（考点梳理 考点自测 真题举例）高考总复习数学（理） 三角函数解三角形.doc

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1、第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切考点梳理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式C()：cos()cos cos sin sin .C()：cos()cos_cos_sin_sin_.S()：sin()sin cos cos sin .S()：sin()sin_cos_cos_sin_.T()：tan().T()：tan().2在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如T()可变形为：tan tan tan()(1tan_tan_)，tan tan 11.3函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos()，其中可由

2、a，b的值唯一确定【助学微博】一个命题规律本讲在高考中主要考查三角函数式的化简、求值和恒等式证明，以客观题为主，难度一般不大，有时以向量为载体，以本讲内容为工具进行考查在三角式化简、求值后，进而研究三角函数的性质，是解答三角函数类试题的必要基本功，要求准确、迅速化到最简两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目

3、标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等考点自测1(2012宿迁联考)已知0，cos，则tan _.解析由0，得，所以sin，tan，tan tan.答案2(2012苏北四市调研)已知cos，则cos _.解析因为，所以，所以sin，cos coscoscos sinsin .答案3(2012苏州检测)函数f(x)coscos的最小正周期为_解析因为f(x)coscossin xsin 2xsin2 xcos，所以最小正周期为T.答案4(2012镇江统考)在等式tan 95tan 35tan 95tan 35中，根号下的表示的正整数是_解

4、析由tan 95tan 35tan 95tan 35，得tan 60，所以表示3.答案35(2012南京市、盐城市三模)已知sinsin ，0，则cos _.解析由sin cos sin sin cos ，得sin.又0，所以，所以cos.因此cos coscossin.答案考向一三角函数式的化简、求值【例1】 (1)化简(0)；(2)求值：sin 10；(3)求值：tan 20tan 40tan 20tan 40.解(1)原式.因为0，所以0，所以cos 0，所以原式cos .(2)原式sin 10sin 10sin 10.2cos 10.(3)tan 60tan(2040)，tan 20t

5、an 40tan 20tan 40，tan 20tan 40tan 20tan 40.方法总结 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值【训练1】 (1)化简：；(2)求2sin 50sin 10(1tan 10)的值解(1)法一原式tan .法二利用三角函数的其他公式原式tan .(2)原式sin 80cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.考向

6、二三角函数式的给值求值【例2】 (2012苏北四市质检)已知向量a(4,5cos )，b(3，4tan )，若ab，求：(1)|ab|；(2)cos的值解(1)因为ab，所以ab0，所以435cos (4tan )0，所以sin .由于，所以cos ，tan ，从而a(4,4)，b(3，3)，所以ab(7,1)，从而|ab|5.(2)由(1)得sin ，cos ，所以coscos cossin sin.方法总结 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系【训练2】 (1)已知，

7、sin ，tan()，求cos 的值(2)已知sin(2)，sin ，且，求sin 的值解(1)，又tan()0，0.1tan2().cos()，sin().又sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin().(2)，22.又0，0.20，22，cos(2).又0)的定义域为，值域为1,4(1)求m，n的值；(2)若f(x)2，求x的值解(1)f(x)m(1cos 2x)msin 2xn2mcosmn.因为x，所以2x，cos.因为m0,2mcos2m，m，所以f(x)max2mn4，f(x)minmn1，m1，n2.(2)由(1)可知，m0时，f(x)2cos32.

8、所以cos，所以x.方法总结 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好【训练3】 (1)已知cos ，cos()，且0，求.(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值解(1)0，0，sin .又cos()，sin()，cos cos()cos cos()sin sin().又00，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.考向四应用和(差)角公式研究三角函数的性质【例4】 (2012徐州考前信息卷)已知

9、函数f(x)sin2sin2.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；(2)求函数f(x)的最小正周期；(3)若x，求函数f(x)的值域解(1)f(x)为偶函数f(x)sin2sin2sin2sin2f(x)，(xR)，f(x)为偶函数(2)f(x)111cos 2x，f(x)的最小正周期为T.(3)x，2x，所以cos 2x，即f(x).故f(x)的值域为方法总结 研究函数f(x)Asin(x)的图象和性质，先要应用有关公式化归到这一类型，特别地，要熟悉f(x)asin xbcos xsin(x)(是特殊角)【训练4】 (2012青岛模拟)设函数f(x)cos2sin2(x)a.(1)求

10、函数f(x)的最小正周期；(2)若a，求函数yf(x)的单调递减区间解(1)f(x)cos2sin2(x)acos 2xcos sin 2xsin 2sin2 xacos 2xsin 2x(1cos 2x)asin 2xcos 2x1asin1a，所以f(x)的最小正周期为.(2)当a时，f(x)sin，f(x)sinsin.于是由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以yf(x)的单减区间是(kZ)方法优化1三角函数式中公式的正用与逆用在三角函数式中求值或化三角函数式为正弦型和余弦型函数，选用三角公式时可以根据需要进行正用与逆用，特别是逆用，要能真正把握，灵活应用【示例】 (2012安徽

11、)设函数f(x)cossin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意xR，有gg(x)，且当x时，g(x)f(x)，求g(x)在区间，0上的解析式教你解题 正用公式将cos展开，逆用公式将sin2x降幂一般解法(1)f(x)cossin2xsin2xcos 2xsin 2xsin2x(cos2xsin2x)sin xcos xsin2x(cos2xsin2x)sin xcos xsin 2x.故f(x)的最小正周期为.(2)当x时，g(x)f(x)sin 2x.当x时，x，g(x)gsinsin(2x)sin 2x.当x时，x.g(x)g(x)sin2(x)sin 2x.

12、综上，得g(x)优美解法(1)f(x)sinsin2xsin 2x.故f(x)的最小正周期为.(2)同上面的解法高考经典题组训练1(2012重庆卷改编)设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan ()的值为_解析由根与系数关系知而tan()3.答案32(2012大纲全国卷)当函数ysin xcos x(0x2)取得最大值时，x_.解析ysin xcos x2sin，由0x2得x，当x，即x时函数取得最大值答案3(2011浙江卷改编)若0，0，cos，cos，则cos_.解析coscoscoscossinsin，0，则，sin.又0，则0，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2

13、)设，f，f，求cos()的值解(1)由已知得10，.(2)f(x)2cos，f2cos2sin ，f2cos2cos .又f，f，sin ，cos .又，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1(2011宿迁联考)已知tan，则tan _.解析tan tan.答案2(2012日照调研)已知cos ，且，则tan_.解析由条件得sin ，所以tan ，tan.答案3若cos()，cos()，则tan tan _.解析由cos cos sin sin ，cos cos sin sin

14、 ，解得cos cos ，sin sin ，所以tan tan .答案4若sin ，则cos_.解析因为，sin ，所以cos ，所以cos(cos sin ).答案5已知向量a，b(4,4cos )，若ab，则sin_.解析ab4sin4cos 2sin 6cos 4sin0，所以sin.所以sinsin.答案6(2012盐城市二模)函数f(x)sin 2xsin cos 2xcos在上的单调递增区间为_解析f(x)cos，当x时，2x，于是由2x，0，得f(x)在上的单调增区间为.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7已知A，B，C是ABC的内角，向量m，n，满足|mn|.(1)求角A

15、的大小；(2)若sin Bsin Csin A，试判断ABC的形状解(1)由|mn|，得m2n22mn3，即1123，所以cos A，又0A，所以A.(2)因为sin Bsin Csin A，所以sin Bsin，即sin Bcos B，sin，又0B，所以B或，所以B或.因此B时，C；B时，C.故ABC为直角三角形8已知向量a(m，sin 2x)，b(cos 2x，n)，xR，f(x)ab，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和.(1)求m，n的值；(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x上的最小值；(3)若f，时，求tan的值解(1)f(x)mcos 2xnsin 2x，因为f(0)

16、1，所以mf1，所以nm1，n1.(2)f(x)cos 2xsin 2xsin，所以f(x)的最小正周期为.因为x，所以2x，所以当x0或x时，f(x)取最小值1.(3)因为f，所以cos sin ，即sin，又，故，所以cos，所以tan.分层训练B级创新能力提升1(2011苏州调研)已知tan ，tan ，且，(0，)，则2_.解析tan 2，所以tan(2)1.tan 1，(0，)，同理，2，所以2.答案2若sin sin 1，cos cos ，则cos()的值为_解析由sin sin 1得：sin22sin sin sin21.由cos cos 得：cos2 2cos cos cos2

17、.得112(cos cos sin sin )2，即2cos()，所以cos().答案3(2012南京高三第二次调研)计算：_.解析.答案4(2012南通高三第二次调研)已知1，tan()，则tan_.解析由1，得2tan 1，即tan ，所以tan(2)tan()1.答案15(1)已知0，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值思维启迪(1)拆分角：，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦(2)2()；().解(1)0，0，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.探究提高(1)注意变角，可先求cos 或sin 的值(2)先由tan ta

18、n()，求tan 的值，再求tan 2的值，这种方法的优点是可确定2的取值范围(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好(4)解这类问题的一般步骤：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角6在ABC中，A、B、C为三个内角，f(B)4cos Bsin2cos 2B2cos B.(1)若f(B)2，求角B；(2)若f(B)m2恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(B)4cos Bcos 2B2cos

19、 B2cos B(1sin B)cos 2B2cos B2cos Bsin Bcos 2Bsin 2Bcos 2B2sin.f(B)2，2sin2，0B，2B.B.(2)f(B)m2恒成立，即2sin2m恒成立2sin2,2，2m2.m4.第6讲二倍角、简单的三角恒等变换考点梳理1二倍角公式S2：sin 22sin_cos_.C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2.T2：tan 2.2升幂、降幂公式1cos 2cos2,1cos 2sin2.cos2，sin2.3半角公式(1)用cos 表示sin，cos，tan.(半角公式不要求记忆)sin；cos；tan .(2)用sin

20、 ，cos 表示tan.(半角化单角)tan.【助学微博】一个关系在公式S()，C()，T()中，令，则可得公式S2，C2，T2.在公式S2，C2中角没有限制，在T2中，只有当且k(kZ)时，公式才成立一个命题趋势本讲在高考中主要考查三角公式的灵活运用，利用公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象与性质解题在主、客观题中出现的可能均有，难度以容易和中档题为主，主要考查基本技能和基本方法考点自测1(2013扬州调研)已知cos，则cos 2_.解析cossin ，即sin ，所以cos 212sin2122.答案2(2013菏泽模拟)已知sin 2，且，则sin4cos4的值为_解

21、析sin4cos4sin2cos2cos 2.答案3已知sin()，且是第二象限角，那么sin 2_.解析sin ，为第二象限角，cos ，所以sin 22sin cos .答案4(2012苏州调研)已知tan x，则tan 2x_.解析由tan x，可得，所以tan 2x.答案5(2012苏州第一次调研)已知，3sin 22cos ，则cos()_.解析由3sin 22cos ，得6sin cos 2cos .由，得cos 0，sin ，cos()cos .答案考向一应用二倍角公式解决化简问题【例1】 (1)化简：；(2)已知，tan .求的值解(1)sin 50(1tan 10)sin 5

22、01cos 80sin 10sin210原式.(2)tan ，3tan210tan 30，解得tan 3或tan .又，tan .又.方法总结 (1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分(2)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂【训练1】 已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1(xR)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值解由f(x)2sin xcos x2cos2x1，得f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin.f(x0)2sin.又因为f(x0)，

23、所以sin.由x0，得2x0.从而cos .所以cos 2x0coscoscos sinsin 考向二应用二倍角公式解决给值求值问题【例2】 (1)(2012常州中学月考)设，sin，求的值(2)(2012南京二模)设向量a(2，sin )，b(1，cos )，为锐角若ab，求sin cos 的值；若ab，求sin的值解(1)法一由，得0.由于，所以0，所以sin 2，cos 2.所以sinsin 2coscos 2sin.考向三以三角恒等变换为工具研究三角函数性质【例3】 (2012苏北四市第二次质检)已知函数f(x)sinsinsin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)在ABC中，

24、若f1，求sin Bsin C的最大值解(1)因为f(x)sinsinsin xcos xcos 2xsin 2xsin，所以f1.(2)因为f1，所以fsin1.因为0A，所以A，即A.sin Bsin Csin Bsinsin Bcos Bsin.因为0B，所以B，00)的最小正周期为.(1)写出函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的取值范围解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin.因为T，所以(0)，所以2，f(x)sin.于是由2k4x2k，解得x(kZ)所以f(x)的增区间为(kZ)(2)因为x，所以4x，所以sin，所以f(x).故f(x)在区

25、间上的取值范围是.方法优化2二倍角公式的正用与逆用在高考三角函数题中，正用和逆用二倍角公式，将三角函数式化为正弦型或余弦型函数，是研究三角函数性质问题的基本解题途径其中遇到平方先降幂，是逆用二倍角余弦公式的典型技巧之一【示例】 (2012四川卷)已知函数f(x)cos2sincos.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f()，求sin 2的值教你解题 逆用三角有关公式将三角函数式化为正弦型或余弦型函数式，再求解一般解法(1)f(x)cos2sincos(1cos x)sin x(cos xsin x)sin，所以f(x)的最小正周期为2，值域为.(2)由(1)知f()sin，所以s

26、in，即sin cos ，sin cos ，所以(sin cos )2，即1sin 2，所以sin 2.优美解法(1)f(x)sincos(cos xsin x)cos，所以T2，f(x).(2)由(1)得f()cos，所以cos，sin 2cos12cos21.高考经典题组训练1(2012江西卷改编)若，则tan 2_.解析由，得tan 3，所以tan 2.答案2(2012江苏卷)设为锐角，若cos，则sin的值为_解析因为是锐角，cos，所以sin，所以sin2sincos，cos，所以sinsin.答案3(2012北京卷)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f

27、(x)的单调递减区间解(1)由sin x0，得xk(kZ)故f(x)的定义域为xR|xk，kZ因为f(x)2cos x(sin xcos x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1sin1.所以f(x)的最小正周期T.(2)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递减区间为(kZ)4(2012湖北卷)设函数f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域解(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos x

28、cos 2xsin 2x2sin.因为直线x是yf(x)图象一条对称轴，所以cos1，所以2k，即，kZ.因为，kZ，所以k1，.故f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin，即，所以f(x)2sin.故函数f(x)的值域为2，2分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1(2011大纲全国卷)已知，sin ，则tan 2_.解析由，sin ，得cos ，tan ，所以tan 2.答案2若，则cos sin 的值为_解析由(sin cos )，得sin cos .答案3已知函数f(x)cos2sin2sin x

29、，若x0且f(x0)，则cos 2x0_.解析f(x)cos xsin xsin，由f(x0)，得sin.又x0，所以x0，所以cos，所以cos 2x0sin2sincos.答案4(2012南京29中月考)已知钝角满足cos ，则tan的值为_解析因为cos 2cos21，所以cos2.又，所以cos，sin，tan2，所以tan3.答案35(2012河南三市调研)函数ysincos x的最小值是_解析ysincos xcos xsin xcos xcos2xsin 2xsin，最小值为.答案6已知sin 2sin ，tan 3tan ，则cos 2_.解析由sin24sin2，tan29t

30、an2相除，得9cos24cos2，所以sin2 9cos24sin24cos24，所以cos2，cos 22cos21.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7(2011北京卷)已知函数f(x)4cos xsin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)4cos xsin14cos x1sin 2x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期为.(2)因为x，所以2x.于是，当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取得最小值1.8已知函数f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的

31、最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值解(1)因为f(x)sinsin xcos xsin x2sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为g(x)f2sin2sin，且x0，所以x，所以当x，即x时，g(x)取最大值2；当x，即x时，g(x)取最小值1.分层训练B级创新能力提升1(2011福建卷改编)若，且sin2cos 2，则tan _.解析由sin 2cos 2sin212sin21sin2，得cos2.又，所以cos ，tan .答案2函数f(x)14sin xcos x4cos2x4cos4x的值域为_解析f(x)12sin 2x4cos2x(1cos2x)12sin 2x4cos2xsin2x12sin 2xsin22x(1sin 2x)2因为sin 2x1,1，所以f(x)0,4答案0,43已知1，tan()，则tan(2)等于_解析由1得1，tan ，从而tan(2)tan()1.答案14(2012南通调研)在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，1)，B(3，4)两点，若点C在AOB的平分线上，且|，则点C的坐标是_解析如图，290，sin ，cos ，所以sin(902).即cos 2，从而2cos21，cos ，sin .所以tan()3.所以直线OC的方程为y3x，于是