专题七--二次函数等腰三角形的存在性问题教学提纲.ppt

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1、专题七专题七-二次函数等腰三二次函数等腰三角形的存在性问题角形的存在性问题类型一等腰三角形的存在性问题类型一等腰三角形的存在性问题(遵义2017.27(1)，2014.27(2)；铜仁2015.25(2)；安顺2017.26(2)【方法指导】【方法指导】问题找点等腰三角形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使PAB为等腰三角形分别以点A、B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作AB的中垂线，两圆和中垂线与l的交点即为所有P点求点坐求点坐标标“万能法万能法”其他方法其他方法先假设点P存在，分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出再表示出线线段段AB、BP、AP的的长长度，度，由ABAP，ABBP，B

2、PAP列方程求解，若方程无解，则点P不存在；若方程有解，则满足条件的点P存在作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系典例精讲典例精讲例例如图，直线yx3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2bxc经过点A、C，与x轴交于另一点B，且B(1，0)(1)求该抛物线的解析式；【思维教练】【思维教练】例题图解：解：把y0代入yx3中，得0 x3，解得x3，点A坐标为(3，0)，把x0代入yx3中，得y033，点C坐标为(0，3)，把A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，分别代入yax2bxc中，得，解得，抛物线的解析式为yx22x3；(2)点D是y轴上一动点，若BDCD，求此时点

3、D的坐标；【思维教练】【思维教练】例题图解：解：如解图，设D(0，d)，在RtODB中，ODd，OB1，BD2OD2OB2d 21，CD2(3d)2，BDCD，d21(3d)2，解得d，点D的坐标为(0，)；例题解图(3)在抛物线上是否存在点E，使EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；例题图【思维教练】【思维教练】若EAC是以AC为底的等腰三角形，则EAEC，即点E在线段AC的垂直平分线上，又因为点E在抛物线上，所以作线段AC的垂直平分线与抛物线的交点即为所求解：解：存在如解图，过点O作OHAC于点H，交抛物线于点E1，E2，连接E1A，E1C，E2A，E2C.OAOC3，O

4、HAC，AHCH，OH是AC的垂直平分线，E1AE1C，E2AE2C，易知直线OH的函数解析式为yx，例题解图联立，解得，综上所述，存在点E，使EAC是以AC为底的等腰三角形，点E的坐标为E1(，)，E2(，)；例题解图(4)点F是直线AC上一动点，连接BC，若BCF是以BC为腰的等腰三角形，求出点F的坐标；例题图【思维教练】BCF是以BC为腰的等腰三角形，则有2种情况，即BCBF或CFCB.所以找点方法如下：以B为圆心，BC长为半径画弧，与直线AC的交点即为所求；以C为圆心，CB长为半径画弧，与直线AC的交点即为所求解：解：如解图，当B为顶角顶点时，以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线AC于

5、点F1，设F1(f,f3)，由题意可得，BC210，(f1)2(f3)22f 24f10，BCBF1，BC2，102f 24f10，解得f10(舍去),f22，F1(2，1)；例题解图如解图，当C为顶角顶点时，以C为圆心，CB长为半径画弧，交直线AC于点F2，F3，设F(m，m3)，由题意可得，CF2m2(m33)22m2，BC210，CFCB，2m210，解得m1，m2，F2(，3)，F3(，3)综上所述，满足条件的点F的坐标为F1(2，1)，F2(，3)，F3(，3)；例题解图(5)点G是抛物线对称轴上一动点，若ACG为等腰三角形，求出点G的坐标【思维教练思维教练】动点G在抛物线对称轴上，

6、可以先设出其点坐标，再把ACG的三边用含字母的代数式表示出来，ACG为等腰三角形，腰和底不确定，所以需分AGAC；CACG；GAGC三种情况列方程求解例题图解：解：如解图，抛物线yx22x3的对称轴是直线x1，设G(1，n)，则有AC2323218，AG21(3)2n24n2，CG212(n3)2n26n10，当ACG是等腰三角形时，情况有3种：当AGAC时，以A为圆心，AC长为半径作弧，交对称轴于G1、G2，则4n218，解得n，G1(1，)，G2(1，)；例题解图当CACG时，以C为圆心，CA长为半径作弧，交对称轴于G3、G4，则18n26n10，解得n3，G3(1，3)，G4(1，3)；

7、当GAGC时，作AC的垂直平分线交对称轴于G5，则4n2n26n10，解得n1，G5(1，1)综上所述，满足条件的点G的坐标为G1(1，)，G2(1，)，G3(1，3)，G4(1，3)，G5(1，1)针对演练针对演练1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A(4，0)、B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D是第二象限抛物线上的一个动点，求ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标(2)设直线AE的解析式为ykxb，将点A(4，0)，

8、E(0，2)代入ykxb中，得，解得，解解：(1)由题意可得：，解得，二次函数的解析式为；AE所在直线解析式为yx2，如解图，过点D作DN与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，设D点坐标为(x0，)，则F点坐标为(x0，)，则DF，又SADESADFSEDF，第1题解图SADEDFAGDFEH4DF2()，当x0时，ADE的面积取得最大值；(3)存在，点P的坐标为(1，1)或(1，)或(1，)或(1，2)或(1，2)【解法提示解法提示】根据抛物线解析式可得对称轴为直线x1，又A(4，0)，E(0，2)，当APAE时，设点P坐标为(1，m)，则AP2AE2，即32m

9、2(4)2(2)2，解得m，点P的坐标为(1，)或(1，)；当EPAE时，设点P坐标为(1，n)，则EP2AE2，即12(2n)2(4)2(2)2，解得n2，点P的坐标为(1，2)或(1，2)；当APEP时，设点P坐标为(1，t)，则AP2EP2，即9t21(t2)2，解得t1，点P的坐标为(1，1)综上所述，抛物线对称轴上存在点P，使AEP为等腰三角形，点P的坐标为(1，1)或(1，)或(1，)或(1，2)或(1，2).2.如图，抛物线yx2x4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂

10、足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点Q的坐标；第2题图(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值(2)存在，点Q(，4)或(1，3)；解解：(1)令y0，得x2x40.解得x13，x24.点A在点B的左侧，点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(4，0)令x0，得y4.点C的坐标为(0，4)；【解法提示解法提示】设直线BC的解析式为ykxb，将B(4，0)，C(0，4)代入ykxb，得，解

11、得，直线BC的解析式为yx4，点Q在直线BC上，且点Q的横坐标等于点P的横坐标m，点Q的坐标为(m，m4)，A(3，0)，C(0，4)，AC2OA2OC2324225，CQ2(m0)2m4(4)22m2，AQ2m(3)2(m4)22m22m25，要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论，()当ACCQ时，即AC2CQ2，252m2，解得m1，m2，点Q在第四象限，m0，m40，0m4，mm1，m44，点Q1的坐标为(，4)；()当ACAQ时，即AC2AQ2，252m22m25，解得m30，m41，点Q在第四象限，当m0时，不合题意舍去，m4143，点Q2的坐标为(1，3)；

12、()当AQCQ时，即AQ2CQ2，2m22m252m2，解得m5，当m时，m4，此时点Q在第一象限，不合题意，舍去综上所述，满足使得以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形的点Q坐标为(，4)或(1，3)；(3)如解图，过点F作FGPQ于点G，则FGx轴由B(4，0)，C(0，4)，得OBC为等腰直角三角形OBCQFG45.FGPQ，QGF90，FQGQGFQFG904545，QFG为等腰直角三角形，GQFGFQ.PEAC，12.第2题解图FGx轴，23.13.FGPAOC90，FGPAOC.,即.GPFGFQ.QPGQGPFQFQFQ.FQQP.PMx轴，点P的横坐标为m，MBQ45，QMMB

13、4m，PMm2m4.QPPMQMm2m4(4m)m2m.QFQP(m2m)m2m.0，QF有最大值当m2时，QF有最大值类型二类型二 直角三角形的存在性问题直角三角形的存在性问题(安顺2018.26(3)【方法指导】【方法指导】问题问题找点找点直直角角三三角角形形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使PAB为直角三角形分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点求点坐求点坐标标“万能法万能法”其他方法其他方法先假设点P存在，分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由AB2BP2AP2；BP2AB2AP2；AP2AB2BP2列方程

14、，若方程无解，则点P不存在；若方程有解，则满足的点P存在作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系典例精讲典例精讲例例如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；例题图【思维教练】要求抛物线的解析式，已知抛物线与x轴有两个交点，故可考虑设抛物线的两点式，再将C点代入即可解：解：抛物线图象与x轴交于原点O和A(4，0)，设抛物线的解析式为ya(x0)(x4)，将C(6，6)代入，得a，yx(x4)，即此抛物线的解析式为yx22x;(2)连接CD，过点A作x轴的垂线交CD于点B，连接OB，求线段OB的长；例题图【思维

15、教练】要求线段OB的长度，需求得B点的纵坐标，利用勾股定理即可求出其长度，B点的横坐标已知，且在直线CD上，故可以借助直线CD的解析式来求其纵坐标解：解：抛物线的解析式为yx22x，y(x2)22，顶点D的坐标为(2，2)，设直线CD的解析式为ykxb(k0)，将D(2，2)，C(6，6)代入，得，解得，直线CD的解析式为y2x6，当x4时，y2,B(4，2)，即AB2，OA4，在RtBOA中，由勾股定理，得OB；(3)连接OD,OC，判断OCD的形状，并说明理由；例题图【思维教练】判断OCD的形状，可先目测，得到初步猜想OCD为直角三角形，进而证明，得出结论，在这里DOC90的判断方法可根据

16、勾股定理的逆定理，由三角形的边长入手，也可以从角度入手，甚至可以考虑圆的直径所对的圆周角是90.解：解：OCD是直角三角形，理由如下：由勾股定理，得OC2626272，OD222(2)28，CD2(62)2(62)280，OC2OD2CD2，OCD是直角三角形；(4)在x轴上是否存在一点E，使COE是以OC为斜边的直角三角形；例题图【思维教练】要使COE是以OC为斜边的直角三角形，则OEC90，故过点C作x轴的垂线，垂足即为所求解：解：存在，如解图，过点C作CEx轴于点E，则COE是以OC为斜边的直角三角形C(6，6)，E(6，0)；例题解图(5)点N是抛物线上一动点，且DCN为直角三角形，求

17、出点N的坐标例题图【思维教练】要使DCN为直角三角形，需对哪个点作直角顶点进行讨论，故需分DCN90，CDN90，DNC90这三种情况讨论解：解：DCN为直角三角形，分以下三种情况讨论：当DCN90时，如解图，由(2)可知直线CD的解析式为y2x6，CNCD，设直线CN的解析式yxa，直线CN过点C(6，6)，a9，直线CN的解析式为yx9，联立，解得(舍去),，N1(3，)；例题解图当CDN90时，如解图，点N在抛物线上，故可设点N的坐标为(x，x22x)，D(2，2)，C(6，6)，CN2(x6)2(x22x6)2，DN2(x2)2(x22x2)2，CD2(62)2(62)280，CDN9

18、0，在RtCDN中，CN 2DN 2CD 2，即(x6)2(x22x6)2(x2)2(x22x2)280，解得x11，x22(舍去)将x1代入yx22x中，得y，N2(1，)；例题解图当DNC90时，如解图，设CD中点为B，由(3)可知OCD为直角三角，以点B为圆心，CD为直径的圆与抛物线交于点O，此时N3(0，0)综上所述，DCN为直角三角形时，点N的坐标为N1(3，)，N2(1，)，N3(0，0)例题解图针对演练针对演练1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线ykxn(k0)经过B、C两点已知A(1，0)，C(0，3)，且B

19、C5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第1题图解解：(1)点C的坐标为(0，3)，OC3，在RtBOC中，OC3，BC5，OB4，点B的坐标为(4，0)，将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线ykxn(k0)中，得，解得，直线BC的解析式为y=x3，点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上，解得，抛物线的解析式为；(2)存在由(1)知抛物线解析式为，对称轴l为直线x=，设点P的坐标为(，t)，如解图，过点C作CDl于点D，连接PC，P

20、B，设直线l与x轴的交点为点M，则点D的坐标为(，3)，点M的坐标为(，0)，第1题解图则CD，PD|t3|，PM|t|，BM4，PC2CD2PD2(t3)2，PB2PM2BM2t2，BC225，当BCP是直角三角形时，则有：()当BCP90时，即PCBC，PC2BC2PB2，即(t3)225t2，解得t=，此时点P的坐标为(，)；()当PBC90时，即BPBC，BP2BC2PC2，即t225(t3)2，解得t2，此时点P的坐标为(，2)；()当BPC90时，即CPBP，BP2PC2BC2，即t2(t3)225，解得t1，t2，此时点P的坐标为(，)，(，)综上所述，存在满足条件的点P，点P的

21、坐标为(，)或(，)或(，)2.设抛物线的解析式为yax2，过点B1(1，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A1(1，2)；过点B2(，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A2；过点Bn()n1，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交抛物线于点An.连接AnBn1，得RtAnBnBn1.(1)求a的值；(2)直接写出线段AnBn，BnBn1的长(用含n的式子表示)；第2题图(2)AnBn()2n3，BnBn1()n.AnBn232n，2()n12，2()2n2或2，BnBn12n或()n1()n；(3)在系列RtAnBnBn1中，探究下列问题：当n为何值时，RtAnBnBn1是等腰直角三角形？设1kmn(k

22、，m均为正整数)，问：是否存在RtAkBkBk1与RtAmBmBm1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由解：解：(1)点A1(1，2)在抛物线上，2a12，得a2；(3)由AnBnBnBn1，得()2n3()n，解得n3，所以，当n3时，RtAnBnBn1是等腰直角三角形；依题意得：AkBkBk1AmBmBm190，()当RtAkBkBk1RtAmBmBm1时，即，第2题解图所以，km，(舍去)；()当RtAkBkBk1RtBm1BmAm时，即，2k3mk2m3，mk6，1kmn(k，m均为正整数)，取或，当时，RtA1B1B2RtB6B5A5，相似比为：2664;当时，RtA2B2

23、B3RtB5B4A4，相似比为：238.类型三特殊四边形的存在性问题类型三特殊四边形的存在性问题(遵义2014.27(3)；铜仁2018.25(2)【方法指导】【方法指导】平行四边形的判定已知已知问题问题找点找点求点坐求点坐标标已知已知三个三个点点已知平面上不共线三个点A、B、C，求一点P，使得A、B、C、P四个点组成平行四边形连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点P分别求出直线P1P2，P2P3，P1P3的解析式，再求出交点即为P点；可由点的平移来求坐标已知已知两个两个点点已知平面上两个点A、B，求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成平行四边形

24、(题目中P、Q的位置有具体限制)分两种情况讨论：若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置通过点的平移，构造全等三角形来求坐标；由中点坐标公式可推出：坐标系中ABCD的四个点A、B、C、D的坐标满足xAxCxBxD；yAyCyByD矩形、菱形的判定方法参照中平行四边形的判定典例精讲典例精讲例例已知抛物线yax2bxc经过点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点(1)求抛物线的解析式、顶点坐标和对称轴；例题图【思维教练】要求抛物线的解析式，需将A，B，C三点坐标代入yax2bxc中，解方程组即可；

25、把抛物线一般式化成顶点式，可得抛物线的顶点坐标和对称轴解：解：将点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入yax2bxc中，得，解得，抛物线的解析式为yx24x3.把yx24x3化成顶点式为y(x2)21，抛物线的顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线x2；(2)过点C作CD平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，试判断四边形ABDC的形状，并说明理由；例题图【思维教练】要判断四边形ABDC的形状，观察发现：四边形ABDC为平行四边形，结合已知条件有CDAB，再设法证明ABCD即可解：解：四边形ABDC是平行四边形理由如下：D点在抛物线的对称轴上，CDx轴，D点的横坐标为2，即CD2，A(1，0

26、)，B(3，0)，AB2，ABCD，又CDAB，四边形ABDC是平行四边形；(3)如果点G是直线BC上一点，点H是抛物线上一点，是否存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点H的坐标；例题图【思维教练】先假设存在满足条件的点G和H，由于OC的长度和位置确定，所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与OC相等，据此可求出点H的坐标解：解：存在，如解图，设直线BC的解析式为ykxb(k0)，将点B(3，0)，C(0，3)代入可得：，解得，直线BC的解析式为yx3.点G在直线BC上，点H在抛物线上，且以点G，H，O，C构成的四边形是以OC为边的平行四边形，GHx轴

27、，GHOC，设G点坐标为(n，n3)，H点坐标为(n，n24n3)，例题解图GHOC3，GH|n24n3(n3)|n23n|3，当n23n3时，解得n；当n23n3时，方程无解；当n时，n24n3；当n时，n24n3.综上所述，存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为(，)或(，)；例题解图(4)如果点M在直线BC上，点N在抛物线上，是否存在这样的点M和N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；例题图【思维教练】先假设存在满足条件的点M、N，因为AB长度和位置确定，故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨论：当AB为边

28、时，则MNAB，且MNAB，据此可求出点N的坐标；当AB为对角线时，则MN与AB互相平分，从而确定点N的坐标解：解：存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形当AB为平行四边形的边时，需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左边还是右边)，如解图，()当点M在点N的左边时，设点N的坐标为(m，m24m3)，则点M的坐标为(m2，m5)，四边形ABNM是平行四边形，m24m3m5，解得m，当m时，m24m3；当m时，m24m3.点N的坐标为(，)或(，)；例题解图()当点M在点N的右边时，设点N的坐标为(m，m24m3)，则点M的坐标为(m2，m1)，四边形ABMN是平行四边形

29、，m24m3m1，解得m1或2，当m1时，点N与点A重合，故舍去；当m2时，m24m31，点N的坐标为(2，1)；当AB为平行四边形的对角线时，则MN与AB互相平分，如解图，AB与MN相交于点J，易得J(2，0)，易得AJNJBJMJ，设M(m，m3)，N(n，n24n3)，则有2，m3n24n30，整理，得n23n20，解得n11(舍去)，n22，N点坐标为(2，1)综上所述，点N的坐标为(，)，(，)，(2，1)；例题解图(5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K，点P是抛物线对称轴上一点，点Q为y轴上一点，是否存在这样的点P和Q，使得四边形CKPQ是菱形？如果存在，请求出点P的坐标；例题

30、图【思维教练】先假设存在满足条件的点P，由于四边形CKPQ四个顶点顺序已确定，则CK为菱形的边，故利用KPCK上下平移直线BC，与抛物线对称轴的交点即为所求点P.解：解：存在理由如下：K点的坐标为(2，1)，CK，假如存在这样的点P，使得四边形CKPQ为菱形，则KPCK2，如解图，当点P在点K的下方时，点P1的坐标为(2，12)，当点P在点K的上方时，点P2的坐标为(2，12)点P的坐标为(2，12)或(2，12)；例题解图(6)若点R是抛物线对称轴上一点，点S是平面直角坐标系内任一点，是否存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形？若存在，求出点R、S的坐标例题图【思维教练】先假设存在

31、满足条件的点R、S，要使四边形BCRS为矩形，则点R在直线BC上方，且BCR90，可通过寻找相似三角形利用相似求出点R，再根据矩形性质求出点S.解：解：存在，如解图，要使四边形BCRS为矩形，抛物线对称轴交x轴于点T，则BCR90，CRKTBK，由(5)知，K(2，1)，CK2，T(2，0)，TK1，BK，RK4，R(2，5)，CBRS，CBRS，根据点平移及矩形性质可得S(5，2)故存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形，且点R、S的坐标分别为R(2，5)，S(5，2)例题解图针对演练针对演练1.如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)(1)求抛物线解析式及顶点

32、坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形第1题图解：解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc，将对称轴和A、B两点的坐标代入抛物线解析式，得，解得，抛物线的解析式为y x2 x4，配方，得y(x)2，顶点坐标为(，)；(2)设E点坐标为(x，x2x4)，S2OAyE6(x2x4)，即S4x228x24；(3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：当平行四边形

33、OEAF的面积为24时，即4x228x2424，化简，得x27x120，解得x3或4，当x3时，EOEA，则平行四边形OEAF为菱形；当x4时，EOEA，则平行四边形OEAF不为菱形平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形2.(2017陕西)在同一直角坐标系中，抛物线C1：yax22x3与抛物线C2：yx2mxn关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧(1)求抛物线C1、C2的函数表达式；(2)求A、B两点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，

34、求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由第2题图解：解：(1)C1与C2关于y轴对称，C1与C2交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，a1，n3，C1的对称轴为x1，C2的对称轴为x1，m2，C1：yx22x3，C2：yx22x3；(2)令C2中y0，则x22x30，解得x13，x21，点A在点B左侧，A(3，0)，B(1，0)；(3)存在如解图，设P(a，b)，第2题解图四边形ABPQ是平行四边形，PQAB4，Q(a4，b)或(a4，b)当Q(a4，b)时，得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2，ba22a34435，P1(2，5)，Q1(2，5)；当Q(a4，b)时，得

35、a22a3(a4)22(a4)3，解得a2，ba22a34433.P2(2，3)，Q2(2，3)综上所述,所求点的坐标为P1(2，5),Q1(2，5)或P2(2，3)，Q2(2，3)类型四相似三角形的存在性问题类型四相似三角形的存在性问题(铜仁2018.25(3)【方法指导】【方法指导】ABC与DEF相似，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了两个三角形均为直角三角形两个三角形有一个公共角若ABC与DEF相似，BE90，则ABCDEF或ABCFED若ABC与AEF相似，则ABCAEF或ABCAFE另外，如果不满

36、足以上两种情况，但可以确定已知三角形的形状(特征)时，先确定动态三角形中固定的因素，看是否与已知三角形中有相等的角，若存在，根据分类讨论列比例关系式求解；已知条件中有一条对应边，只需要讨论另外两条边的对应关系，列比例关系式求解；若可得相似三角形的某个对应角的度数时，分类讨论另外两个角的对应情况，列比例关系式求解典例精讲典例精讲例例如图，抛物线图象交x轴于A、B两点，且点A位于x轴的正半轴，点B位于x轴的负半轴，且OA，OB3.抛物线交y轴于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；例题图【思维教练】要求抛物线的解析式，已知OA，OB的长度，可知点A、B的坐标，再结合点C的坐标，利用待定系数法即可确

37、定抛物线的解析式解：解：OA，点A在x轴的正半轴，A(，0)，OB3，点B在x轴的负半轴，B(3，0)，设抛物线的解析式为：yax2bxc，将点A(，0)，B(3，0)，C(0，3)代入，得，解得，即此抛物线的解析式为yx2x3；(2)连接AC、BC，则在坐标轴上是否存在一点D，使得ABCACD(点D不与点B重合)，若存在，请求出点D坐标；例题图【思维教练】要在坐标轴上找一点D，使得ABCACD，由(1)知A、B、C三点坐标，可判断出ABC为直角三角形，则可知ACD必是直角三角形且点D对应直角顶点，根据相似三角形对应边成比例可求得点D的坐标解：解：存在，如解图，tanOCA，OCA30，tan

38、BCO，BCO60，ACB90，ABC为直角三角形，ABCACD，且点D在坐标轴上，由题易知，AB4，AC2，BC6，即，CD3，C(0，3)，D(0，0)；例题解图(3)设抛物线的对称轴分别交抛物线，x轴于点E，F，在x轴上是否存在一点G(不与点F重合)，使得AEF与AEG相似，若存在，请求出点G坐标；【思维教练】要使AEF与AEG相似，因为AEF为直角三角形，需考虑AEG中哪个角为直角的情况：当点G在x轴上时，分AEFAGE和AEFAEG两种情况例题图解：解：存在，AEF是直角三角形，且AEF与AEG相似，AEG也是直角三角形，点G在x轴上，分两种情况讨论：当AGEAEF时，由(1)知A(

39、，0)，E(，4)，EF4，AF2，根据勾股定理，得AE2，AE2AGAF，解得AG，OGAGOA，即G(，0)；当AEFAEG时，点F与点G重合，综上所述，G点坐标为(，0)；(4)直线AC与抛物线的对称轴交于M点，在y轴上是否存在一点N，使得AOC与MNC相似，若存在，请求出点N坐标；例题图【思维教练】要使AOC与MNC相似，因为ACOMCN，则需考虑AOC90这个直角与哪个角对应，从而分以下两种情况讨论：AOCMNC，AOCNMC，根据对应边成比例计算出点N的坐标解：解：存在，设直线AC的解析式为ykxb，将A(，0)，C(0，3)代入，直线AC的解析式为yx3，易知AC2，又抛物线对称

40、轴为x，将x代入yx3中，得y6，M(，6)，又C(0，3)，MC.分以下两种情况讨论：()如解图，过点M作MNy轴于点N，此时AOCMNC，则此时，点N与点M纵坐标相等，N(0，6)；例题解图()如解图，过点M作MNAC于点M，此时AOCNMC，即，NC4，则ONOCNC7，N(0，7)综上所述：满足要求的点N的坐标为(0，6)或(0，7)；例题解图(5)在抛物线上是否存在点P，使AOC与ACP相似若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由例题图【思维教练】要使AOC与ACP相似，因为AOC是直角三角形，而ACP中三个内角均可能为直角，故需分三种情况讨论，在每种情况之下，求出对应点，再看求

41、出的点是否满足三角形相似的条件解：解：存在，AOC是直角三角形，AOC与ACP相似，ACP也是直角三角形，分以下三种情况讨论：()如解图，当点P与点B重合，即ACP90时，AOCACB，CAOBAC，AOCACB，此时，点P的坐标为(3，0)；例题解图()如解图，当CAP90时，AC2AP2CP2，设点P坐标为(x，x2x3)，A(，0)，C(0，3)，AC2()23212，AP2(x)2(x2x3)2，CP2x2(3x2x3)2，即12(x)2(x2x3)2x2(3x2x3)2，解得x或4.当x时y0，点P与点A重合，故舍去，P(4，5)；例题解图AP.，2，.AOC与ACP不相似，P(4，

42、5)(舍去)；()如解图，当CPA90时，以AC为直径作圆，此圆过点O、A、C，不与抛物线有其他交点，则不存在符合要求的点P.综上所述：满足条件的点P的坐标为(3，0)例题解图针对演练针对演练1.(2018乌鲁木齐)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2bxc经过点A(2，0)，B(8，0)(1)求抛物线的解析式；(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PDBC，垂足为点D.是否存在点P，使线段PD的长度最大，若存在，请求出点P的坐标；当PDC与COA相似时，求点P的坐标第1题图解：(1)将A(2，0)，B(8，0)代入y x2bxc得，抛物线解析式为：y

43、 x2 x4；第1题解图(2)由(1)知C(0，4)，又B(8，0)，易知直线BC的解析式为y x4，存在如解图，过点P作PGx轴于点G，PG交CB于点E，PEDGEB，DPEGBE，COB90，OCBPED，在RtPDE中，PDPEsinPEDPEsinOCBPE PE PE，当线段PE最长时，PD的长度最大设P(t，t2 t4)，点E在直线BC上，且点E，G的横坐标与点P的横坐标相等，E(t，t4)，G(t，0)，即PG t2 t4，EG t4，PEPGEG t22t (t4)24(0t0，将ACD拆分成同底，且以点A、C为顶点的两个三角形求解例题图解：解：依题意可设D(x，x2x2)(4

44、x0)，如解图，连接AC，过点D作DFx轴交AC于点F，设直线AC的解析式为ykxb(k0)，将点A(4，0)，C(0，2)代入，得，解得，直线AC的解析式为yx2，F(x，x2)，SADCSADFSCDF(xDxA)(yDyF)(xCxD)(yDyF)(xCxA)(yDyF)4(x2x2x2)x22x(x2)22，0，4x0，MQEQ，ME5，MQ3，由勾股定理得EQ4，解得或(舍去)，点Q(，)，同理可得点P(，)，例题解图设直线l1和直线l2的解析式分别为y1k1xb1，y2k2xb2，则，解得；，解得.直线l1、l2的解析式分别是y1x，y2x.直线l的解析式是yx或yx.针对演练针对

45、演练1.如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是ACD的外接圆的切线第1题图(1)解：解：抛物线的解析式为yax2bx3，对称轴为直线x1，x1，即b2a，点A(3，0)在抛物线上，9a3b30，联立得，解得，抛物线的解析式为yx22x3.当x1时，y1234，顶点D的坐标为(1，4)；(2)证明：点C是抛物线yx22x3与y轴的交点，点C的坐标为(0，3)，AC3，CD ，AD2，AC2CD2AD2，ACD是直角三角形

46、，且ACD90，AD是ACD外接圆的直径如解图，过点E作EFCD于点F，tanECD 1，ECD45，EFCF CE ，第1题解图CD ，DFCDCF ，tanEDF ，tanCAD tanCDE，CADCDE，CDECDACDACAD90，即EDA90，DE是ADC的外接圆的切线2.如图，抛物线yax2bxc(c0)经过x轴上的两点A(x1，0)、B(x2，0)和y轴上的点C(0，)，P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b a，AB2.(1)求抛物线的解析式；(2)D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由；(3)设直线BD交P于另一点E，求经

47、过点E的P的切线的解析式第2题图解：(1)y轴上的点C(0，)，c ，由题意知，b a，AB2，令ax2 ax 0，|x1x2|2，解得a ，b ；抛物线的解析式是：y x2 x ；(2)直线BD经过圆心P.理由如下：由(1)知对称轴为x ，D(，)，令 x2 x 0，得x1 ，x2 ，即A(，0)，B(，0)，则直线BD的解析式为y x ，如解图，连接BP，设P的半径为R，根据勾股定理知BP2OB2OP2，R2()2(R)2，解得R1，则OPOCR 1 ，P(0，)，点P的坐标满足直线BD的解析式y x .直线BD经过圆心P；第2题解图(3)如解图，过点E作EFy轴于点F，得OPBFPE，E(，1)，设经过E点P的切线L交y轴于点Q.则PEQ90，EFPQ，PE2PEPQ，PQ2，Q(0，)，P的切线的解析式为y x .结束结束