4-7贾 能态密度和费米面.ppt

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1、晶体中电子状态的基本认识晶体中电子状态的基本认识（2 2）晶体中电子状态由能带描述；）晶体中电子状态由能带描述；（1 1）多个原子相互作用，孤立的能）多个原子相互作用，孤立的能级扩展为能带，一般情况下，二者有级扩展为能带，一般情况下，二者有一一对应的关系；一一对应的关系；（4 4）能带宽度决定于波函数的重叠）能带宽度决定于波函数的重叠程度；程度；（3 3）禁带宽度决定于周期势场变化）禁带宽度决定于周期势场变化的剧烈程度；的剧烈程度；（5 5）晶体中电子波函数是布洛赫函）晶体中电子波函数是布洛赫函数，它反映晶体电子共有化运动和围数，它反映晶体电子共有化运动和围绕原子核运动两者兼有的特征；绕原子核

2、运动两者兼有的特征；禁带禁带图图1 近自由电子近似能带扩展区图示近自由电子近似能带扩展区图示12E图图2 近自由电子近似能带简约区、能级分裂图示近自由电子近似能带简约区、能级分裂图示34-74-7能态密度和费米面能态密度和费米面一、能态密度函数一、能态密度函数固体中的电子能级原子中电子的本征态分立的能级分立的能级分布情况描述具体标明各能级能量具体标明各能级能量准连续分布准连续分布特点：异常密集特点：异常密集分布情况描述“能态密度函数能态密度函数N(E)”或或“单位体积能态密度单位体积能态密度g(E)”41 1、能态密度函数能态密度函数定义：定义：在在EE+E能量范围内的能态数目用能量范围内的能

3、态数目用Z表示表示，则能态密度函数定义为：则能态密度函数定义为：单位体积能态密度单位体积能态密度g(E)：V 晶体的体积晶体的体积5图图3 E(K)在在K空间的分布情况空间的分布情况6一、能态密度函数一、能态密度函数.Z.Z的确定的确定在在 空间中作空间中作 和和 等能面，在等能面，在两等能面之间两等能面之间状态数状态数即为即为ZZ。而而 空间中分布是均匀空间中分布是均匀的，密度为的，密度为 ，即，即：(1)dk表示两等能面之间的垂直距离表示两等能面之间的垂直距离;(2)ds表示面积元。表示面积元。7.关于关于EE由 的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：.由此得能态密度由此得能态密度N(

4、E)N(E)一般表达式：一般表达式：8qyqx振动模式密度能态密度函数9关于能态密度的计算公式：公式：例例一、自由电子能态密度一、自由电子能态密度(E E)。例二、若已知，求例二、若已知，求g g(E E)。例三、简立方晶格的例三、简立方晶格的s s带对应的能态密度带对应的能态密度N N(E E)。10例一、自由电子能态密度例一、自由电子能态密度(E E)解：解：自由电子的能量本征值：自由电子等能面为球面，其半径为：作业：求解一维、二维情况下自由电子能态密度作业：求解一维、二维情况下自由电子能态密度(E E)11例一、自由电子能态密度例一、自由电子能态密度(E E)分析分析()关系关系N(E)

5、E 自由电子情况近自由电子近似的能态密度近自由电子近似的能态密度12近自由电子近似的等能面近自由电子近似的等能面第一布里渊区内：认为从原点向外，等能面应该基本上保持为球面接近于布里渊区边界：等能面将向外凸出当当EAEEB当当E超过第二布里渊区的最低能量超过第二布里渊区的最低能量EB时：时：N(E)由由0迅速增大。迅速增大。EN(E)EAECEBECEB14例二例二、若已知，求例二、若已知，求g g(E E)。解：等能面方程：18例二能量为E的等能面内的状态数记作Z：19例二引申情况引申情况：当当mm1 1=m=m2 2=m=m3 3时，等能面为球面；时，等能面为球面；当当mm1 1=m=m2

6、2mm3 3时，等能面为椭球面。时，等能面为椭球面。20例三计算简立方晶格的计算简立方晶格的s s带对应的能态密度带对应的能态密度N N(E E)解：简立方晶格的解：简立方晶格的s s带能带函数带能带函数计算公式：21例三例三所以能态密度可表示为：所以能态密度可表示为：22紧束缚近似等能面能带底附近等能面能带底附近等能面为球面；为球面；E增大，增大，等能面偏离球面，等能面偏离球面，E越增大，偏离越越增大，偏离越明显（明显（P218图图4-40）。）。23例三例三(1)能能带底带底E=E0-6J1；(2)当当E=E0-2J1时，出现微商不连续奇点，这时恰好等能时，出现微商不连续奇点，这时恰好等能

7、面与布里渊区界面相交，等能面如面与布里渊区界面相交，等能面如P219图图4-42所示；所示；(3)E=E0时，为能带的中点，时，为能带的中点，N(E)函数以函数以E0为中心，上下对为中心，上下对称，等能面如称，等能面如P219图图4-43所示。所示。能态密度函数图能态密度函数图（P219图图4-41）24例三例三能态能态密度的临界点（范霍夫奇点）密度的临界点（范霍夫奇点）由由公式公式 可知，在某个可知，在某个k取值处，取值处，在在该该点，点，N(E)显示出某种奇异性，称为显示出某种奇异性，称为范范霍夫奇点，也称临界点霍夫奇点，也称临界点。En(k)是是k空间的周期函数，因此每个周期性单元中空间

8、的周期函数，因此每个周期性单元中必定存在有必定存在有 的点，例如：的点，例如：En(k)的极大值和极的极大值和极小值点；小值点；的鞍点等等，而且这些点是出现在的鞍点等等，而且这些点是出现在布里渊区的高对称点处。布里渊区的高对称点处。25例三例三以简以简立方晶格为例，说明紧束缚近似下的立方晶格为例，说明紧束缚近似下的s能带的能带的能态密度的临界点恰为布区的高对称点能态密度的临界点恰为布区的高对称点。点点 是极小值点；是极小值点；R点点 是极大值点；是极大值点；X点点 是一个鞍点是一个鞍点布区侧面中心。布区侧面中心。26二、费米面二、费米面能量是能量是k的函数，的函数，费米分布描述电子按能量的分布

9、。费米分布描述电子按能量的分布。在在k空间中画出等能面，电子按空间中画出等能面，电子按费米函数分布在各等能面上，费米函数分布在各等能面上，按按泡利原理，由低到高，填充能量泡利原理，由低到高，填充能量尽可能低的电子态尽可能低的电子态。若若固体中有固体中有N N个电子，在个电子，在k k空间空间填充了半径为填充了半径为k kF F的球，球内包的球，球内包括的状态数恰好等于括的状态数恰好等于N N，即：即：一般称这个球为一般称这个球为费米球费米球，k kF F称为称为费米费米球半径球半径，球的表面，球的表面称称费米面费米面。27费米面定义指当T0时，k空间中占有电子和不占有电子区空间中占有电子和不占

10、有电子区域的分界面。这里域的分界面。这里费米面的能量值称为费米能级费米面的能量值称为费米能级EF；对应的电子动量称为费米动量对应的电子动量称为费米动量 ；kF称为费米球半径；称为费米球半径；称为费米速度；称为费米速度；费米面费米面就是就是k k空间中能量为空间中能量为E EF F的等能面。的等能面。28费费米面米面费米费米能级能级EF费费米能级数值由米能级数值由电子密度电子密度决定。当决定。当T=0k时，从时，从E=0到到E=EF范围内对范围内对g(E)积分值应等于电子密度积分值应等于电子密度n，即：即：费米球半径费米球半径kFN N个电子在个电子在k空间填充半径为空间填充半径为kF的费米球，

11、费米球内包的费米球，费米球内包括的状态数恰好等于括的状态数恰好等于N N，即即29关于“费米面”（1 1）绝对零度下，费米面将填充能级和未填）绝对零度下，费米面将填充能级和未填充能级分隔开；充能级分隔开；（2 2）费米面形状基本上不随温度变化；）费米面形状基本上不随温度变化；温度升高时，只有少量电子从费米面内侧附温度升高时，只有少量电子从费米面内侧附近激发到外侧附近，费米能级本身很少随温度变近激发到外侧附近，费米能级本身很少随温度变化，因此，费米面成为金属的一个物理特性。化，因此，费米面成为金属的一个物理特性。30费米面的重要性在于金属的物理性质由费米面的费米面的重要性在于金属的物理性质由费米面的形状确定形状确定（1 1）电子热容）电子热容是由费米面附近电子激发所引起；是由费米面附近电子激发所引起；（2 2）功函数）功函数是费米面附近的电子逸出金属所必须是费米面附近的电子逸出金属所必须作的功；作的功；（3 3）接触电势差）接触电势差是费米面附近的电子流动产生的；是费米面附近的电子流动产生的；（4 4）讨论金属）讨论金属电导电导问题时问题时,认为电流是由于费米认为电流是由于费米面附近能态占据状况的变化所引起等。面附近能态占据状况的变化所引起等。31