变化的快慢与变化率.docx

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1、变化的快慢与变化率平均改变率 课题：平均改变率教学目标：1.通过大量实例的分析，经验由平均改变率过渡到瞬时改变率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。2.通过函数图像直观地导数的几何意义。3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法。教学重难点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。导数的几何意义教学过程：一、问题情境1、情境：某市2022年4月20日最高气温为33.4，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4和18.6，短短两天时间，气温陡增14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” 时间4月18日4月19日4月20日日

2、最高气温18.624.433.4 该市2022年3月18日到4月18日的日最高气温改变曲线:问题1：你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？问题2：分别计算AB、BC段温差结论：气温差不能反映气温改变的快慢程度问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？曲线AB、BC段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？ (1)连结BC两点的直线斜率为kBC= 二、建构数学一般地,函数f(x)在区间x1，x2上的平均改变率为： 说明：(1)平均改变率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均改变率的“视觉化”(2)用平均改变率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应留意当x2

3、x1很小时，这种量化便由“粗糙”靠近“精确”。 例1、某婴儿从诞生到第12个月的体重改变如图所示，试分别计算从诞生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均改变率；由此你能得到什么结论？ (1)1kg/月(2)0.4kg/月结论：该婴儿从诞生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问：（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？图1图2 例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积（单位：）计算第一个10s内

4、V的平均改变率。 解:在区间0,10上，体积V的平均改变率为 注：负号表示容器甲中水在削减 变式1：一底面半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥容器，若以ncm3/s的速率向容器里注水，求注水前ts容器里水的体积的平均改变率.解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3由题意知V=nt，在0,t内容器里水的体积的平均改变率为: 由此可见当t越来越大时，容器里水的体积的平均改变率保持不变。 例3、已知函数，分别计算在下列区间上的平均改变率：（1）1，3；（3）1，1.1；（2）1，2；（4）1，1.001。(1)函数f(x)在1,3上的平均改变率为4(2)函数f(x)在1,2上的平均改变率为3(3)函数

5、f(x)在1,1.1上的平均改变率为2.1(4)函数f(x)在1,1.001上的平均改变率为2.001 例3引申：已知函数问题(1)求函数在1,a(a1)上的平均改变率；(1)函数在1,a(a1)上的平均改变率为a+1 问题(2)当a趋近于1时，函数在1,a上的平均改变率有何趋势？(2)当a趋近于1时，函数在1,a上的平均改变率趋近于2 求函数y=f(x)在区间x1，x2上的平均改变率的步骤： 小结：问题1：本节课你学到了什么？函数的平均改变率的概念；利用平均改变率来分析解决实际问题问题2、解决平均改变率问题须要留意什么？分清所求平均改变率类型(即什么对象的平均改变率)两种处理手段：(1)看图

6、(2)计算问题3、本节课体现了哪些数学思想方法？数形结合的思想方法从特别到一般、从详细到抽象的推理方法 改变率问题 3.1.1改变率问题教学目标知道平均改变率的定义。会用公式来计算函数在指定区间上的平均改变率。教学重点：平均改变率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均改变率。教学过程：情景导入：展示目标:知道平均改变率的定义。会用公式来计算函数在指定区间上的平均改变率。检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度

7、h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?沟通展示：学生沟通探究结果,并完成学案。精讲精练：例1过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率. 例2已知函数，分别计算在下列区间上的平均改变率：（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001有效训练练1.某婴儿从诞生到第12个月的体重改变如图所示，试分别计算从诞生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均改变率.练2.已知函数，分别计算在区间-3，-1，0，5上及的平均改变率.反思总结1.函数的平均改变率是2.

8、求函数的平均改变率的步骤：（1）求函数值的增量（2）计算平均改变率当堂检测1.在内的平均改变率为（）A3B2C1D02.设函数，当自变量由变更到时，函数的变更量为（）ABCD3.质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（）ABCD4.已知，从到的平均速度是_5.在旁边的平均改变率是_6、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，），求【板书设计】：略【作业布置】：略 31.1改变率问题 31.1改变率问题31.2导数的概念【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解改变率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型

9、为动身点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生相识到导数就是瞬时改变率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深化的探讨，以便顺当地使学生形成导数的概念。【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度驾驭导数的定义.【教学重点】：理解驾驭物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解驾驭物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)引入改变率和瞬时速度1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.2.确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点

10、A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的学问，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，0+t，现在问从t0到t0+t这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为s=s(t0+t)s(t0)(t称时间增量)为导数概念的引入做铺垫平均速度依据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也

11、就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+t，这段时间是t.时间t足够短，就是t无限趋近于0.当t0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度所以当t0时，平均速度的极限就是瞬时速度(2)例题讲解例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)=gt2，其中位移单位m，时间单位s，g=9.8m/s2.求t=3这一时段的速度.解：取一小段时间3，3+t，位置变更量s=g(3+t)2g32=(6+t)t，平均速度g(6+t)瞬时速度为：由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g3=3g=29.4m/s例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：

12、cm，时间单位：s)，(1)当t=2，t=0.01时，求.(2)当t=2，t=0.001时，求.(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.让学生进一步相识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫. 分析：s即位移的变更量，t即时间的变更量，即平均速度，当t越小，求出的越接近某时刻的速度.解：=4t+2t(1)当t=2，t=0.01时，=42+20.01=8.02cm/s(2)当t=2，t=0.001时，=42+20.001=8.002cm/s(3)v=(4t+2t)=4t=42=8cm/s(3)导数的概念设函数在处旁边有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，假如时，与的比（也叫函数的平均改变率）

13、有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即留意：(1)函数应在点的旁边有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0(3)是函数对自变量在范围内的平均改变率.要让学生理解导数概念例3、求y=x2在点x=1处的导数.分析：依据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求y，再求，最终求.解：y=(1+x)212=2x+(x)2，=2+x=(2+x)=2.y|x=1=2.留意：(x)2括号别忘了写.学生自学教材P75例1(4)课堂小结(1)理解函数的概念。（2）求函数的导数的一般方法：求函数的变更量.求平均改变率.取极限，得导

14、数. 补充题目：1.始终线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（）从时间到时，物体的平均速度；在时刻时该物体的瞬时速度；当时间为时物体的速度；从时间到时物体的平均速度2一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度解：瞬时速度v=(10+t)=10m/s.瞬时速度v=2t=25=10m/s.3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度.解：瞬时速度v=(8+2t)=8cm/s. 1.12瞬时改变率导数 1.12瞬时改变率导数 教学目标： (1)理解并驾驭曲线在某一点

15、处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念实际背景，培育学生解决实际问题的实力，进一步驾驭在一点处 的导数的定义及其几何意义，培育学生转化问题的实力及数形结合思想 一、复习引入 1、什么叫做平均改变率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间xA，xB上的平均改变率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的改变趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P沿曲线向点Q运动，随着点P无限靠近点Q时，则割线的斜率就会无限靠近曲线在点Q处的切线的斜率。所以我们可以用Q点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q处的改变趋势二、新课

16、讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x1，f(x1)，Q(x0，f(x0)，则割线PQ的斜率为，设x1x0=x，则x1=xx0，当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限靠近点Q处切线斜率，即当x无限趋近于0时，无限趋近点Q处切线斜率。2、曲线上任一点(x0，f(x0)切线斜率的求法： ，当x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0)处切线的斜率。3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均改变率：(3)瞬时速度：当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间

17、变更量和位置变更量2.再求平均速度3.后求瞬时速度：当无限趋近于0，无限趋近于常数v为瞬时速度(4)速度的平均改变率：(5)瞬时加速度：当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时改变率三、数学应用 例1、已知f(x)=x2，求曲线在x=2处的切线的斜率。变式:1.求过点(1,1)的切线方程2.曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_3.已知曲线上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?例2.始终线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（） 从时间到时，物体的平均速度；在时刻时该物体的瞬时速度； 当时间为时物

18、体的速度；从时间到时物体的平均速度 例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=(1)求t=t0s时的瞬时速度(2)求t=3s时的瞬时速度(3)求t=3s时的瞬时加速度点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是便利多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页