高考导数分类汇编.doc

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1、12018 年全国高考理科数学分类汇编函数与导数1.（北京）能说明“若 f（x ）f（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x ）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是 f（x）=sinx 【解答】解：例如 f（x） =sinx，尽管 f（x ）f（0）对任意的 x（0，2都成立，当 x0， ）上为增函数，在（ ，2为减函数，故答案为：f（x）=sinx2. （北京）设函数 f（x）=ax 2（4a+1）x+4a+3e x（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x ）

2、=ax 2（4a +1）x+4a +3ex 的导数为f（x ）=ax 2（2a+1）x+2e x由题意可得曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为0，可得（a2a 1+2）e=0，解得 a=1；（）f（x ）的导数为 f（x）= ax2（2a+1）x +2ex=（x2） （ax 1）e x，若 a=0 则 x2 时，f （x）0，f（x）递增；x 2，f（x）0，f （x）递减x=2 处 f（x ）取得极大值，不符题意；若 a0，且 a= ，则 f（ x）= （x2） 2ex0，f（ x）递增，无极值；若 a ，则 2，f（x）在（ ，2 ）递减；在（2，+） ， （ ， ）递增

3、，可得 f（ x）在 x=2 处取得极小值；若 0a ，则 2，f（x）在（2， ）递减；在（ ，+） ， （，2）递增，可得 f（ x）在 x=2 处取得极大值，不符题意；若 a0，则 2 ，f（x）在（ ，2）递增；在（2 ，+） ， （， ）递减，可得 f（ x）在 x=2 处取得极大值，不符题意综上可得，a 的范围是（ ，+） 3. （江苏）函数 f（x）= 的定义域为 2，+） 【解答】解：由题意得： 1，解得：x 2，函数 f（x ）的定义域是2，+） 2故答案为：2，+） 4. （江苏）函数 f（x）满足 f（x +4）=f（x ） （xR ） ，且在区间（ 2，2上，f （x）

4、=，则 f（f（15） ）的值为 【解答】解：由 f（x+4） =f（x ）得函数是周期为 4 的周期函数，则 f（15）=f（161 ）=f（1 ）= |1+ |= ，f（ ）=cos （ ）=cos = ，即 f（f（15） ）= ，故答案为：5. （江苏）若函数 f（x）=2x 3ax2+1（aR ）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f（x）在1， 1上的最大值与最小值的和为 3 【解答】解：函数 f（x ）=2x 3ax2+1（a R）在（ 0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa） ，x（0，+） ，当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0，函数 f（ x）在（0，+）上

5、单调递增， f（0）=1， f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0 的解为 x ，f （x）在（0， ）上递减，在（ ，+）递增，又 f（x）只有一个零点，f（ ）= +1=0，解得 a=3，f（x）=2x 33x2+1，f （x）=6x（x1） ，x 1，1，f（x）0 的解集为（1，0） ，f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减；f（1 ）= 4，f（0）=1，f （1）=0，f（ x） min=f（1）=4，f（x ） max=f（0）=1 ，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x） max+f（x） min=4+1=36. （江

6、苏）记 f（x ） ，g （x ）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数若存在 x0R，满足f（x 0）=g（x 0）且 f（x 0）=g（x 0） ，则称 x0 为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点”（1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点”；（2）若函数 f（x）=ax 21 与 g（x ）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f（x）=x 2+a，g（x ）= 对任意 a0 ，判断是否存在 b0，使函数3f（x）与 g（x）在区间（ 0，+）内存在“S 点”，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（x ）=1，g（x）=2x

7、+2，则由定义得 ，得方程无解，则 f（x ）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点”；（2）f（x）=2ax ，g（x）= ，x0，由 f（x）=g（x）得 =2ax，得 x= ，f（ ）= =g（ ） = lna2，得 a= ；（3）f（x）= 2x，g（x）= ， （x0） ，由 f（x 0）=g（x 0） ，得 b = 0，得 0x 01，由 f（x 0）=g（x 0） ，得x 02+a= = ，得 a=x02 ，令 h（x）=x 2 a= ， （a0，0x1） ，设 m（x ）= x3+3x2+axa， （a0，0x 1） ，则 m（0）=a0，m（1）=20，得 m（0

8、）m（1）0，又 m（x ）的图象在（ 0， 1）上连续不断，则 m（ x）在（0，1）上有零点，则 h（x）在（0，1）上有零点，则 f（ x）与 g（x ）在区间（0 ，+）内存在“S” 点7. （全国 1 卷）设函数 f（x）=x 3+（a 1）x 2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）DAy= 2x By=x Cy=2x Dy=x【解答】解：函数 f（x） =x3+（a 1）x 2+ax，若 f（ x）为奇函数，可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f（x）=3x 2+1，曲线 y=f（x ）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，

9、则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D8. （全国 1 卷）已知函数 f（x ）= ，g（x）=f（x）+x +a若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是（ ）C4A 1，0） B0，+ ） C 1，+） D1，+）【解答】解：由 g（x）=0 得 f（x）=xa，作出函数 f（x）和 y=xa 的图象如图：当直线 y=xa 的截距a1 ，即 a 1 时，两个函数的图象都有 2 个交点，即函数 g（x ）存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是1，+） ，故选：C9. （全国 1 卷）已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x ）的最小值是 【解

10、答】解：由题意可得 T=2是 f（x ）=2sinx +sin2x 的一个周期，故只需考虑 f（x）=2sinx +sin2x 在0，2 ）上的值域，先来求该函数在0，2）上的极值点，求导数可得 f（x ）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos 2x1）=2（2cosx1） （cosx+1） ，令 f（x）=0 可解得 cosx= 或 cosx=1，可得此时 x= ， 或 ；y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x= ， 或 和边界点 x=0 中取到，计算可得 f（ ）= ，f （ ）=0 ，f（ ） = ，f（0）=0，函数的最小值为 ，故答案为： 10. （全国 1

11、卷）已知函数 f（x）= x+alnx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x 2，证明： a 2【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+） ，函数的导数 f（x ）= 1+ = ，5设 g（ x）=x 2ax+1，当 a0 时，g （x ）0 恒成立，即 f（x）0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+）上是减函数，当 a0 时，判别式=a 24，当 0a4 时，0，即 g（x）0，即 f（x）0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+）上是减函数，当 a2 时，x，f（x ） ，f（x ）的变化如下表：x （0，）（ ，）（ ，+）f（x） 0 + 0 f（x

12、） 递减 递增 递减综上当 a2 时，f （x ）在（0，+）上是减函数，当 a2 时，在（0， ） ，和（ ，+）上是减函数，则（ ， ）上是增函数（2）由（1）知 a2，0x 11x 2，x 1x2=1，则 f（x 1）f（x 2）=（x 2x1） （1+ ）+a（lnx 1lnx2）=2（x 2x1）+a （lnx 1lnx2） ，则 =2+ ，则问题转为证明 1 即可，即证明 lnx1lnx2x 1x2，即证 2lnx1x 1 在（0， 1）上恒成立，设 h（x）=2lnx x+ ， （0x 1） ，其中 h（1）=0 ，求导得 h（x）= 1 = = 0，则 h（x）在（0，1）上单

13、调递减，6h（x）h（1） ，即 2lnxx+ 0，故 2lnxx ，则 a2 成立11.（全国 2 卷）函数 f（x）= 的图象大致为（ ）BA B C D【解答】解：函数 f（x）= = =f（ x） ，则函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，当 x=1 时，f （1）=e 0，排除 D当 x+时，f （x）+，排除 C，故选：B12.（全国 2 卷）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x） ，若f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f （50）=（ ）CA 50 B0 C2 D50【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（1 x）=f（

14、1+x） ，f（ 1x）=f（ 1+x）=f（x 1） ，f（0）=0 ，则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x +4）=f（x+2）=f （x） ，即函数 f（x ）是周期为 4 的周期函数，f（1）=2，f（ 2）=f（ 0）=0 ，f （3 ）=f （1 2）=f（ 1）= f（1）= 2，7f（4）=f（0）=0 ，则 f（1）+f （2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12 f（1）+f（2 ）+f （3）+f（4）+f （49）+f（50）=f（1）+f（2）=2 +0=2，故选： C13.（全国 2 卷）曲线 y=2ln（x

15、+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x 【解答】解：y=2ln （x+1） ，y= ，当 x=0 时， y=2，曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x故答案为：y=2x 14.（全国 2 卷）已知函数 f（x）=e xax2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x ）1；（2）若 f（x）在（0，+ ）只有一个零点，求 a【解答】证明：（1）当 a=1 时，函数 f（x）=e xx2则 f（x）=e x2x，令 g（ x）=e x2x，则 g（x）=e x2，令 g（x）=0 ，得 x=ln2当 （0，ln2）时，h（x）0，当 （ln2，+）时，h（x ）

16、0，h（x）h（ln2）=e ln22ln2=22ln20，f（ x）在0，+）单调递增， f（x）f（0）=1，解：（2） ，f（x）在（0， +）只有一个零点 方程 exax2=0 在（0，+）只有一个根，a= 在（0 ，+）只有一个根，即函数 y=a 与 G（x ）= 的图象在（0，+）只有一个交点G ，当 x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时， G（x）0，G（x）在（0，2）递增，在（2，+）递增，当0 时，G（x）+，当+时，G （x） +，f（ x）在（0，+）只有一个零点时， a=G（2）= 15.（全国 3 卷）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（ ）D8A B C

17、D【解答】解：函数过定点（0，2） ，排除 A，B 函数的导数 f（x）=4x 3+2x=2x（2x 21） ，由 f（x）0 得 2x（2x 21）0，得 x 或 0x ，此时函数单调递增，排除 C，故选：D16.（全国 3 卷）设 a=log0.20.3，b=log 20.3，则（ ）BAa +bab 0 Baba+b0 Ca+b 0ab Dab0a+b【解答】解：a=log 0.20.3= ，b=log 20.3= ， = ， ， ， ，ab a+b0故选：B 17.（全国 3 卷）曲线 y=（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a= 3 【解答】解：曲线 y=（a

18、x+1）e x，可得 y=aex+（ax+1）e x，曲线 y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得： a+1=2，解得 a=3故答案为： 318.（全国 3 卷）已知函数 f（x）= （2+x+ax 2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a【解答】 （1）证明：当 a=0 时，f （x）=（2+x ）ln（1+x ） 2x， （x1） 9， ，可得 x（1， 0）时，f（x）0 ，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（ 1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0

19、）=0，f（ x）= （2+x）ln （1 +x）2x 在（1，+）上单调递增，又 f（0）=0当1x0 时，f（x） 0；当 x0 时，f（x ） 0（2）解：由 f（x）=（2+x+ax 2）ln （1+x）2x，得f（x ）=（1+2ax）ln（1+x）+ 2= ，令 h（x）=ax 2x+（1+2ax ） （1+x）ln （x+1） ，h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln （x+1） 当 a0，x0 时，h （x ）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x ）0，f（ x）在（0，+）上单调递增，故 x=0 不是 f（x）的极大值点，不符合题意当 a0 时，h（x）

20、=8a+4aln（x+1 ）+ ，显然 h（x）单调递减，令 h（0）=0，解得 a= 当1x0 时，h（x）0，当 x0 时，h （x）0，h（x ）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x ）h （0）=0 ，h（x）单调递减，又 h（0）=0 ，当1x0 时，h（x）0，即 f（x ）0，当 x0 时，h（x）0，即 f（x）0，f（ x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，10x=0 是 f（x）的极大值点，符合题意；若 a0，则 h（0）=1+6a0，h（e 1）=（2a 1） （1e ）0，h （x）=0 在（0，+）上有唯一一个零点，设为 x0，当 0x

21、x 0 时，h（x）0，h （x）单调递增，h（x ）h （0）=0 ，即 f（x）0，f（ x）在（0，x 0）上单调递增，不符合题意；若 a ，则 h（0）=1+6a0，h（ 1）=（ 12a）e 20，h （x）=0 在（1，0）上有唯一一个零点，设为 x1，当 x1x 0 时，h（x）0，h （x）单调递减，h（x ）h （0）=0 ，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x ）0，f（ x）在（x 1，0）上单调递减，不符合题意综上，a= 19. （上海）设常数 aR，函数 f（x ）=1og 2（x+a） 若 f（x）的反函数的图象经过点（3，1） ，则 a= 7 【解答】解：常数 aR，函数 f（x）=1og 2（x +a） f（x）的反函数的图象经过点（3，1） ，函数 f（x ）=1og 2（x +a）的图象经过点（1，3） ， log 2（1+a ）=3，解得 a=7故答案为：720.（上海）已知 2，1， ，1，2，3，若幂函数 f（x）=x 为奇函数，且在（0，+）上递减，则 = 1 【解答】解： 2，1， ，1，2，3，幂函数 f（x ）=x 为奇函数，且在（0，+）上递减，a 是奇数，且 a0，a= 1故答案为：121.（上海）已知常数 a 0，函数 f（x）= 的图象经过点 P（p， ） ，Q（q， ） 若