寒假数学培训资料(1).doc

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1、二00九寒假数学资料第一讲常用几何题解题技巧一、基本解题方法1怎样证线段（角）相等 等量代换 同一三角形证等腰 不同三角形证全等 利用特殊线段或角（如中垂线、角平分线、平行线等等） 联想构造（利用题中现有条件构造上述四种可能）2怎样证角为直角 直角三角形的判定 计算 证和一个已知的直角相等3怎样求线段长度和角的度数 几何问题代数化 勾股定理 比例线段 角应注意外角的运用4怎样证线段的“和差倍分”问题 “和差”问题常用“拆补法”，“倍分”问题常构建“分”或“倍”。5怎样证与平方有关的问题对于这类问题常构造直角三角形或把线段“搬”到同一直线上再利用下列性质： 勾股定理 射影定理 平方差公式 完全平

2、方公式6怎样证三角形中的不等问题对于这类问题常利用全等变换把有关线段“搬”到同一个三角形中运用三边间的关系求解。二、同步练习（一）基本技能训练1已知D、E、F分别是ABC的边BC、AB、AC上的点，且AE=AF，BE=CD，CF=CD，AB=4，AC=3，求ABC的面积。2已知ABC的三边长分别为a，b，c。且满足，试确定ABC的的形状。3如图，正方体的棱长为12，P为AE的中点，Q为BF上的任一点，问Q在什么位置时，PQ+QC最小？CBAEDF4已知，在ABC中，AB=AC，BAC=90，D是BC边上任一点，求证：。5如图，ABC中，ACB=90,AC=BC=12,AE为BC边上中线，过C点

3、作CFAE于F，过B作BDBC交CF的延长线于D，求BD的长。 6如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是斜边AB上的任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H，交AE于G，求证：BD=CG。7如图，在ABC中，D为BC延长线上一点，且DABA于A，求证：ACB=2B。8如图，在ABC中，BE、CF分别是AC，AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD，AC，求证：AG=AD。9如图，正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，MNDM交CBE的平分线于点N。 求证：MD=MN 若M不是AB中点，是AB边上任意一点，

4、问还有这个结论吗？请说明你的理由！10如图，已知点C在直线MN上，ACB=90，AMMN，BNMN，AC=BC，求证：MN=AM+BN。11如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC， ABE=CBE，CEBD的延长线于E，求证：BD=2EC。12如图，RtABC中，ABC=90，AB=BC，D为AC上一点，CFBD于F，AEBD交BD延长线于E，求证：CF=AE+EF。13已知：如图，ABC中，AB = AC，延长AB至D，使BD = AB，且E为AB的中点，连接CE，CD。求证： CD = 2CE14如图，在ABC中，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ

5、分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP。15如图，在ABC中，ABC=5ACB，BD与A的平分线垂直相交于H，DEBC，M为BC中点。求证：16如图，在ABC中，若ABAC，AM为BC边上的中线，AD为BC边上的高。求证：17如图，在等腰RtABC中，AB=AC，BAC的角平分线交BC于E，EFAC于F，FGAB于G，求证：18如图，D是等腰 RtABC中斜边上的任一点，求证：19如图，四边形ABCD中，ABC与BCD互为余角，若AD=m，BC=n。求。20已知CD为ABC中BC边上的高，且。求证：ABC为直角三角形。21在RtABC中，C=90，D点是AB的中点，E、F

6、分别在AC和BC边上，且EDF=90。求证：。22如图，在ABC中，C=90，AC=BC，D为BC边的中点，DEAB于E。求证：。23如图，在ABC中，C=90，CDAB于D。求证：。24如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，且MDN=90，若。求证：。25在等腰RtABC中，ACB=90， AC=BC，P、Q在斜边上，且PCQ=45。求证：。26如图，ABC中，ABAC，AD是BAC的角平分线，M是AD上的任意一点。求证：。27如图，ABC中，CP为外角ACE的角平分线，D是CP上的任意一点。求证：。27P为正ABC内的一点，PA=2，PB=，PC=4。求A

7、BC的边长。28如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，M为ABC内一点，且BA=BM，AM=CM。求ABM的度数。29在ABC中，AC=BC，ACB=80，O为ABC内一点，且OAB=10，ABO=30。 求ACO的度数。30在ABC中，AC=BC，ACB=90，O为ABC内一点，且OA=3，OC=2，OB=1，求COB的度数。（二）近几年与全等有关的竞赛题1 已知BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：AP=AQ，APAQ。2如图，ABC为正三角形，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB。求证：

8、PQR为等边三角形。3如图，在ABC中，已知A=90，AB=AC，BD是中线，AEBD于E，延长AE交BC于F。求证：ADB=CDF。4 如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，BE平分ABC，CEBE，求证：。5如图，在ABC中，AD为A的平分线，M为BC的中点，ADME，求证：。6如图，在ABC中，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP。7如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边ADBC。分别取AD、BC的中点M、N。求证：ABMN。8如图，在ABC中，D、E是AC、BC的中点，。

9、求证：GEAC； 求的比值。9如图，在ABC中，ABC=5ACB，BD与A的平分线垂直相交于H，DEBC，M为BC中点。求证：10如图，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF；过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P。设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证：DEM DFN PAE=PBF11如图，以ABC的AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，ADB=AEC=90，且使ABD=ACE，M是BC的中点。求证：DM=EM。12在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求证：。13已知ABC中，ACB=90，ABC=15，BC=1。求AC

10、的长。14已知一直角三角形的两条直角边长为整数，若它的周长是a，则它的面积也为 a，求这样的三角形。 15P为正ABC内的一点，PA=2，PB=，PC=4。求ABC的边长。16如图，已知四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数）用它们拼成两个直角三角形，且AB、CD是其中的两条线段，求x的取值，17如图，AC=BC，ACBC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE，若AB=，求BE的长。18如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，M为ABC内一点，且BA=BM，AM=CM。 求ABM的度数。第二讲因式分解一、 基本知识结构1 因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式称

11、之为因式分解注意： 因式分解的结果一定为乘积的形式， 在规定范围内分解到不能再分为止。2 因式分解的方法：因式分解的常用方法有： 提公因式法注：提公因式的关键是找准公因式，技巧是系数是多项式中所有项的系数的最大公约数，字母是所有项中相同字母的最低次幂，特别是互为相反数的量一般都看作同一个因式。 运用公式法注：A、平方差公式：a2b2（ab）（ab）B、完全平方公式： a22abb2（ab）2 ； a22abb2（ab）2。C、立方和、差公式：a3b3（ab）（a2abb2 ）；a3b3（ab）（a2abb2 ） 分组分解法注：A、分组分解法一般用在四项或四项以上；B、常用的分组方法是“二、二”

12、分组和“一、三”分组，“一、三”分组中的“三”一般为完全平方式；C、分组后要运用的知识有：提公因式或运用公式,一三分组常用完全平方公式和平方差公式 十字相乘法注：一般由三个部分组成，并按某字母的升幂或降幂排列。二、 基本技能演练A组下列变形是因式分解的是（ ） A、（x2）（x2）x24 B、x29x（x3）（x3）x C、3x25x2x（x2）x2x D、a22abb2（a - b）2 2把下列各式分解因式： 8a3b212ab3c ； 4m316m226m ； x2yxy2xy ； 3a（xy）36ab（yx）2 ； a2 x n2abx n1acx nax n3 。 9x24y2 ； m

13、4n4_。 16（ab）29（ab）2 a236b212ab ；x2x ； 4m212m9 ；4a212a(b1)9(b1)2 。 解答下列各题 4a2_9b2（2a3b）2 9m2_16n2（3m4n）2 x26x_（x_）2 4a212ab_（2a_）2 若a2mab9b2是完全平方式，则m的值为 。 若x22（m3）x16是完全平方式，则m的值为_。 ( 2a3b )2 ( 2a3b )2。 设实数x、y满足 x24y22x4y20，则x 2 y2xy的值为 。 把下列各式分解因式： 3x36x2x2 ； （xy）3xy ； a22abb2c2 ； 1m2n22mn ； 2aba2b24

14、 ； 4(1b2ab)a2 ； (a2b2c2)24a2 b2 ； 把下列各式分解因式： x22x3 ；x25x6 ； x42x23 ； （ab）24（ab）3 ；（x22x）27（x22x）8 ； 2x215x7 ； 126a225a4 ； 8x22xy3y2 ； 2x25xy12y2 ； abx2（adbc）xcd ； a2x2（1a2）x1 ； 把下列各式分解因式 4x4y213x2y29y2 ；（x25x）236 ； x22yx28y4 ；（a2x2y2）24x2y2 ；B组 解答下列各题 已知ab3，ab5,则 a2b2 的值为_。 已知x3，则x 2 x 2 的值为_，x4x 4

15、的值为 。 设实数a、b、c满足a22a | b2 |10，求的值。 无论x、y为何值，代数式x2y22x12y40都有最 值，这个值为 。 解答下列各题 证明：81727 99 13 能被45整除。 证明：3 n + 22 n23 n2 n 一定是10的倍数（n为自然数）。 已知(x1)(x3)(x4)(x8)m是完全平方式，求m的值。 已知ab3, ac4，求a2b2c2abbcac 的值。 已知x2k2x15可分解为（x3）（x5）, 求k的值。 已知x2ax12可分解为（xm）（xn）,（m, n为整数），求a的值。 已知ax2bxc分解的结果为（2x +3）(7x-1)，求a、b、c

16、的值。求n（n1）（n3）（n2）1的算术平方根，并计算的值。 把下列各式分解因式（3ab22b）25（3ab22b）6 （b2b3）（b2b5）3 （x3）（x4）（x1）（x2）14 （ab2ab）（ab2）（12ab）2 2x2xy6y23x8y2 x23x2xyy23y40 x44 4x41 x36x7 x33x24 4x24xy3y24x10y3 （x1）（x2）（x3）（x4）120C组一、分解因式 二、解答下列各题 已知n=（被墨水所污，只知道为一个正整数），求代数式的值。现有以下四个答案：A、388944B、388945C、388954D、388948。你认为正确的应是那个数，

17、并说明理由。 若a为正整数，且表示质数。求这个质数。 已知，求的值。 已知a、b、c、d为正整数，且，求的值。 试判断方程的正整数解的个数。 一个正整数a恰好等于另一个正整数b 的平方，则称a为完全平方数，试说明 n为正整数，证明： 计算： 第三讲因式分解的推广应用（一） 分解方法的延拓换元法与主元法 因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法 一些复杂的因式分解问题常用到换元法和主元法 所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减

18、少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构例题精讲【例1】 分解因式：= 思路点拨 视为一个整体用一个新字母代替，从而能简化式子的结构【例2】 多项式因式分解后的结果是( ) A(yz)(x+y)(xz) B(yz)(xy)(xz) C (y+z)(x一y)(x+z) D(y十z)(x+y)(x一z) 思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分

19、解的突破口 【例3】把下列各式分解因式： (1)(x+1)(x2)(x+3)(x+6)+ x2； (2)1999x2一(19992一1)x一1999； (3)(x+y2xy)(x+y2)(xy1)2； (4)(2x3y)3十(3x2y)3125(xy)3 思路点拔 (1)是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系 【例4】把下列各式分解因式： (1)a2(b一c)+b2(ca)+c2 (a一b)

20、； (2)x2+xy2y2x+7y6 思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解 【例5】证明：对任何整数 x和y，下式的值都不会等于33 x5+3x4y5x3y2一15x2y3+4xy4+12y5 思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有： （1）按字母分组；(2 ) 按次数分组； (3)

21、按系数分组为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果： 同步练习1分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)8 2分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12= 3分解因式：x2xy2y2xy= 4已知二次三项式在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为 5将多项式分解因式，结果正确的是（ ） A BC D 6下列5个多项式：； ； 其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ） A、 B、 、 C 、 D、7下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( ) A B CD8若，则的值为( ) A B C D0 9分解因式（1）(x2

22、+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2； (2)(2x23x+1)2一22x2+33x1； （3）x4+2001x2+2000x+2001； (4)(6x1)(2 x1)(3 x1)( x1)+x2； (5)； (6) 10分解因式：= 11分解因式：= 12分解因式：= 13在1100之间若存在整数n，使能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n有 个14的因式是( ) A B C D E15已知，M=，N=，则M与N的大小关系是( ) AM N CMN D不能确定16把下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3)； (4) ； (5)17已知乘法公式： ； 利用或者不利用上述公

23、式，分解因式：18已知在ABC中，(a、b、c是三角形三边的长) 求证： （二） 分解方法的延拓配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式 对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是： 1根据多项式次数关系，假设一个含待定系

24、数的等式； 2利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组； 3解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解例题精讲【例1】分解因式：= 思路点拨 直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配 注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用【例2】如果有两个因式x+1和x+2，则

25、a+b( )A7 B8 C15 D2l思路点拨 原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故可考虑用待定系数法解 【例3】把下列各式分解因式： (1) （2）； (3)； (4) 思路点拨 所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解 【例4】为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积?思路点拨 因为二次项系数，故不宜从二次项入手，而，可得多项式必为的形式 【例5】 如果多项式能分解成两个一次因式、的乘积(b、c为整数)，则a的值应为多少? 思路点拨 由待定系数法得到关于b、c、a的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b、c、a的值同步练习1(

26、1)完成下列配方问题： （2）分解因式：的结果是 2若有一个因式是x+1，则 3若是完全平方式，则= 4已知多项式可以i分解为的形式，那么 的值是 5已知，则的值为( ) A3 B C D6如果 a、b是整数，且是的因式那么b的值为( ) A2 Bl C0 D27d分解因式的结果是（ ） A B C D8把下列各式分解因式： (1) ； （2）； (3) ；（4）； (5) ； （6）9已知是的一个因式，求的值10已知是多项式的因式，则 11一个二次三项式的完全平方式是，那么这个二次三项式是 12已知，则= 13已知为正整数，且是一个完全平方数，则的值为 14设m、n满足，则=( ) A(2，

27、2)或(2，2) B(2，2)或(2，2) C(2，2)或(2，2) D(2，2)或(2，2)15将因式分解得( ) A B C D16若 a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是( ) A若，则 B若，则 C若，则 D若，则17把下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 18已知关于x、y的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求m的值19证明恒等式： 20一个自然数a若恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数如6482，64就是一个完全平方数，已知a20092+20092 20102十20102，求证：a是一个完全平方数 （三） 因式分解

28、的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础 因式分解是代数变形的重要工具在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高 因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一例题精讲 【例1】若，则的值为 思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于的二次三项式注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素在军事、政治、

29、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用 代数式求值的常用方法是： (1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值 【例2】已知 a、b、c是一个三角形的三边，则的值( ) A恒正 B恒负C可正可负D非负 思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束 【例3】计算下列各题： （1）； （2） 思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律

30、 【例4】已知 n是正整数，且n416n2+100是质数，求n的值 思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路 【例5】(1)求方程的整数解；(2)设x、y为正整数，且，求的值思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口链接： 解题思路的获得，一般要经历三个步骤： (1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等； (2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等； (3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构不定方

31、程(组)的基本解法有： (1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识同步练习 1已知x+y3，那么的值为 2方程的整数解是 3已知a、b、c、d为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d 4对一切大于2的正整数n，数n5一5n3+4n的量大公约数是 5已知7241可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A41，48 B45，47 C43，48 D4l，476已知2x23xy+y20(xy0)，则的值是( ) A 2， B2 C D2，7a、b、c是正

32、整数，ab，且a2-ac+bc=7，则ac等于( ) A一2 B一1 C0 D 2 8如果，那么的值等于( ) A1999 B2001 C2003 D2005 9(1)求证：8l7一279913能被45整除； (2)证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差； （3）计算：10若a是自然数，则a43a+9是质数还是合数?给出你的证明 11已知a、b、c满足a+b5，c2ab+b9，则c 12已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，则(a+1)(b+1)(c+1)= 13整数a、b满足6ab9al0b+303，则a+b= 14已知，且，则的值等

33、于 15设abcd，如果x=(ab)(cd)，y=(a+c)(b+d)，z(a+d)(b+c)，那么x、y、z的大小关系为( ) Axyz B yzx Cz xy D不能确定16若x+y=1，则的值等于( ) A0 B1 C1 D 3 17已知两个不同的质数p、q满足下列关系 ：，m是适当的整数，那么的数值是( ) A4004006 B3996005 C3996003 D400400418设n为某一自然数，代入代数式n3n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果其中正确的结果是( ) A5814 B5841 C8415 D845l 19求证：存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数20某校在向

34、“希望工程”捐救活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数 21已知b、c是整数，二次三项式x2+bxc既是x4+6x2+25的一个因式，也是x3+4x2+28x+5的一个因式，求x1时，x2+bxc的值22按下面规则扩充新数： 已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，每扩充一个新数叫做一次操作现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由