4-2矩阵教案 (3).doc

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1、如皋市第二中学 选修4-2矩阵与变换2.1.1矩阵的概念 教学目标：知识与技能：1.掌握矩阵的概念以及基本组成的含义(行、列、元素) 2.掌握零矩阵、行矩阵、列矩阵、矩阵相等的概念. 3.尝试将矩阵与生活中的问题联系起来, 用矩阵表示丰富的问题, 体会矩阵的现实意义.过程与方法： 从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组情感、态度与价值观： 体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想教学重点：矩阵的概念以及基本组成的含义教学难点：矩阵的概念以及基本组成的含义教学过程：一、问题情

2、境:yx23OP(2, 3)设O(0, 0)，P(2, 3)，则向量 = (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为23232日常生活矩阵（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688（2）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：A B C D E28英寸 1 3 0 1 230英寸 5 8 6 1 232英寸 2 3 5 6 034英寸 0 1 1 0 33图矩阵A B C DABCD0 1 1 01 0 1 01 1 0 1

3、0 0 1 0BACD0 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 0 A B CA 0 3 1B 3 0 0C 1 0 2ACB二、建构数学矩阵：记号：A，B，C，或（aij）(其中i,j分别元素aij所在的行和列)要素：行列元素矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。特别：（1）21矩阵，22矩阵（二阶矩阵），23矩阵（2）零矩阵 （3）行矩阵：a11,a12列矩阵：，一般用a，b等表示。（4）行向量与列向量三、教学运用ABCyxO例1、用矩阵表示图中的ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) .思考: 如果用矩阵M= 表示平面中的图形, 那么该

4、图形有什么几何特征?例2、某种水果的产地为A1 , A2 , 销地为B1 , B2 , 请用矩阵表示产地Ai 运到销地Bj 的水果数量(aij), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 .例3、用矩阵表示下列方程组中的未知量的系数.(1) (2)例4、已知A= , B= , 若A=B , 试求x , y , z .四、课堂小结五、课堂练习：1.书P10 1 , 2 , 4 2.设A= , B= , 若A=B , 试求x , y , m , n的值.六、回顾反思：七、课外作业：1.用矩阵表示图中的ABC, 其中A(2 , 3) , B(-4, 6), C(5 , -3).yxACBO 2.在学

5、校组织的数学智力竞赛中, 甲、乙、丙三位同学获得的成绩分别为: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分别用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同学, 试用矩阵表示各位同学的得分情况.3.设A= , B= , 若A=B , 试求x , y , m , n .4.下图是各大洋面积统计表.海洋名面积/万千米2太平洋17967.9大西洋9165.5印度洋7617.4北冰洋1475.0 如果分别用1 , 2 , 3 , 4表示太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋, 试用矩阵表示各大洋的面积.5.请设计一个可用矩阵 来表示的实际问题.2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法- 教学目标：知识与技能：1.掌握二阶

6、矩阵与列向量的乘法规则, 并了解其现实背景.2.理解变换的含义, 了解变换与矩阵之间的联系.3.能够熟练进行由矩阵确定的变换过程与方法：从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组情感、态度与价值观：体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想教学重点：二阶矩阵与列向量的乘法规则教学难点：二阶矩阵与列向量的乘法规则教学过程：一、问题情境: 在某次歌唱比赛中, 甲的初赛和复赛的成绩用A=80 90表示, 乙的初赛和复赛成绩用B=60 85表示, C=表示初赛和复赛成绩在比赛总分中所占的

7、比重, 那么如何用矩阵的形式表示甲、乙的最后成绩呢?二、建构数学1.行矩阵和列矩阵的乘法规则 2.二阶矩阵与列向量的乘法规则3.变换三、教学运用 例1、计算: (1) (2) (3) 例2、求在矩阵 对应的变换作用下得到点(3 , 2)的平面上的点P的坐标.例3、(1)已知变换 , 试将它写成坐标变换的形式; (2)已知变换, 试将它写成矩阵乘法的形式.例4、 求ABC在矩阵 对应的变换作用下得到的几何图形, 其中A(1 , 2) , B(0 , 3) , C(2 , 4).例5、求直线y=2x在矩阵 作用下变换得到的图形.四、课堂小结五、课堂练习：六、回顾反思：七、课外作业：1.计算 (1)

8、 (2) 2. (1)已知 , 试将它写成坐标变换形式;(2)已知, 试将它写成矩阵的乘法形式.3. (1)点A(5 , 7)在矩阵 对应的变换作用下得到的点为_ ; (2)在矩阵 对应的变换作用下得到点(19 , -19)的平面上点P的坐标为 .4.已知矩阵P=, Q=且Px=Q , 求矩阵x . 5.线段AB , A(-2 , 3) , B(1 , -4)在矩阵 作用下变换成何种图形? 与原线段有何区别?6.求直线x+y=1在矩阵 作用下变换所得图形. 2.2几种常见的平面变换（1）-恒等变换、伸压变换 教学目标：知识与技能：1.掌握恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点.2.熟练运用恒等变换和

9、伸压变换进行平面图形的变换过程与方法：借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程 情感、态度与价值观： 提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。教学重点：恒等变换、伸压变换的概念教学难点：恒等变换、伸压变换的矩阵教学过程：一、问题情境:已知ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M来表示这一变换?二、建构数学1.恒等变换矩阵(单位矩阵)2.恒等变换3.伸压变换矩阵4.伸压变换三、教学运用例1、求x2+y2=1在矩阵M= 作用下的图形例2、已

10、知曲线y=sinx经过变换T作用后变为新的曲线C , 试求变换T对应的矩阵M , 以及曲线C的解析表达式.例3、验证图C : x2+y2=1在矩阵A= 对应的伸压变换下变为一个椭圆, 并求此椭圆的方程.四、课堂小结：五、课堂练习：P33 1 , 2 .六、回顾反思：七、课外作业：1.已知平行四边形ABCD, A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(3 , 2) , D(0 , 2) , 它们在变换T作用前后保持位置不变, 则变换矩阵M=_ .2.已知菱形ABCD, A(2 , 0) , B(0 , 1) , C(-2 , 0) , D(0 , -1), 在矩阵M= 作用下变为A, B

11、, C, D, 求A, B, C, D的坐标, 并画出图形.3.求OBC在矩阵 作用下变换的结果, 其中O为原点, B(-1 , 0) , C(0 , 1) .4.求正方形ABCD在矩阵 作用下得到的图形, 并画出示意图, 其中A(1 , 0) , B(0 , 1) , C(-1 , 0) , D(0 , -1) .5.求抛物线 y=x2在矩阵 作用下得到的新的曲线C , 并求曲线C的函数表达式.6.研究函数y=cosx在矩阵变换作用下的结果.2.2几种常见的平面变换（2）-反射变换 教学目标：知识与技能：1.理解反射变换的有关概念, 熟知常用的几种反射变换矩阵. 2.能熟练地对各种平面图形进

12、行反射变换.过程与方法：借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程 情感、态度与价值观： 提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。 教学重点：反射变换的概念教学难点：反射变换矩阵教学过程：一、问题情境:已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换, 分别得到图片F1 , F2 , F3 , 这些变换能用矩阵来刻画吗?二、建构数学:1.反射变换的有关概念 2.常用的几种反射变换矩阵3.二阶非零矩阵对应的变换的特点及线性变换.三、教学运用例1、求直线y=4x在矩阵 作用下变换所得的图

13、形.例2、求曲线y=(x0)在矩阵 作用下变换所得的图形.例3、求矩形OBCD在矩阵 作用下变换所得的图形, 并画出示意图, 其中O(0 , 0), B(2 , 0) , C(2 , 1), D(0 , 1).AEBCD1231423yx练习: 1.如图, 已知格纸上有一面小旗子, 请在格纸上画出它关于x轴、y轴和原点对称的图形, 并利用矩阵计算进行验证.2.求平行四边形ABCD在矩阵M= 作用下变换所得的几何图形, 并画出示意图, 其中A(0 , 0), B(3 , 0) , C(4 , 2), D(1 , 2).四、课堂小结：五、课堂练习：六、回顾反思：七、课外作业：1. 将图形变换为关于

14、x轴对称的图形的变换矩阵为_ . 将图形变换为关于y轴对称的图形的变换矩阵为_ . 将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为_ .2.求ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .3.求出曲线y=(x0)在矩阵M= 作用下变换得到的曲线.4.求曲线y=lgx(x0), 在矩阵M= 作用下变换得到的曲线.5.求曲线y=经M1= 和M2= 作用下变换得到的曲线.2.2几种常见的平面变换（3）-旋转变换 教学目标：知识与技能：1.理解旋转变换的有关概念, 掌握旋转变换的特点. 2.熟练运用旋转变换矩阵对平面图形进行旋转变换过程与方法

15、：借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程 情感、态度与价值观： 提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。 教学重点：旋转变换的概念教学难点：旋转变换矩阵教学过程：一、问题情境:yxPPO如图, OP绕O点逆时针方向旋转角到OP, 这种几何变换如何用矩阵来刻画?二、建构数学:1.旋转变换的有关概念2.旋转变换的特点三、教学运用例1、已知A(0 , 0), B(2 , 0) , C(2 , 1) , D(0 , 1) , 求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90后得到的图形, 并求出其顶点坐标, 画出示意图.思考: 若旋转30,

16、 结果如何呢? 旋转45呢?例2、求ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 并画出示意图, 其中A(0 , 0) , B(2 , ), C(0 , 3) .例3、已知曲线C : y=lgx , 将它绕原点顺时针旋转90得到曲线C, 求C的方程.四、课堂小结：五、课堂练习：练习: 书P33 7 , 8六、回顾反思：七、课外作业：1.矩阵 对应的旋转变换的旋转角=_ . 矩阵 对应的旋转变换的旋转角=_ (00时 , 沿x轴_方向移动, 当y0时, 沿x轴_方向移动, 当y=0时, 原地不动, 在此变换作用下, _上的点为不动点.2.直线x2y=3在矩阵 对应的变换作用下变成了什么图形? 画出此

17、图形.3.求曲线y=|x|在矩阵 对应的变换作用下变成的图形.4.求出正方形ABCD在矩阵M= 作用后的图形, 其中A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(2 , 2) , D(0 , 2).yxBACOyxOACB5.求把ABC变换成ABC的变换矩阵, 其中A(-2 , 1) , B(0 , 1) , C(0 , -1) , A(-2 , -3), B(0 , 1), C(0 , -1) .2.3.1矩阵乘法的概念 教学目标：知识与技能：1.掌握二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义. 2.能灵活运用矩阵乘法进行平面图形的变换 . 3.了解初等变换及初等变换矩阵的含义.过程与方法：从实

18、例中理解矩阵乘法的代数运算和几何意义，掌握运算规则，从几何角度验证乘法规则情感、态度与价值观： 教学重点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学难点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学过程：一、问题情境: 对向量先做变换矩阵为N=的反射变换T1, 得到向量, 再对所得向量做变换矩阵为M=的伸压变换T2得到向量, 这两次变换能否用一个矩阵来表示?二、建构数学：1.矩阵乘法的乘法规则 2.矩阵乘法的几何意义3.初等变换, 初等变换矩阵三、教学运用 例1、(1)已知A=, B=; 计算AB . (2)已知A=, B= , 计算AB, BA . (3)已知A=, B=, C=, 计算AB、AC

19、 .例2、已知A=, 求A2, A3 , A4 , 你能得到An的结果吗? (nN*) 例3、已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 2) , D(1 , 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将所得图形绕原点逆时针旋转90.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ; (2)求点A , B , C , D在TM作用下所得到的结果;(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形, 并验证(2)中的结论.例4、已知A= , B= , 求AB, 并对其几何意义给予解释.四、课堂小结：五、课堂练习：练习: P46 1 , 2六、回顾反思：七、课外作业：1

20、.计算: (1) (2) (3) (4) 2.已知A= , 求A2 , A3 , 你能得到An的结果吗? (nN*) .3.计算, 并用文字描述二阶矩阵对应的变换方式.4.已知ABC, 其中A(1 , 2), B(2 , 0), C(4 , -2), 先将三角形绕原点按顺时针旋转90, 再将所得图形的横坐标伸长为原来的3倍, 纵坐标不变. (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ; (2)求点A , B , C在变换矩阵M作用下所得到的结果; (3)如果先将图形的横坐标伸长为原来的3倍, 再将所得图形绕原点顺时针旋转90, 则连续两次变换所对应的变换矩阵M是什么呢?5.设m , nk , 若矩

21、阵A=把直线l : x5y+1=0变换成另一直线 l: 2x+y+3=0, 试求出m , n的值.2.3.2矩阵乘法的的简单性质 教学目标：知识与技能：1.能从矩阵运算和图形变换的角度理解矩阵乘法的简单性质. 2.能运用矩阵乘法的简单性质进行矩阵乘法的运算过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：矩阵乘法的简单性质教学难点：矩阵乘法的简单性质教学过程：一、问题情境:实数的乘法满足交换律、结合律和消去律, 那么矩阵的乘法是否也满足这些运算律呢?二、建构数学：1.矩阵的乘法不满足交换律2.矩阵的乘法满足结合律3.矩阵的乘法不满足消去律三、教学运用：例1、已知梯形ABCD , A(0 , 0)

22、, B(3 , 0) , C(2 , 2 ) , D(1 , 2) , 变换T1对应的矩阵P=, 变换T2对应的矩阵Q=, 计算PQ , QP , 比较它们是否相同, 并从几何变换的角度予以解释.例2、已知M= , P=, Q=, 求PMQ .例3、已知M= , N= , J= .(1)试求满足方程MX=N的二阶方阵X ; (2)试求满足方程JYN=M的二阶方阵Y .例4、已知A= , B= , 证明AB=BA , 并从几何变换的角度予以解释.四、课堂小结：五、课堂练习：练习: P46 1 , 2六、回顾反思：七、课外作业：1.(1)已知M=, N=, 求MN , NM . （2）已知M= ,

23、 N=, 求MN , NM .2.已知A= , P= , Q= , 求PAQ .3.证明下列等式, 并从几何变换的角度给予解释. (1) = (2) =4.已知ABC , A(0 , 0) , B(2 , 0), C(1 , 2) , 对它先作M=对应的变换, 再作N=对应的变换, 试研究变换作用后的结果, 并用一个矩阵来表示这两次变换.yxABCCBAO12-11235.两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合, 反过来, 可以对平面中的某些几何变换进行简单的分解, 你能根据如图所示变换后的图形进行分解, 从而知道它是从原来图形经过怎样的复合变换过来的吗?2.4.1逆矩阵的概念 教学目标：知

24、识与技能：1.理解逆变换和逆矩阵的概念, 能用几何变换的观点判断一个矩阵是否存在逆矩阵. 2.掌握求矩阵的逆矩阵的方法. 3.掌握AB可逆的条件及(AB) -1 的求法, 理解矩阵乘法满足消去解的条件 .过程与方法：情感、态度与价值观： 教学重点：逆变换和逆矩阵的概念教学难点：求矩阵的逆矩阵教学过程：一、问题情境:已知二阶矩阵对应的变换把点(x , y)变换为 (x, y) , 是否存在一个变换能把点(x, y)变换为(x , y)呢?二、建构数学：1.逆变换和逆矩阵的概念注: 如果A可逆, 那么逆矩阵唯一.二阶矩阵可逆的条件2.逆矩阵的求法: 定义法几何变换法3.AB可逆的条件及(AB) -

25、1 的求法4.矩阵乘法满足消去解的条件.三、教学运用：例1、用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出其逆矩阵.(1)A= (2)B= (3)C= (4)D=例2、求下列矩阵的逆矩阵.(1)A= (2) B= 例3、试从几何变换的角度求解AB的逆矩阵.(1) A= , B= (2) A= , B=例4、设可逆矩阵A= 的逆矩阵A -1 = , 求a , b .四、课堂小结：五、课堂练习：P63 1. (1) (2) 2. (1)六、回顾反思：七、课外作业：1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 把它求出来. (1) A= (2) B= (3) C= (4)

26、 D=2.求下列矩阵的逆矩阵 (1) A= (2) B= (3) C=3.试从几何变换的角度求矩阵AB的逆矩阵. (1) A= , B= (2) A= , B= 4.已知矩阵A=, B=, 求A-1 , B-1 , (AB)-1 5.已知二阶矩阵A , B , C的逆矩阵分别为A -1 , B -1 , C -1 , 那么(ABC) -1 , (ACB) -1 , (BCA) -1 分别等于什么? 你能将你的结论作进一步的推广吗?2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组 教学目标：知识与技能：1.掌握二阶行列式的定义及运算方法, 了解行列式与矩阵的异同. 2.掌握运用行列式解方程组的方法. 3.能利

27、用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程, 掌握从几何变换的角度判断方程组的解的情况过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：二阶行列式的定义及运算方法教学难点：运用行列式解方程组教学过程：一、问题情境:关于x , y的二元一次方程组当abbc0时, 方程的解为, 观察方程组的解的结果, 与矩阵, , 有何联系?二、建构数学：1.二阶行列式及运算公式;2.二元一次方程组的行列式解法;3.利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程及从几何变换的角度判断方程组的解的情况.三、教学运用：例1、利用行列式解方程组.思考: 如何用逆矩阵的知识解这个方程组?例2、利用行列式方法求矩阵A=的逆矩阵.例3、试从几

28、何变换的角度说明方程组 解的存在性和唯一性.例4、已知二元一次方程组Ax=B, A=, B=, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.四、课堂小结：五、课堂练习：1.设A=, x=, B=, 用两种方法解方程组Ax=B ; 2.已知方程组Ax=B , A=, x=, B=, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.六、回顾反思：七、课外作业：1.已知M= , 且det(M)=0 , 求.2.设A= , B= . (1)计算det(A) , det(B) (2)判断矩阵AB是否可逆, 若可逆, 求其逆矩阵.3.利用行列式解下列方程组: (1) (2)4.设A= , x=, B=, 用两种方法解方程

29、Ax=B .5.试从几何变换角度说明方程的解的存在性和唯一性.6.已知=A, 求使等式成立的矩阵A .2.5特征值与特征向量（1） 教学目标：知识与技能： 1.理解特征值与特征向量的含义. 2.掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法, 并能从几何变换的角度加以解释.过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：特征值与特征向量的含义教学难点：求矩阵的特征值和特征向量教学过程：一、问题情境: 已知伸压变换矩阵M=, 向量=和=在M对应的变换作用下得到的向量和分别与, 有什么关系? 对伸压变压矩阵N=呢?二、建构数学：1.矩阵的特征值和特征向量的定义.2.特征多项式3.矩阵M=的特征值和特征向量的计算

30、方法: (1)构造特征多项式f ()=0;(2)解方程f()=0 ;(2)将代入, 求出对应的一个特征向量.注: 如果向量是属于的特征向量, 那么t(tR , t0)也是属于的特征向量.三、教学运用：例1.求下列矩阵的特征值和特征向量, 并从几何变换的角度加以解释.(1)A= (2) B= 例2.已知A=, P=, Q=, 试求矩阵PAQ的特征值与特征向量.例3.已知是矩阵M属于特征值=3的特征向量, 其中M=, =, 且a+b+m=3 , 求a , b , m .四、课堂小结：五、课堂练习：P72 1六、回顾反思：七、课外作业：1.向量在矩阵变换下（ ） A.改变了方向, 长度不变 B.改变

31、了长度, 方向不变 C.方向和长度都不变 D.以上都不对2.下列对于矩阵A的特征值的描述正确的是 ( ) A.存在向量, 使得A= B.对任意向量, 有A= C.对任意非零向量, A=成立 D.存在一个非零向量, 有A=3.矩阵 的特征值为_ , 对应的特征向量为_ .4.求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) (2) 5.已知M=, 试说明和都是矩阵A的对应于不同的特征值的特征向量.6.已知是矩阵A属于特征值=2的特征向量, 其中A=, =, 求a , b .7.如果向量既是矩阵M的特征向量, 又是矩阵N的特征向量, 证明: 必是MN及NM的特征向量.2.5特征值与特征向量（2） 教学目标：

32、知识与技能：1.进一步理解特征值与特征向量的概念, 能熟练求矩阵的特征值和特征向量. 2.能利用矩阵的特征值和特征向量求向量多次变换的结果.过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：特征值与特征向量的概念教学难点：求矩阵的特征值和特征向量教学过程：一、复习回顾:1.已知A= , B=, 求矩阵BA的特征值与特征向量;2.说明矩阵 没有实数特征值和特征向量.注意： 1.矩阵M有特征值及对应的特征向量, 则M n =n (nN*).2.如果矩阵M有两个不共线的特征向量1 ,2 , 其对应的特征值分别为1 , 2 , 那么平面内任意个向量=S1+t2 , 因此M n=S1 n1 +t2 n2 .二、教学运用：例1、已知M=, =, 求M2. 例2、已知M=,=, 计算M50.例3、 已知矩阵M=有属于特征值1 = 8的特征向量1 = , 及属于特征值2=3的特征向量2 =.(1)对向量=, 记作=132 , 利用这一表达式计算M3及M50;(2)对向量=, 求M5及M100. 三、课堂小结：四、课堂练习：P72 1五、回顾反思：六、课外作业：1.设A=, 矩阵A的特征值为 ( ) A. 3和1 B. 3和1 C. 3和1 D. 3和12.设M= , 矩阵M的特征向量可以是