任意角及任意角的三角函数.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.角的有关概念角的有关概念 (1)(1)角角:角可以看做平面内由角可以看做平面内由_绕着端点从绕着端点从 一个位置一个位置_到另一个位置所成的到另一个位置所成的_._.旋转开始旋转开始 时的射线叫做角时的射线叫做角的的_,_,旋转终止时的射线叫做旋转终止时的射线叫做 角角的的_,_,射线的端点叫做角射线的端点叫做角的的_._.(2)(2)角的分类角的分类:角分角分_、_、_(_(按角的旋转按角的旋转 方向方向).).3.1 3.1 任意任意角及角及任意任意角的三角函数角的三角函数基础基础知识知识 自主自主学习学习一条射线一条射线旋转旋转图形图形始边始边终边终边顶点顶点正角

2、正角零角零角负角负角第三编 三角函数(3)(3)在直角坐标系内讨论角在直角坐标系内讨论角 象限角象限角:角的顶点为坐标原点角的顶点为坐标原点,始边在始边在_上上,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,这样角的终边在第几象限这样角的终边在第几象限,就说这个角是就说这个角是_._.象限界角象限界角:若角的终边在若角的终边在_上，就说这个角不上，就说这个角不属于任何象限属于任何象限,它叫象限界角它叫象限界角.与角与角终边相同的角的集合终边相同的角的集合:_._.(4)(4)弧度制弧度制11弧度的角：弧度的角：_叫叫做做1 1弧度的角弧度的角.x x轴的正半轴轴的正半轴第几象限角第几象限角坐标轴坐标轴

3、|=k k360+360+,k kZ Z 长度等于半径的圆弧所对的圆心角长度等于半径的圆弧所对的圆心角规定规定:正角的弧度数为正角的弧度数为_,_,负角的弧度数为负角的弧度数为_,_,零角的弧度数为零角的弧度数为_,|_,|=_,|=_,l l是以角是以角作为圆心角作为圆心角时所对圆弧的长时所对圆弧的长,r r为半径为半径.用用“弧度弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制做单位来度量角的制度叫做弧度制.比比值值 与所取的与所取的r r的大小的大小_关关,仅与仅与_的大小有关的大小有关.弧度与角度的换算弧度与角度的换算:360=_:360=_弧度弧度;180=_;180=_弧度弧度.弧长公式弧长公

4、式:_,:_,扇形面积公式扇形面积公式:S S扇形扇形=_=_.=_=_.正数正数负数负数0 0l l=|=|r r无无角角2.2.任意角的三角函数任意角的三角函数 (1)(1)任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设是一个任意角是一个任意角,角角的终边上任意一点的终边上任意一点P P(x x,y y),),它与原点的距离为它与原点的距离为r r(r r0)0),那么角那么角的正弦、余弦、的正弦、余弦、正切分别是正切分别是:sin:sin=_,cos=_,cos=_,tan=_,tan=_,=_,它们都是以角为它们都是以角为_,_,以比值为以比值为_的函数的函数.(2)(2)三角函数在各

5、象限内的符号口诀是三角函数在各象限内的符号口诀是:_:_ _._.自变量自变量函数值函数值一全正、二一全正、二正弦、三正切、四余弦正弦、三正切、四余弦3.3.设角设角的顶点在坐标原点的顶点在坐标原点,始边与始边与x x轴正半轴重合轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点终边与单位圆相交于点P P,过过P P作作PMPM垂直于垂直于x x轴于轴于MM,则点则点MM是点是点P P在在x x轴上的正射影轴上的正射影.由三角函数的定义由三角函数的定义 知知,点点P P的坐标为的坐标为(cos(cos,sin,sin),),即即P P(cos(cos,sin sin),),其中其中cos cos=_,sin=

6、_,sin=_,=_,单位圆与单位圆与x x 轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点A A,单位圆在单位圆在A A点的切线与点的切线与的终的终 边或其反向延长线相交于点边或其反向延长线相交于点T T(T T),),则则tan tan=_.=_.我们把有向线段我们把有向线段OMOM、MPMP、ATAT(或或ATAT)叫做叫做的的 _ _、_、_._.OMOMMPMPATAT余弦线余弦线正弦线正弦线正切线正切线基础自测基础自测1.1.A A=小于小于9090的角的角,B B=第一象限的角第一象限的角,则则A AB B=_(_(填序号填序号).).小于小于9090的角的角 0 0 9090的角的角 第一象

7、限的角第一象限的角 以上都不对以上都不对 解析解析 小于小于9090的角由锐角、零角、负角组成的角由锐角、零角、负角组成,而而 第一象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角第一象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角,所以所以A AB B是由锐角和终边在第一象限的负角组成是由锐角和终边在第一象限的负角组成,又又00 9090的角的角=|0|09090，故，故、都不对都不对.2.2.已知扇形的周长是已知扇形的周长是6 cm,6 cm,面积是面积是2 cm2 cm2 2,则扇形的中则扇形的中 心角的弧度数是心角的弧度数是_._.解析解析 设此扇形的半径为设此扇形的半径为r r,弧长是弧长是l l,1

8、1或或4 43.3.已知角已知角终边上终边上一点一点P P的坐标是的坐标是(2sin 2,-2cos 2),(2sin 2,-2cos 2),则则sin sin=_.=_.解析解析 角角终边上一点终边上一点P P(2sin 2,-2cos 2),(2sin 2,-2cos 2),x x=2sin 2,=2sin 2,y y=-2cos 2,=-2cos 2,-cos 2-cos 24.4.是第二象限角，是第二象限角，P P(x x，)为其终边上一点，且为其终边上一点，且 cos cos=则则sin sin=_.=_.解析解析【例例1 1】若】若是第二象限的角，试分别确定是第二象限的角，试分别确

9、定2 2,的终边所在位置的终边所在位置.判判断角断角 在 在哪个象限哪个象限,只只需把需把 改写成改写成0 0+k k360(360(k kZ Z),),其中其中000 0360.360.解解 是第二象限的角是第二象限的角,k k360+90360+90 k k360+180(360+180(k kZ Z).).(1)2 (1)2k k360+1802360+180222k k360+360360+360 (k kZ Z),),2 2是第三或第四象限的角是第三或第四象限的角,或角的终边在或角的终边在y y轴的轴的 非正半轴上非正半轴上.典型例典型例题题 深度深度剖剖析析分析分析(2)(2)k

10、k180+45 180+45 k k180+90(180+90(k kZ Z),),当当k k=2=2n n(n nZ Z)时时,n n360+45 360+45 n n360+90;360+90;当当k k=2=2n n+1(+1(n nZ Z)时时,n n360+225 360+225 n n360+270.360+270.是第一或第三象限的角是第一或第三象限的角.(3)(3)k k120+30 120+30 k k120+60(120+60(k kZ Z),),当当k k=3=3n n(n nZ Z)时时,n n360+30 360+30 n n360+60;360+60;当当k k=3

11、=3n n+1(+1(n nZ Z)时时,n n360+150 360+150 n n360+180;360+180;当当k k=3=3n n+2(+2(n nZ Z)时时,n n360+270 360+270 0),0),当当为多少弧度为多少弧度 时时,该扇形有最大面积？该扇形有最大面积？考考查查扇扇形的面积形的面积、弧长公弧长公式式,求求最值最值需需转转化化 为基本不等为基本不等式式或二次函数或二次函数.解解 设扇形的弧长为设扇形的弧长为l l,则则2 2R R+l l=c c,即即2 2R R+R R=c c,当且仅当当且仅当=2=2时时,等号成立等号成立,即当即当为为2 2弧度时弧度时

12、,该扇该扇 形有最大面积形有最大面积分析分析跟踪练习跟踪练习2 2 已知扇形的面积为已知扇形的面积为S S,当扇形的中心角为当扇形的中心角为 多少弧度时多少弧度时,扇形的周长最小？并求出此最小值扇形的周长最小？并求出此最小值.解解 设设l l为扇形的弧长为扇形的弧长,由由 故扇形的周长故扇形的周长 即即2 2r r2 2-c cr r+2+2S S=0.=0.由于由于r r存在存在,故方程有解故方程有解,因此有因此有=c c2 2-16-16S S0,0,即即c c 周长周长c c的最小值为的最小值为 所以当扇形的中心角为所以当扇形的中心角为2 rad2 rad时时,扇形的周长最小扇形的周长最

13、小,最小值为最小值为【例例3 3】(2008(2008全国全国)若若sin sin 00,0,则则 是第是第_象限角象限角.解析解析 sin sin 0,0,0,是一、三象限角是一、三象限角.故故是第三象限角是第三象限角.跟踪练习跟踪练习3 3 如果点如果点P P(sin(sin cos cos ,2cos,2cos )位于第位于第 三象限三象限,那么角那么角 所在的象限是第所在的象限是第_象限象限.解析解析 因为点因为点P P(sin(sin cos cos ，2cos 2cos )位于第三位于第三 象限象限,所以所以sin sin cos cos 0,2cos 0,2cos 0,00时时,

14、r r=5=5t t,分析分析 8 8分分 当当t t00时时,r r=-5=-5t t,12 12分分 14 14分分 跟踪练习跟踪练习4 4 已知角已知角的终边在的终边在y y轴上轴上，求，求sin sin、cos cos、tan tan 的值的值.解解 角角的终边在的终边在y y轴上轴上,可在可在的的终边上任取一点终边上任取一点(0,(0,t t)()(t t0),0),即即x x=0,=0,y y=t t.综上可知综上可知,sin,sin=1,cos=1,cos=0,tan=0,tan 不存在不存在.高考中主要考查对三角函数定义的理解和运用高考中主要考查对三角函数定义的理解和运用,如三

15、如三 角函数值的符号选取及基本运算能力角函数值的符号选取及基本运算能力.题型多为填空题型多为填空题题,题目难度不大题目难度不大.1.1.准确理解弧度制、三角函数的定义、象限角等基本准确理解弧度制、三角函数的定义、象限角等基本 概念是关键概念是关键.2.2.象限角与区间角不同，如：第一象限角与区间角象限角与区间角不同，如：第一象限角与区间角 (0,)(0,)不等价不等价,后者是前者的子集后者是前者的子集.思思想方法想方法 感悟感悟提提高高高考动态展望高考动态展望方法规律总结方法规律总结3.3.用弧度制表示终边相同的角用弧度制表示终边相同的角+2+2k k(k kZ Z)时，式时，式 子中是子中是

16、的偶数倍的偶数倍,而不是而不是的整数倍的整数倍,如如+9+9与与 终边不相同终边不相同.4.4.三角函数是用比值来定义的三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的定义所以三角函数的定义 域是使比值有意义的角的范围域是使比值有意义的角的范围.5.5.三角函数定义及所在象限的符号是三角函数两大重三角函数定义及所在象限的符号是三角函数两大重 要概念要概念,利用三角函数的定义解三角题是一种最基利用三角函数的定义解三角题是一种最基 本的方法本的方法.6.6.在扇形的有关问题中在扇形的有关问题中,要充分揭示图形的性质及联要充分揭示图形的性质及联 系系,抓住圆心角、半径、弧长、面积这些量中知二抓住圆心角、半径

17、、弧长、面积这些量中知二 求其余的关键求其余的关键.一、填空题一、填空题1.1.(2009(2009江苏常州一模江苏常州一模)已知角已知角是第三象限角是第三象限角,则则 角角-的终边在第的终边在第_象限象限.解析解析 是第三象限角是第三象限角,k k360+180360+180 k k360+270,360+270,k kZ Z,则则-k k360-270-360-270-0,0,2 2k k22 +2+2k k(k kZ Z),),k k +k(+k(k kZ Z).).表示第一或第三象限的角表示第一或第三象限的角.一或三一或三4.4.(2010(2010南通模拟南通模拟)已知角已知角 的终

18、边经过点的终边经过点 P P(-4cos(-4cos,3cos,3cos)则则sin sin +cos cos =_.=_.解析解析 =5|cos =5|cos|=-5cos|=-5cos,5.5.（20102010福州调研）福州调研）已知已知 且且sin sin +cos cos =a a,其中其中a a(0,1),(0,1),则关于则关于tan tan 的值，以下的值，以下 四个答案中四个答案中,可能正确的是可能正确的是_(_(填序号填序号).).解析解析 在单位圆中在单位圆中,由三角函数线可知由三角函数线可知a a1,0,sin 0,sin +cos+cos 0,0,tan tan (-

19、1,0).(-1,0).6.6.(2009(2009江西九江模拟江西九江模拟)若角若角的终边与直线的终边与直线y y=3=3x x 重合且重合且sin sin 0,0,又又P P(m m,n n)是角是角终边上一点终边上一点,且且|OPOP|=|=则则m m-n n=_.=_.解析解析 依题意知依题意知 解得解得:m m=1,=1,n n=3=3或或m m=-1,=-1,n n=-3,=-3,又又sin sin 0,0,的终边在第三象限的终边在第三象限,n n0,0,m m=-1,=-1,n n=-3,=-3,m m-n n=2.=2.2 27.7.(2010(2010山东济南月考山东济南月考

20、)已知角已知角的终边落在直线的终边落在直线 y y=-3=-3x x(x x0)0)上上,则则 =_.=_.解析解析 角角的终边落在直线的终边落在直线y y=-3=-3x x(x x0)0)上上,在角在角的终边上取一点的终边上取一点P P(x x0 0,-3,-3x x0 0)()(x x0 00),0,0,P P在第二象限在第二象限,2 28.8.(2010(2010南京模拟南京模拟)某时钟的秒针端点某时钟的秒针端点A A到中心点到中心点O O 的距离为的距离为5 cm,5 cm,秒针均匀地绕点秒针均匀地绕点O O旋转旋转,当时间当时间t t=0=0 时时,点点A A与钟面上标与钟面上标12

21、12的点的点B B重合重合.将将A A、B B两点间的两点间的 距离距离d d(cm)(cm)表示成表示成t t(s)(s)的函数的函数,则则d d=_,=_,其中其中t t0,600,60.解析解析 将解析式可写为将解析式可写为 的的形式形式,由题意易知由题意易知A A=10,=10,当当t t=0=0时时,d d=0,=0,得得 =0;=0;当当t t=30=30时时,d d=10,=10,可得可得 9.9.(2010(2010泰州模拟泰州模拟)若若00 x x ”,“”,“二、解答题二、解答题10.10.（20102010镇江模拟）镇江模拟）已知角已知角 的终边上一点的终边上一点 P P

22、(,(,m m)，且，且sin sin =求求cos cos 与与tan tan 的值的值.解解 若若m m=0,=0,则则cos cos =-1,tan=-1,tan =0.=0.综上可知综上可知,当当m m=0=0时时,cos,cos=-1,tan=-1,tan=0;=0;11.11.(2010(2010江苏南京模拟江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列在单位圆中画出适合下列 条件的角条件的角的终边的范围的终边的范围,并由此写出角并由此写出角的集合的集合:作作出满出满足足 的角的的角的终终 边边,然然后根据后根据已知条已知条件件确确定角定角终终边的范围边的范围.解解 (1)(1)作直线作直线

23、 交单位圆交单位圆 于于A A、B B两点两点,连结连结OAOA、OBOB，则，则 OAOA与与OBOB围成的区域即为角围成的区域即为角的的 终边的范围终边的范围,故满足条件的角故满足条件的角 的集合为的集合为分析分析(2)(2)作直线作直线 交单位圆于交单位圆于C C、D D 两点，连结两点，连结OCOC、ODOD,则则OCOC与与ODOD围围成的区域成的区域(图中阴影部分图中阴影部分)即为角即为角终边的范围终边的范围.故满足条件的角故满足条件的角的集的集合为合为12.12.(2010(2010佳木斯模拟佳木斯模拟)角角终边上的点终边上的点P P与与A A(a a,2,2a a)关于关于x x轴对称轴对称(a a0),0),角角终边上的点终边上的点Q Q与与A A关于直关于直 线线y y=x x对称对称,求求sin sin cos cos+sin+sin cos cos+tan tan tan tan 的值的值.解解 由题意得由题意得,点点P P的坐标为的坐标为(a a,-2,-2a a),),点点Q Q的坐标为的坐标为(2(2a a,a a).).返回返回