2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(共26页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为（）A3B6C8D102（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A12种B10种C9种D8种3（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1Ap

2、2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p44（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（ab0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）ABCD5（5分）已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10=（）A7B5C5D76（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N2）和实数a1，a2，an，输出A，B，则（）AA+B为a1，a2，an的和B为a1，a2，an的算术平均数CA和B分别是a1，a2，an中最大的数和最小的数DA和B分别是a1，a2，an中最小的数和最大的数7（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某

3、几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D188（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）ABC4D89（5分）已知0，函数f（x）=sin（x+）在区间，上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD（0，210（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）ABCD11（5分）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）ABCD12（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A1

4、ln2BC1+ln2D二填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）已知向量夹角为45，且，则=14（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x2y的取值范围为15（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为16（5分）数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的

5、对边，c=asinCccosA（1）求A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c18（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；

6、（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由19（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小20（12分）设抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若BFD=90，ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值21（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f（1）ex1f（0）

7、x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22（10分）如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点，若CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD23选修44；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P

8、为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围24已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2012新课标）已知集合A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为（）A3B6C8D10【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中

9、所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D2（5分）（2012新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A12种B10种C9种D8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有

10、1种选法故不同的安排方案共有261=12种故选 A3（5分）（2012新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p4【分析】由z=1i，知，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，由此能求出结果【解答】解：z=1i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，故选C4（5分）（2012新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（ab0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）ABCD【分析】利用F2P

11、F1是底角为30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=上一点故选C5（5分）（2012新课标）已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10=（）A7B5C5D7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=8a4=4，a7=2或a4=2，a7=4当a4=4，a7=2时，a1=8，a10=

12、1，a1+a10=7当a4=2，a7=4时，q3=2，则a10=8，a1=1a1+a10=7综上可得，a1+a10=7故选D6（5分）（2012新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N2）和实数a1，a2，an，输出A，B，则（）AA+B为a1，a2，an的和B为a1，a2，an的算术平均数CA和B分别是a1，a2，an中最大的数和最小的数DA和B分别是a1，a2，an中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，an中最大的数和最小的数【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该

13、程序的作用是：求出a1，a2，an中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，an中最大的数，B为a1，a2，an中最小的数故选：C7（5分）（2012新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=633=9故选B8（5分）（2012新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4

14、，则C的实轴长为（）ABC4D8【分析】设等轴双曲线C：x2y2=a2（a0），y2=16x的准线l：x=4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，能求出C的实轴长【解答】解：设等轴双曲线C：x2y2=a2（a0），y2=16x的准线l：x=4，C与抛物线y2=16x的准线l：x=4交于A，B两点，A（4，2），B（4，2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，a=2，2a=4故选C9（5分）（2012新课标）已知0，函数f（x）=sin（x+）在区间，上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD（0，2【分析】法一：通过特殊值=2、=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果法二：可以

15、通过角的范围，直接推导的范围即可【解答】解：法一：令：不合题意 排除（D）合题意 排除（B）（C）法二：，得：故选A10（5分）（2012新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）ABCD【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g（x）=g（x）在（1，0）上为增函数，在（0，+）上为减函数g（x）g（0）=0f（x）=0得：x0或1x0均有f（x）0排除A，C，又f（x）=中，能排除D故选 B11（5分）（2012新课标）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1

16、的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）ABCD【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABCCO1=，OO1=，高SD=2OO1=，ABC是边长为1的正三角形，SABC=，V三棱锥SABC=故选：C12（5分）（2012新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A1ln2BC1+ln2D【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关

17、于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求【解答】解：函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x0），则，由0可得xln2，由0可得0xln2，函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在ln2，+）单调递增，当x=ln2时，函数g（x）min=1ln2，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为故选B二填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）（2012新课标）已知向量夹角为45，且，则=3【分析】由已知可得，

18、=，代入|2|=可求【解答】解：，=1=|2|=解得故答案为：314（5分）（2012新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x2y的取值范围为【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x2yz=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x2yz=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）Zmax=3，Zmi

19、n=3则z=x2y3，3故答案为：3，315（5分）（2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：

20、三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A=超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，B=超过1000小时时，元件3正常C=该部件的使用寿命超过1000小时则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=故答案为16（5分）（2012新课标）数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为1830【分析】由题意可得 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a

21、8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，利用数列的结构特征，求出an的前60项和【解答】解：an+1+（1）n an=2n1，有a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152

22、+（158+）=1830，故答案为：1830三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2012新课标）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinCccosA（1）求A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinCsinCcosAsinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c【解答】解：（1）c=asinCccosA，由正弦定理有：sinAsinCsinCcosAsinC=0，即sinC（sinAcosA1）=0，又，sinC0，所以sinAcosA1=0，即2sin（A）=1，所以A

23、=；（2）SABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即4=b2+c2bc，即有，解得b=c=218（12分）（2012新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店

24、一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论【解答】解：（1）当n16时，y=16（105）=80；当n15时，y=5n5（16n）=10n80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=

25、15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=10.10.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=600.1+700.2+800.7=76DX=1620.1+620.2+420.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14535）0.1+（15525）0.2+（16515）0.16+1750.54=76.476.476，应购进17枝19（12分）（2012新课标）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小

26、【分析】（1）证明DC1BC，只需证明DC1面BCD，即证明DC1DC，DC1BD；（2）证明BC面ACC1A1，可得BCAC取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且C1DO是二面角A1BDC1的平面角，由此可求二面角A1BDC1的大小【解答】（1）证明：在RtDAC中，AD=AC，ADC=45同理：A1DC1=45，CDC1=90DC1DC，DC1BDDCBD=DDC1面BCDBC面BCDDC1BC（2）解：DC1BC，CC1BC，DC1CC1=C1，BC面ACC1A1，AC面ACC1A1，BCAC取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C

27、1O，OHA1C1=B1C1，C1OA1B1，面A1B1C1面A1BD，面A1B1C1面A1BD=A1B1，C1O面A1BD而BD面A1BDBDC1O，OHBD，C1OOH=O，BD面C1OHC1HBD，点H与点D重合且C1DO是二面角A1BDC1的平面角设AC=a，则，sinC1DO=C1DO=30即二面角A1BDC1的大小为3020（12分）（2012新课标）设抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若BFD=90，ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只

28、有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值【分析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由ABD的面积SABD=，知=，由此能求出圆F的方程（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值【解答】解：（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，ABD的面积SABD=，=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），圆F的方程为x2+（y1）2=8（2）由题设，则，A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离

29、的比值为21（12分）（2012新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f（1）ex1f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1令x=0，得f（0）=f（1）e1=1解得f（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f（x）=ex1+xg（x）=ex+10，由此知y=g（x）在xR上单调递增当x

30、0时，f（x）f（0）=0；当x0时，有f（x）f（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+），单调递减区间为（，0）（2）得h（x）=ex（a+1）当a+10时，h（x）0y=h（x）在xR上单调递增，x时，h（x）与h（x）0矛盾当a+10时，h（x）0xln（a+1），h（x）0xln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）（a+1）ln（a+1）b0，即（a+1）（a+1）ln（a+1）b（a+1）b（a+1）2（a+1）2ln（a+1），（a+10）令F（x）=x2x2lnx（x0），则F（x）=x（12lnx）当时，即当时，（a+1）b的最大值为四、请考生在

31、第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22（10分）（2012新课标）如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点，若CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD【分析】（1）根据D，E分别为ABC边AB，AC的中点，可得DEBC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得BCDGBD【解答】证明：（1）D，E分别为ABC边AB，AC的中点DFBC，AD=DBABCF，四边形BDFC是平行四边形CFBD，CF=BDCFAD，CF=AD四边形ADCF是平行四边形AF=C

32、D，BC=AF，CD=BC（2）由（1）知，所以所以BGD=DBC因为GFBC，所以BDG=ADF=DBC=BDC所以BCDGBD23（2012新课标）选修44；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出

33、P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2sin20，1t32，5224（2012新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于2xa2x在1，2上恒成立，由此求得求a的取值范围【解答】解：（1）当a=3时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，或，或解可得x1，解可得x，解可得x4把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1或x4（2）原命题即f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x在1，2上恒成立故当 1x2时，2x的最大值为21=3，2x的最小值为0，故a的取值范围为3，0专心-专注-专业