内弹道学第三章 内弹道方程组的解法.ppt

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1、内弹道学第三章第三章内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法膛内结构膛内结构:口径口径d d、炮膛横断面面积、炮膛横断面面积S S、药室容积、药室容积W W0 0 和弹和弹 丸全行程长丸全行程长l lg g 等等装填条件装填条件 :弹丸重量弹丸重量q q、装药量、装药量、火药力、火药力f f、火药气体、火药气体 的余容的余容、燃烧速度系数、燃烧速度系数u u1 1、火药密度、火药密度、火药的形状特征量火药的形状特征量(、)等等 内弹道解法内弹道解法 ：为了研究膛内的压力变化规律和弹丸速度：为了研究膛内的压力变化规律和弹丸速度变化规律，首先我们就必须列出能够体现瞠内主要矛盾的变化规律，首先我们就必须

2、列出能够体现瞠内主要矛盾的方程，从而组成所谓内弹道方程组，这样的方程组也就能方程，从而组成所谓内弹道方程组，这样的方程组也就能够反映出各种矛盾的互相依存和互相制约的关系。如果再够反映出各种矛盾的互相依存和互相制约的关系。如果再用一定的数学方法，将这样的方程组解出用一定的数学方法，将这样的方程组解出P-lP-l、v-lv-l、P-t P-t 及及v-tv-t的弹道曲线，那么这样的弹道曲线实际上也就是所的弹道曲线，那么这样的弹道曲线实际上也就是所谓压力变化规律和速度变化规律的具体表现。这样的一个谓压力变化规律和速度变化规律的具体表现。这样的一个过程，我们就称为内弹道解法。过程，我们就称为内弹道解法

3、。分析解法分析解法 ：从弹道方程组利用数学解析的方法，直：从弹道方程组利用数学解析的方法，直接或者间接解出接或者间接解出 P=P(l)P=P(l)、v=v(l)v=v(l)、P=P(t)P=P(t)和和v=v(t)v=v(t)的函数关系。的函数关系。表解法表解法 ：在一定的条件下预先将弹道解编成数值表，：在一定的条件下预先将弹道解编成数值表，应用时只需要经过简单的运算和查表就可以求得弹道应用时只需要经过简单的运算和查表就可以求得弹道解。解。计算机解法：通过计算机编程求弹道解。计算机解法：通过计算机编程求弹道解。3.1 3.1 内弹道方程组内弹道方程组基本假设：基本假设：1 1火药的燃烧服从几何

4、燃烧定律；火药的燃烧服从几何燃烧定律；2 2不论是火药的燃烧还是弹丸运动都是在平均压力的不论是火药的燃烧还是弹丸运动都是在平均压力的条件下进行的；条件下进行的；3 3火药的燃烧速度与压力成正比；火药的燃烧速度与压力成正比；4.4.无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后，燃烧生成物的无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后，燃烧生成物的成分始终保持不变成分始终保持不变 ；5.5.用用考虑各种功次要功；考虑各种功次要功；6.6.膛壁的热散失忽略不计膛壁的热散失忽略不计;7.7.不计及弹带逐渐挤进膛线的过程，而假定弹带全部挤不计及弹带逐渐挤进膛线的过程，而假定弹带全部挤进膛线达到到挤进压力进膛线达到到挤进压力P

5、P0 0时弹丸才开始运动。时弹丸才开始运动。3.1 3.1 内弹道方程组内弹道方程组根据以上假设，单一装药内弹道学方程组归纳如下：根据以上假设，单一装药内弹道学方程组归纳如下：（1 1）形状函数：）形状函数：（2 2）燃速方程：）燃速方程：（3 3）弹丸运动方程：）弹丸运动方程：（4 4）内弹道基本方程：）内弹道基本方程：弹丸速度与行程关系式：弹丸速度与行程关系式：（3.13.1）式（式（3.13.1）即为内弹道方程组，方程组中共有）即为内弹道方程组，方程组中共有P P、v v、l l、t t、和和Z Z六个变量，有五个独立的方程，如取其中一个六个变量，有五个独立的方程，如取其中一个变量为自变

6、量，则其余五个变量作为自变量的函数，可变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法 在上一篇讲述射击过程时，曾经根据射击现象的特在上一篇讲述射击过程时，曾经根据射击现象的特点将射击过程划分为三个不同的阶段，即前期、第一点将射击过程划分为三个不同的阶段，即前期、第一时期和第二时期。在这三个不同阶段之间又是互相联时期和第二时期。在这三个不同阶段之间又是互相联结的，前期的最终条件就是第一时期的起始条件，而结的，前期的最终条件就是第一时期的起始条件，而第一时期的最终条件又

7、是第二时期的起始条件。因此，第一时期的最终条件又是第二时期的起始条件。因此，对于这三个阶段就应该根据各阶段的特点，按顺序地对于这三个阶段就应该根据各阶段的特点，按顺序地作出各阶段的解法。作出各阶段的解法。一、前期的解法一、前期的解法 根据假设根据假设7 7，弹丸是瞬时挤进膛线，并在压力达，弹丸是瞬时挤进膛线，并在压力达到挤进压力到挤进压力P P0 0时才开始运动。所以这一时期的特点应时才开始运动。所以这一时期的特点应该是定容燃烧时期，因此该是定容燃烧时期，因此3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法 在这一时期中，火药在药室容积在这一时期中，火药在药室容积W W0 0中燃烧，压力则

8、中燃烧，压力则由由P PB B 升高到升高到P P0 0，与，与P P0 0相应的前期结束的瞬间标志火药形相应的前期结束的瞬间标志火药形状尺寸的诸元也将相应地为状尺寸的诸元也将相应地为0 0、0 0及及Z Z0 0。这些量既是。这些量既是这一时期的最终条件，又是第一时期的起始条件。所以，这一时期的最终条件，又是第一时期的起始条件。所以，这一时期解法的目的，实际上就是根据已知的这一时期解法的目的，实际上就是根据已知的P P0 0分别解分别解出出0 0、0 0及及Z Z0 0这三个前期诸元。这三个前期诸元。首先根据定容的状态方程解出首先根据定容的状态方程解出0 0 ：忽略忽略P PB B3.2 3

9、.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法求得了求得了0 0后，应用后，应用1.71.7所给出的所给出的及及Z Z的公式分别计的公式分别计算出算出0 0及及Z Z0 0 求出了这三个诸元之后，即可以作为起始条件进行求出了这三个诸元之后，即可以作为起始条件进行第一时期的弹道解。第一时期的弹道解。二、第一时期的解法二、第一时期的解法 第一时期是射击过程中最复杂的一个时期，它具第一时期是射击过程中最复杂的一个时期，它具有上面所建立的内弹道方程组所表达的各种射击现象。有上面所建立的内弹道方程组所表达的各种射击现象。3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法 内弹道方程组中共有内弹道方程组中共

10、有P P、v v、l l、t t、和和Z Z六个变量，六个变量，其它各量都是已知常量，其它各量都是已知常量，有五个独立的方程，如取其有五个独立的方程，如取其中一个变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的中一个变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。在选择自变量时，我们应以自变量是否有已知的在选择自变量时，我们应以自变量是否有已知的边界条件作为选择的主要标准。在第一时期的所有变边界条件作为选择的主要标准。在第一时期的所有变量中，只有量中，只有 及及Z Z这两个变量的边界条件是已知的，即这两个变量的边界条件

11、是已知的，即 从从 0 0到到l l，Z Z从从Z Z0 0到到l l。从数学处理来讲，选择从数学处理来讲，选择Z Z作为作为自变量比选择自变量比选择方便。因此，在现有的弹道解法中大方便。因此，在现有的弹道解法中大多是采用多是采用Z Z作为自变量。不过在具体解方程组时。由作为自变量。不过在具体解方程组时。由于于z z的起始条件的起始条件Z Z0 0同同Z Z总是以总是以Z-ZZ-Z0 0的形式出现，所以令的形式出现，所以令x x=Z-ZZ-Z0 0。则所解出的各变量都将以则所解出的各变量都将以x x的函数形式来表的函数形式来表示。示。3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法1 1解

12、速度的函数式解速度的函数式 将燃速方程和弹丸运动方程联立消去将燃速方程和弹丸运动方程联立消去PdtPdt从起始条件从起始条件v=0v=0及及Z=ZZ=Z0 0积分到任一瞬间的积分到任一瞬间的v v及及Z Z 因因x=Z-Zx=Z-Z0 0，于是，于是 该式表明，在一定装填条件下，弹丸速度与该式表明，在一定装填条件下，弹丸速度与火药的已燃厚度成比例。火药的已燃厚度成比例。3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法2 2解火药的已燃部分的函数式解火药的已燃部分的函数式 将将Z=x+ZZ=x+Z0 0代入形状函数中导出代入形状函数中导出由于由于并令并令 ，从而导出，从而导出3.2 3.2

13、内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法3 3解弹丸行程的函数式解弹丸行程的函数式 将弹丸运动方程和内弹道基本方程联立消去将弹丸运动方程和内弹道基本方程联立消去SPSP得得再将以上导出的再将以上导出的 及及 代入代入,则式中的右则式中的右边仅表示为边仅表示为x x的函数的函数3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法令令 B B是各种装填条件组合起来的一个综合参量，我是各种装填条件组合起来的一个综合参量，我们称之为装填参量，它是无量纲的，但是它的变化们称之为装填参量，它是无量纲的，但是它的变化对最大压力和燃烧结束位置都有显著的影响，因此对最大压力和燃烧结束位置都有显著的影响，因此它是一个

14、重要的参量。它是一个重要的参量。又令又令则上式即简化成如下形式则上式即简化成如下形式 3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法式中式中将上式对等号两边进行积分得将上式对等号两边进行积分得下面我们即分别导出这两个积分。首先导出右边的积下面我们即分别导出这两个积分。首先导出右边的积分。对于这样的积分式，我们可以采用部分分式的积分。对于这样的积分式，我们可以采用部分分式的积分方法。为此，我们将被积函数写成如下形式分方法。为此，我们将被积函数写成如下形式 3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法并得到如下的等式并得到如下的等式 从这样的等式建立了以下的方程组从这样的等式建立了以

15、下的方程组式中式中3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法于是就得到如下的积分于是就得到如下的积分式中式中3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法最后求得最后求得如令如令而而b b又是又是的函数，所以式中的的函数，所以式中的 仅是参量仅是参量和和变量变量的函数。这是一个比较复杂的函数。为了计的函数。这是一个比较复杂的函数。为了计算方便起见，很有必要预先编好以算方便起见，很有必要预先编好以及及为头标的为头标的 函数表函数表,利用这样的表就可以直接查表得相应的利用这样的表就可以直接查表得相应的 值。我们再讨论左边的积分问题。值。我们再讨论左边的积分问题。3.2 3.2 内弹

16、道方程组的解法内弹道方程组的解法在左边的积分在左边的积分 中，根据中，根据 的公式可知的公式可知 l l是是或或x x的函数，的函数，显然，除非我们将显然，除非我们将l l当作某种常量当作某种常量来处理，否则积分是繁琐的。在第一章里，导出来处理，否则积分是繁琐的。在第一章里，导出l l公公式时曾经指出，在一定的装填密度情况下，随着式时曾经指出，在一定的装填密度情况下，随着的的变化，变化，l l只是在不大的范围内变化。这样，就使我们只是在不大的范围内变化。这样，就使我们在进行以上积分时，完全可以将在进行以上积分时，完全可以将l l当作如下的平均值当作如下的平均值来处理来处理 式中式中3.2 3.

17、2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法于是可得如下积分于是可得如下积分从而求得以下弹丸行程函数从而求得以下弹丸行程函数 或或3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法4 4压力函数式压力函数式 从内弹道学基本方程可以得出从内弹道学基本方程可以得出将前三式代入有将前三式代入有3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法5 5最大压力最大压力P Pm m的确定的确定最大压力条件式最大压力条件式 由内弹道方程可以导出最大压力的条件式由内弹道方程可以导出最大压力的条件式式中式中3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法代入上式即得代入上式即得 于是就解出于是就解出从上式可

18、以看出，为了确定从上式可以看出，为了确定x xm m必须预先巳知必须预先巳知P Pm m,可是可是 P Pm m又正是所要求的值。因此又正是所要求的值。因此,在这种情况下在这种情况下,我们就我们就必须采用逐次逼近法。必须采用逐次逼近法。3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法 首先估计一个首先估计一个P Pm m代入上式代入上式,求出求出x xm m的一次近似值的一次近似值 ，然后即以，然后即以 分别解出各相应的分别解出各相应的 、以及以及 各近似值，如果所解出的各近似值，如果所解出的 正好与所给定的正好与所给定的 P Pm m相相同或很接近，即表明同或很接近，即表明 就代表了实际

19、压力。如果不就代表了实际压力。如果不一致，我们还必须将求得的一致，我们还必须将求得的 代入上式，求出代入上式，求出x xm m的的二次近似值二次近似值 ，然后再重复整个计算过程，求出，然后再重复整个计算过程，求出P Pm m的二次近似值的二次近似值 ,但通常只需要进行二次近似计算，但通常只需要进行二次近似计算，就可以求出足够准确的就可以求出足够准确的P Pm m值。值。在正常情况下，按照上式计算出的在正常情况下，按照上式计算出的x xm m值都应该小值都应该小于于x xk k=1-Z=1-Z0 0。这就表示在火药燃烧结束之前出现最大。这就表示在火药燃烧结束之前出现最大压力。压力。3.2 3.2

20、 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法6 6燃烧结束瞬间的各弹道诸元燃烧结束瞬间的各弹道诸元 由于燃烧结束点的各弹道诸元既是第一时期的最终由于燃烧结束点的各弹道诸元既是第一时期的最终条件，又是第二时期的起始条件，所以燃烧结束点的条件，又是第二时期的起始条件，所以燃烧结束点的诸元是必须计算出来的。诸元是必须计算出来的。在火药燃烧结束瞬间的条件为在火药燃烧结束瞬间的条件为 因此可列出因此可列出 、及及 各诸元的表达式为：各诸元的表达式为：式中式中3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法三、第二时期的解法三、第二时期的解法 在第二时期中，由于火药已经燃完，不再有火在第二时期中，由于火药已

21、经燃完，不再有火药燃烧的现象，因此这一时期的基本方程组为药燃烧的现象，因此这一时期的基本方程组为 在这个方程组中，有在这个方程组中，有v v、l l及及P P三个变量。为了解出三个变量。为了解出这些变量的函数关系，必须指定其中一个变量作为自这些变量的函数关系，必须指定其中一个变量作为自变量。由于这一时期是从燃烧结束点一直到炮口，所变量。由于这一时期是从燃烧结束点一直到炮口，所以就起始条件而言，这三个变量的起始条件都是已知以就起始条件而言，这三个变量的起始条件都是已知的。但是就最终条件而言，只有的。但是就最终条件而言，只有l l是已知的，即所谓是已知的，即所谓弹丸全行程长弹丸全行程长l lg g

22、。显然，在这种情况下，选择。显然，在这种情况下，选择l l作为作为自变量是恰当的，把自变量是恰当的，把v v和和P P作为作为l l的函数来表示。的函数来表示。3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法1.1.速度的函数式速度的函数式 将以上两个方程消去将以上两个方程消去SPSP，得到如下的微分式，得到如下的微分式 从而可以进行如下的积分从而可以进行如下的积分 3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法积分后求得积分后求得 式中式中极限速度极限速度于是求得于是求得 3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法2 2压力的函数式压力的函数式 求出了求出了 之后，将给定

23、的之后，将给定的l l所求得的所求得的v v分别代入内分别代入内弹道基本方程，即求得相应的压力弹道基本方程，即求得相应的压力 为了计算方便起见，我们也可以采用另一种形式的公为了计算方便起见，我们也可以采用另一种形式的公式，即根据燃烧结束点的压力公式式，即根据燃烧结束点的压力公式3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法整理得整理得炮口处炮口处 我们即求得第二时期的我们即求得第二时期的P-lP-l及及v-lv-l曲线，再加上曲线，再加上第一时期的第一时期的P-lP-l及及v-lv-l曲线，从而求得整个的曲线，从而求得整个的P-lP-l及及v-lv-l曲线。曲线。3.2 3.2 内弹道方

24、程组的解法内弹道方程组的解法四、时间曲线的计算四、时间曲线的计算 根据以上的解法，我们仅能解出根据以上的解法，我们仅能解出P-lP-l和和v-lv-l曲线。曲线。但是在实际应用方面，无论是炮架设计还是引信设计，但是在实际应用方面，无论是炮架设计还是引信设计，都要应用到都要应用到P-tP-t曲线。由于我们已经解出曲线。由于我们已经解出v-lv-l曲线，而曲线，而根据速度的定义根据速度的定义 进行如下的积分进行如下的积分 即可求得时间即可求得时间t t。为了求得这样的积分，我们必须从。为了求得这样的积分，我们必须从已知的已知的v-lv-l曲线转化为曲线转化为 曲线并进行图解积分，如曲线并进行图解积

25、分，如图图3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法llgl0V1/V1/V图线表明，当图线表明，当 趋近于趋近于0 0时，被积函数时，被积函数 将趋近于无将趋近于无穷大，所以在起始段不能进行图解积分。对于这种积穷大，所以在起始段不能进行图解积分。对于这种积分，我们只能采取近似的方法来处理。分，我们只能采取近似的方法来处理。3.2 3.2 内弹道方程组的解法内弹道方程组的解法将要求的将要求的t t分成两段来处理，即分成两段来处理，即在计算时首先给定在计算时首先给定 并求出与并求出与 相应的相应的 ，然后再给，然后再给定的定的 到任一到任一 之间进行图解积分，从而求得之间进行图解积分，从而求得 。所。所以这种方法的近似性质主要是在以这种方法的近似性质主要是在 这个量的误差上。这个量的误差上。关于关于 的确定通常采用的都是取的确定通常采用的都是取O O到到 之间速度的平均之间速度的平均值值 于是求得于是求得