9多项式有因式（）ABCD（“五羊杯”竞赛试题） 10已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）A肯定是奇数B肯定是偶数C可为奇数也可为偶数D

5、肯定是负数11分解因式：（1）；（2）；（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）；（重庆市竞赛试题）（5）；（6） 12先化简，在求值：，其中， B级1分解因式：_（重庆市竞赛试题）2分解因式：_（“五羊杯”竞赛试题）3分解因式：_（“希望杯”邀请赛试题）4分解因式：_（“五羊杯”竞赛试题）5将因式分解得（）ABCD（陕西省竞赛试题）6已知是ABC三边的长，且满意，则此三角形是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D不能确定7的因式是（）ABCDE.（美国犹他州竞赛试题）8分解因式：（1）；（湖北省黄冈市竞赛试题）（2）；（江苏省竞赛试题）（3）；（陕西省中考试题）（4）；（“祖冲之杯”邀请

6、赛试题）（5）；（“五羊杯”竞赛试题）（6）（太原市竞赛试题） 9已知乘法公式：利用或者不利用上述公式，分解因式：（“祖冲之杯”邀请赛试题） 10分解因式：（1）；（2）；（3） 11对方程，求出至少一组正整数解（莫斯科市竞赛试题） 12已知在ABC中，求证：（天津市竞赛试题） 八年级数学竞赛例题乘法公式专题讲解 专题02乘法公式 阅读与思索乘法公式是多项式相乘得出的既有特别性、又有好用性的详细结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应留意：1熟识每个公式的结构特征；2正用即依据待求式的结构特征，仿照公式进行干脆的简洁的套用；3逆用即将公式反

7、过来逆向运用；4变用即能将公式变换形式运用；5活用即依据待求式的结构特征，探究规律，创建条件连续综合运用公式 例题与求解【例1】1，2，3，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是（全国初中数字联赛试题）解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除 【例2】（1）已知满意等式，则的大小关系是()ABCD（山西省太原市竞赛试题）（2）已知满意，则的值等于（）A2B3C4D5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑

8、 【例3】计算下列各题：（1）；（天津市竞赛试题）（2）；（“希望杯”邀请赛试题）（3）解题思路：若按部就班运算，明显较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征 【例4】设，求的值（西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能干脆求出的结构，必需把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果 【例5】视察：（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）依据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特别状况入手，视察找规律 【例6】设满意求：（1）的值；（2）的值（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式

9、解答，要牢记乘法公式，并敏捷运用 实力训练A级1已知是一个多项式的平方，则（广东省中考试题）2数能被30以内的两位偶数整除的是3已知那么（天津市竞赛试题）4若则5已知满意则的值为（河北省竞赛试题）6若满意则等于7等于（）ABCD8若，则的值是（）A正数B负数C非负数D可正可负9若则的值是（）A4B19922C21992D41992（“希望杯”邀请赛试题）10某校实行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列假如原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；假如原队列中削减120人，也能组成一个正方形队列问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题） 11设，证明：

10、是37的倍数（“希望杯”邀请赛试题） 12视察下面各式的规律：写出第2022行和第行的式子，并证明你的结论 B级1绽开式中的系数，当1，2，3时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为（学习报公开赛试题）2如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，假如13，9，3的对面的数分别为，则的值为（天津市竞赛试题）3已知满意等式则4一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为（全国初中数学联赛试题）5已知，则多项式的值为（）A0B1C2D36把2022表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A16种B14种

11、C12种D10种（北京市竞赛试题）7若正整数满意，则这样的正整数对的个数是（）A1B2C3D4（山东省竞赛试题）8已知，则的值是（）A3B9C27D81（“希望杯”邀请赛试题）9满意等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由10数码不同的两位数，将其数码依次交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求全部这样的两位数（天津市竞赛试题） 11若，且，求证： 12假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”，如因此4，12，20这三个数都是神奇数（1）28和2022这两个数是神奇数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数）

12、，由这两个连续偶数构造的神奇数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神奇数吗？为什么？（浙江省中考试题） 八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解 专题11双曲线 阅读与思索形如的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍运用的模型，如通过变更电阻来限制电流的改变，从而使舞台的灯光达到变化的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.反比例函数的基本性质有：1.反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延长，但不能与坐标轴相交；2.k的正负性，确定双曲线大致位置及y随x的改变状况；3.双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图

13、形，对称轴是直线及.反比例函数与一次函数有着内在的联系.如在作图时都要经验列表、描点、连线的过程；探讨它们的性质时，都是通过几个详细的函数归纳出一般的规律，但它们终归不同.反比例函数中的几何意义是：等于双曲线上随意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积，如图：（1）；（2）.求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到.求符合某种条件的点的坐标，常依据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标.解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思索问题，又能提高思维的周密性.反比例函数是描述变量之间相互关系的重

14、要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等学问.例题与求解【例1】（1）如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则.（兰州市中考试题） （2）如图，P1OA1，P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1，P2在函数的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是.（南通市中考试题）解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用k表示；对于（2），设，把A，C两点坐标用a，b表示. 【例2】如图，P是函数图象上一点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，PMx轴于M，交AB于E，PNy轴于N，

15、交AB于F，则的值为.（北京市竞赛试题）解题思路：设，把AF，BE用a，b的式子表示. 【例3】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.（福州市中考试题）解题思路：对于（2），有下列不同的解法：图1图2图3对于（3），须要思索的是，四边形APBQ的形态，P点与A点有怎样的位置关系.【例4】已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已

16、知A点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A点坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.解题思路：对于（3），应分类探讨，并留意A点坐标隐含的信息. 【例5】一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图象相交于点A、B，过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BFx轴，BDy轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD.（1）若点A，B在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：；.（2）若点A，B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则

17、AN与BM还相等吗？试证明你的结论.图1图2（威海市中考试题）解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证ABDC，则四边形ANDC，DCMB为平行四边形；（2）方法同（1）. 例5的拓展改变：如图，点M，N在反比例函数的图象上，过点M作MEx轴，过点N作NFy轴，垂足分别为E、F，则MNEF. 【例6】点，与点C构成边长是3，4，5的直角三角形，假如点C在反比例函数的图象上，求k可能取的一切值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本题是与反比例函数相关的综合题，运用了代数化、勾股定理、消元降次、分类探讨等思想方法. 实力训练A级1.已知是反比例函数，则.2.若反比例函数的图象位于其次、

18、四象限，则满意条件的正整数k的值是.（沈阳市中考试题）3.已知双曲线经过点，假如，两点在该双曲线上，且，那么.（威海市中考试题）4.已知函数（a为常数）的图象上有三点，则，的大小关系是.5.如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是.（荆门市中考试题）6.如图，B为双曲线上一点，直线AB平行于y轴交直线于点A，若，则.（武汉市四月调考试题）（第5题）（第6题）7.如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作AMx轴于M点，连接BM，若，则k的值是（）A.2B.C.D.4（鄂州市中考试题）（第7题）（第8题）8.如图，反比例函数的图象与直线的

19、交点为A、B，过A作y轴的平行线与过B作x轴的平行线相交于点C，则ABC的面积为（）A.8B.6C.4D.2（深圳市中考试题） 9.函数与在同一坐标系中的图象可能是（）（山西省中考试题）10.如图，RtABO的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，ABx轴于B，且.（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和AOC的面积.（黄冈市中考试题） 11.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴、x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点、，过C点作CEy轴于E，过点D作DFx轴于F.（1）求m，n的值；（2）求直线AB的函数解析式；（3）求证：AECDFB

20、.（温州市中考试题） 12.如图所示，已知双曲线的图象上有两点，且，分别过，向x轴作垂线，垂足为B，D，过，向y轴作垂线，垂足分别为A，C.（1）若记四边形和四边形的面积分别为，周长分别为，试比较和，和的大小；（2）若P是双曲线上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N.试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？（黄冈市特长生选拔赛试题） B级1.已知，且与成反比例，与成反比例.且当时，；当时，.当时，.2.直线与双曲线交于，两点，则.（荆门市中考试题）3.如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点A，C，自点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B和D，则四边形ABCD的面

21、积等于.（北京市竞赛试题）（第3题）（第4题）4.已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点C，B，与双曲线交于点A，D，若，则k的值为.（十堰市中考试题）5.两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PCx轴于点C，交的图象于点A，PDy轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，有以下结论：ODB与OCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生改变；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B肯定是PD的中点.其中肯定正确的是.（咸宁市中考试题）6.如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数的图象上，则点E的坐标是（）A.B.

22、C.D.（绍兴市中考试题）7.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是曲线和，设P点在上，PEx轴于点E，交于点A，PDy轴于点D，交于点B，则四边形PAOB的面积为（）A.B.C.D.（浙江省竞赛试题）8.等腰直角三角形ABC位于第一象限，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线与ABC有交点，则k的取值范围是（） A.B.C.D.（济南市中考试题） 9.如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点是函数的图象上的随意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，并设矩形

23、OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.（1）求B点坐标和k的值；（2）当时，求点P的坐标；（3）写出S关于m的函数关系式.（温州市中考试题） 10.如图，已知直线交x轴于A，交y轴于B，P为反比例函数上一点，过P作x轴平行线交直线l于E，过P作y轴平行线交直线l于F.求的值. 11.已知一次函数与反比例函数的图象交于点，.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求MON的面积.（太原市竞赛试题） 12.已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴，y轴分别交于点A和点B，且.这条曲线是函数的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上随意一点，它的坐标是，由点P向x轴、y轴

24、作垂线PM，PN（垂足分别为M，N），分别与直线AB相交于点E和点F.（1）设交点E和F都在线段AB上（如图），分别求E，F的坐标（用a的代数式表示E点坐标，用b的代数式表示F点坐标，只需写出答案，不要求写出计算过程）；（2）求OEF的面积（结果用a，b的代数式表示）；（3）AOF与BOE是否肯定相像？假如肯定相像，请予以证明；假如不肯定相像或者肯定不相像，请简要说明理由；（4）当点P在曲线上移动时，OEF随之变动，指出在OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论.（上海市竞赛试题） 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页