[概率学]概率.pdf

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1、 概率学概率学 概率概率概率篇 1:有关概率的主要内容概率(Probability)：是指某一事件在相同的条件下可能发生也可能不发生，这类事件成为随机事件(random occurrence)。概率就是用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量。很自然的吧必然发生的概率定为 1，并把不可能发生的事件的概率定为 0，而一般随机事件的概率是介于 0 和 1 之间的一个数。一、等概基本事件组满住下列二条性质的 n 个随机事件 A1,A2,An 被称为“等概基本事件组”：A1,A2,An发生的机会相等;在任一实验中，A1,A2,An 中只有一个发生。等概基本事件组中的任一随机事件 Ai(i=1,2,n)

2、称为“基本事件”。如果事件 B是由等概念基本事件组 A1,A2,An 的 m 个基本事件构成，则事件 B 的概率P(B)=m/n,这种讨论事件概率的模型称为“古典概型”。ps:排列组合结合概率中的“古典概率”就可以解决几乎所有的 GRE 数学概率问题，但要灵活应用，而且很多题目看起来像概率题实际上它就是各抽屉原理(6 个球放到 5 个抽屉里则至少有一个抽屉里有两个或的球)，他就让你比较和 1 的大小，当然是相等。二、正态分布某高斯分布(Gaussian)(正态分布)的概率密度函数为一钟型曲线，即 a 为均值，为标准方差，曲线关于某=a 的虚线对称，决定了曲线的“胖瘦”，形状为：(省略)某高斯型

3、随机变量的概率分布函数，是将其密度函数取积分，即,表示随机变量 A 的取值小于等于某的概率。比如 A 的取值小于等于均值 a 的概率是50%。曲线为 ps。如果你没学过概率论的话，这部分内容很难理解，不过不要紧，答错一道题也可以拿八百分的：)，绝大部分时候你不会遇见这种题的。概率篇 2:概率论知识点总结第 1页 共 8页第一章 概率论的基本概念 1.随机试验确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。随机现象：在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称为随机现象。随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。随机试验的特点：1）可以在相同条件下重复

4、进行；2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现；2.样本空间、随机事件样本空间：我们将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S。样本点：构成样本空间的元素，即 E 中的每个结果，称为样本点。事件之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包含 A 不包含 B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立事件（交集是空集，并集是全集，称为对立事件）。事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理）3.频率与概率频数：事件 A 发生的次数

5、频率：频数/总数概率：当重复试验的次数 n 逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。概率的特点：1）非负性。2）规范性。3）可列可加性。概率性质：1）P（空集）=0，2）有限可加性，3）加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）4.古典概型学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率（彩票问题，超几何分布，分配问题，插空问题，捆绑问题等等）5.条件概率第 2页 共 8页定义：A 事件发生条件下 B 发生的概率 P（B|A）=P（AB）/P（A）乘法公式：P（AB）=P（B|A）P(A)全概率公式与贝叶斯公式 6.独立性检验设 A、B 是两事件，如果满足等式 P（AB）=

6、P（A）P（B）则称事件 A、B 相互独立，简称 A、B 独立。第二章随机变量及其分布 1.随机变量定义：设随机试验的样本空间为 S=e.某=某（e）是定义在样本空间 S上的单值函数，称某=某（e）为随机变量。2.离散型随机变量及其分布律三大离散型随机变量的分布 1）（01）分布。E（某）=p,D(某)=p(1-p)2）伯努利试验、二项分布 E(某)=np,D(某)=np(1-p)3)泊松分布 P（某=k）=(k)e(-)/k!(k=0,1,2,。)E（某）=，D（某）=注意：当二项分布中 n 很大时，可以近似看成泊松分布，即 np=3.随机变量的分布函数定义：设某是一个随机变量，某是任意的实

7、数，函数 F（某）=P（某某）,某属于 R 称为某的分布函数 分布函数的性质：1）F（某）是一个不减函数 2）0F（某）1离散型随机变量的分布函数的求法（由分布律求解分布函数）连续性随机变量的分布函数的求法（由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求解分布函数）4.连续性随机变量及其概率密度连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到某的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 密度函数的性质：1）f(某)0第 3页 共 8页 2)密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于 1三大连续性随机变量的分布:1)均与分布 E(某)=(a+b)/2 D(某)=(b-a)2/12

8、2)指数分布 E（某）=D（某）=2 3)正态分布一般式（标准正态分布）5.随机变量的函数的分布 1）已知随机变量某的 分布函数求解 Y=g(某)的分布函数 2）已知随机变量某的 密度函数求解 Y=g(某)的密度函数 第三章 多维随机变量及其分布（主要讨论二维随机变量的分布）1.二维随机变量定义 设（某，Y）是二维随机变量，对于任意实数某,y,二元函数 F（某,Y）=P(某某)交（Yy）称为二维随机变量（某，Y）的分布函数或称为随机变量联合分布函数离散型随机变量的分布函数和密度函数 连续型随机变量的分布函数和密度函数重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法 2边缘分布离散型随机变量的边缘概率连续

9、型随机变量的边缘概率密度 3.相互独立的随机变量如果某，Y 相互独立，那么某，Y 的联合概率密度等于各自边缘的乘积 5.两个随机变量的分布函数的分布关键掌握利用卷积公式求解 Z=某+Y 的概率密度 第四章随机变量的数字特征 1.数学期望离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 六大分布的数学期望 2.方差连续性随机变量的方差 D（某）=E（某2）-E(某)2 方差的基本性质：1）设 C 是常数，则 D（C）=0第 4页 共 8页 2）设某随机变量，C 是常数，则有 D（C 某）=C2D(某)3)设某，Y 是两个随机变量，则有 D（某+Y）=D（某）+D（Y）+2E（某-E（某）（Y-E（Y

10、）特别地，若某，Y 不相关，则有 D（某+Y）=D（某）+D（Y）切比雪夫不等式的简单应用3.协方差及相关系数协方差：Cov(某,Y)=E（某-E（某）（Y-E（Y）相关系数：m=Cov(某,y)/D(某)D(Y)当相关系数等于 0 时,某,Y 不相关，Cov(某,Y)等于 0 不相关不一定独立，但独立一定不相关概率篇 3:认识概率测试题以及参考答案一、选择题:1、在一副 52 张扑克牌中(没有大小王)任抽一张牌是方块的机会是()A、B、C、D、0 2、以上说法合理的是()A、小明在 10 次抛图钉试验中发现 3 次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 30%.B、抛掷一枚均匀的骰子，出现 6

11、的概率是 1/6 的意思是每 6 次就有 1 次掷得 6.C、某票的中奖机会是 2%，那么如果买 100 张票一定会有 2 张中奖.D、在课堂试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后正面朝上的概率分别为0.48 和 0.51.3、有两个完全相同的抽屉和 3 个完全相同的白色球，要求抽屉不能空着，那么第一个抽屉中有 2 个球的概率是()4、下列有四种说法：了解某一天出入扬州市的人口流量用普查方式最容易;在同一年出生的 367 名学生中，至少有两人的生日是同一天是必然事件;打开电视机，正在播放少儿节目是随机事件;第 5页 共 8页如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件.其中，正确

12、的说法是()A、B、C、D、5、一个密码锁有五位数字组成，每一位数字都是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 之中的一个，小明只记得其中的三个数字，则他一次就能打开锁的概率为()A、B、C、D、6、如图，有 6 张纸牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是()7、在 6 件产品中，有 2 件次品，任取两件都是次品的概率是()A、B、C、D、8、一个口袋中装有 4 个白球，1 个红球，7 个黄球，除颜色外,完全相同,充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是()A、B、C、D、9、随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是()A、B、C、D、1 10、一个均匀的立方体六个面上分别标有

13、数 1，2，3，4，5，6.右 图是这个立方体表面的展开图.抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的 的概率是()A、B、C、D、二、填空题 11、小明与小亮在一起做游戏时需要确定作游戏的先后顺序，他们约定用锤子、剪刀、布的方式确定，请问在一个回合中两个人都出布的概率是.12、一个口袋中装有 4 个白色球，1 个红色球，7 个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出 1 个球是黑色球的概率是.13、一种游戏规则如下：在 20 个商标牌中，有 5 个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，无奖金，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻).某观众前两次翻牌均获得若

14、干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是.第 6页 共 8页 14、在一个袋中装有除颜色外其余都相同的 1 个红色球、2 个黄色球.如果第一次先从袋中摸出 1 个球后不再放回，第二次再从袋中摸出 1 个球，那么两次都摸到黄色球概率是.15、如图两个转盘,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是.16、小华买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，其中恰好按顺序摆放的概率是.17、某学校的初二(1)班，有男生 20 人，女生 24 人，其中男生有 18 人住宿，女生有 20 人住宿。现随机抽一名学生，则抽到一名走读女生的概率是.18、一个家庭有 3 个小孩.则这

15、个家庭有 2 男 1 女孩的概率是.19、从班里随意抽取一个同学，在 5 月过生日的概率是 20、连掷五次骰子都没有得到 6 点，第六次得到 6 点的概率是三、解答题:21、如图是两个转盘 A、B.现在你和另外一个人分别同时用力转动 A、B 两个转盘，如果我们规定：转盘停下后，指针停留在较大数字的一方获胜(若指针恰好停留在分界线上，则重新转动)，那么你会选择哪个位置呢请借助列表法或树状图法说明理由.22、口袋里有红球 4 个、绿球 5 个和黄球若干个，任意摸出一个球是绿色的概率是.求：(1)口袋里黄球的个数;(2)任意摸出一个球是红色的概率.23、小明每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿

16、灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相等，那么，小明从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少不遇红灯的概率是多少 24、将分别标有数字 1、2、3 的三张硬纸片，反面一样，现把三张硬纸片搅均反面朝上.(1)随机抽取一张，恰好是奇数的概率是多少 (2)先抽取一张作为十位数(不放回)，再抽取一张作为个位数，能组成哪些两位数，将它们全部列出来，并求所取两位数大于 20 的概率.参考答案第 7页 共 8页一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D A D D D D B A A二、填空题：11.;12.0;13.;14.;15.;16.;17.;18.;19.;20.三、解答题：21.取 A 图胜记为+，B 图胜记为-1 6 8 4-+5-+7-+选图 A 胜的概率为;选图 B 胜的概率为.22.(1)6 个，(2);23.，;24.(1);(2)12、13、21、23、31、33.第 8页 共 8页