高中教材知识点梳理.pdf

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1、备注：红色字体部分重点识记备注：红色字体部分重点识记人教版必修一人教版必修一第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念1.11.1集合集合知识点梳理知识点梳理（一）集合1.集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2.集合中的元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列

2、顺序是否一样。（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3.集合的表示：（1）如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（2）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（3）集合的表示方法：列举法与描述法。列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。（1）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形（2）数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是xR|x-32或x|x-32（4）常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)N,正整

3、数集 N*或 N+,整数集 Z,有理数集 Q,实数集 R（5）元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A记作，相反，a 不属于集合 A 记作。4.集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合（2）无限集含有无限个元素的集合（3）空集不含任何元素的集合例：1（二）集合间的基本关系1.“包含”关系子集有两种可能有两种可能(1)A 是 B 的一部分;(2)A 与 B 是同一集合。反之,集合 A不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作或2.“相等”关系对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,

4、集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合 B，即：（1）任何一个集合是它本身的子集。即（2）如果（3）如果（4）如果，且，同时或那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作，那么那么注意：若一个集合中有 n 个元素则它的所有子集个数它的所有非空真子集个数。，它的所有真子集个数，3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（三）集合的运算1.交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的交集。记作 AB(读作A 交 B)，即 AB=x|xA，且 xB。2.并集的定义：一般地，由所有属于

5、集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：AB(读作A 并 B)，即 AB=x|xA，或 xB。3.交集与并集的性质：AA=A，A=,AB=BA，AA=A，A=A，AB=BA。4.全集与补集：（1）全集：如果集合 U 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。S（2）补集：设 U 是一个集合，A 是 U 的一个子集（即），A由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做U 中子集 A 的补集（或余集）记作：即（3）性质：21.21.2函数及其表示函数及其表示1.2.11.2.1函数的概念函数的概念知识点梳理知识点梳理（一

6、）函数的概念1.设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到。在集合中都有唯一确定的数的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作2.函数的三要素：定义域、值域和对应法则。3.只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数。（二）区间的概念及表示法1.设满足是两个实数，且，满足的实数 的集合叫做闭区间，记做；满足；满足。与区间，前者 可以大于或等于，而后者必须，或；的实数的实数的实数 的集合叫做开区间，记做，的集合叫做半开半闭区间，分别记做的集合分别记做注意：对于集合，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）。1.2.21.2.

7、2函数的表示法函数的表示法知识点梳理知识点梳理（一）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种。解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系。（二）映射的概念31.设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集以及到的对应法则合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合）叫做集合到的映射，记作2.给定一个集合到集合的映射，且。如果元素 和元素 对应，那么我们把元素 叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象。1.31.3函数的基本性质函数的基本性质1

8、.3.11.3.1单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值知识点梳理知识点梳理（一）函数的单调性1.定义及判定方法函数的定义性 质如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值函数的单调性时，都有，当图象判定方法（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数y yy=f(X)y=f(X)f(x)f(x)1f(x)f(x)2，那么就说在这个区间上是o ox x1x x2x x增函数。4如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值时，都有，那么就说在这个区间上是，当y yf(x)f(x)1y=f(X)y=f(X)f(x)f(

9、x)2（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数x x2o ox x1x x减函数。2.在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数。（二）对“”函数分别在（三）最大（小）值定义1.一般地，设函数（1）对于任意的（2）存在。2.一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：5的图象与性质上为增函数，分别在上为减函数。的定义域为，如果存在实数，都有；。那么，我们称满足：，使得是函数的最大值，记作（1）对于任意的（2）存在。，都有，使得；。那么，我们称是函数的最小

10、值，记作1.3.21.3.2奇偶性奇偶性知识点梳理知识点梳理（一）函数的奇偶性1.定义及判定方法函数的性 质定义如果对于函数定义图象判定方法（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）域内任意一个 x，都有那么函数叫做奇函数。定义函数的奇偶性如果对于函数域内任意一个 x，都有那么函数叫做偶函数。2.若函数为奇函数，且在处有定义，则。（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）3.奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反。4.在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶

11、函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数。第二章第二章基本初等函数基本初等函数()2.12.1指数函数指数函数2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算6知识点梳理知识点梳理（一）根式的概念1.如果次方根用符号方根用符号2.式子，那么 叫做 的 次方根。当 是奇数时，的表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号表示；0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根。叫做根式，这里 叫做根指数，叫做被开方数。当 为奇数时，为任意实。表示，负的 次数；当 为偶数时，3.根式的性质：当 为奇数时，当 为偶数时，；。（二）分数指

12、数幂的概念1.正数的正分数指数幂的意义是：指数幂等于 0。2.正数的负分数指数幂的意义是：0 的负分数指数幂没有意义。注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。（三）分数指数幂的运算性质1.2.3.。0 的正分数2.1.22.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质知识点梳理知识点梳理（一）指数函数函数名称定义函数指数函数叫做指数函数7a 10 a 1y yy y=a ax xy y=a ax xy y图像y y=1 1(0,1)(0,1)y y=1 1(0,1)(0,1)O O定义域值域过定点奇偶性单调性在上是增函数图象过定点x xO Ox x(0,+)，即当非奇非偶在上是减函数时，。函数值的变化情

13、况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低。2.22.2对数函数对数函数2.2.12.2.1对数与对数运算对数与对数运算知识点梳理知识点梳理（一）对数的定义1.若底数，叫做真数。，则 叫做以 为底的对数，记作，其中 叫做2.负数和零没有对数。3.对数式与指数式的互化：4.几个重要的对数恒等式8。，。5.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）。（二）对数的运算性质如果（1）加法：（3）数乘：（5）（6）换底公式：，那么（2）减法：（4）2.2.22.2.2对数函数及其性质对数函数及其性质知识点梳理知识点梳理（一）对数函数及其性质函数名称定义函数对数

14、函数叫做对数函数y y图象x x=1 1y y=logloga ax xy yx x=1 1y y=logloga ax xO O(1,0)(1,0)x x(1,0)(1,0)O Ox x定义域值域9过定点奇偶性单调性在图象过定点，即当非奇非偶时，。上是增函数在上是减函数函数值的变化情况a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高。（二）反函数1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子。如果对于在中的任何一个值，通过式子那么式子表示是的函数，函数，习惯上改写成2.反函数的求法。，在中都有唯一确定的值和它对应，叫做函数的反函数，记作（1）确

15、定反函数的定义域，即原函数的值域；（2）从原函数式；（3）将3.反函数的性质（1）原函数（2）函数（3）若与反函数的图象关于直线y=x对称。改写成，并注明反函数的定义域。中反解出的定义域.值域分别是其反函数在原函数的图象上，则的值域.定义域。在反函数的图象上。（4）一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数。2.32.3幂函数幂函数知识点梳理知识点梳理（一）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中 为自变量，是常数。10（二）幂函数的图象（三）幂函数的性质1.图象分布：幂函数图象分布在第一.二.三象限，第四象限无图象。幂函数是偶函数时，图象分布在第一.二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分

16、布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限。2.过定点：所有的幂函数在3.单调性：如果都有定义，并且图象都通过点。，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数。如果则幂函数的图象在(0,+)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与轴。4.奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数。当11（其中互质，），若 为奇数 为奇数时，则是偶函数，若为偶数 为奇数时，则，当上方，当下方。时，若时，若是奇函数，若为奇数 为是非奇非偶函数。，其图象在直线，其图象在直线上偶数时，则5.图象特征：幂函数下方，若方，若，其图象在直线，其图象在直线第三章第三章

17、 函数的应用函数的应用3.13.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点知识点梳理知识点梳理（一）函数零点的概念对于函数点。（二）函数零点的意义函数的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与 轴有交点函数有零点。的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与x轴交点，把使成立的实数叫做函数的零（三）函数零点的求法求函数的零点：的实数根；的图象联系起来，1.（代数法）求方程2.（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数并利用函数的性质找出零点。（四）二次函数的零点二次函数1.，方程。有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点。2.，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与

18、x轴有一12个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。3.点。，方程无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零人教版必修二人教版必修二第一章第一章 空间几何体空间几何体知识点梳理知识点梳理1.1空间几何体的结构（一）柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱（参见必修二第 3 页图 1.1-4）（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。（2）分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱.四棱柱.五棱柱等。（3）表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱ABCDE-ABCDE。（4）几何特征：两底面是对应边平行

19、的全等多边形；侧面.对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2.棱锥（参见必修二第 4 页图 1.1-5）（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。（2）分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。（3）表示：用各顶点字母，用各顶点字母，如五棱锥，P-ABCDE。（4）几何特征：侧面.对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相 似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3.棱台（参见必修二第 3 页图 1.1-6）（1）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

20、（2）分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱台、四棱台、五棱台等。（3）表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD-ABCD。（4）几何特征：上下底面是相似的平行多边形；侧面是梯形；侧棱平行且相等；侧棱交于原棱锥的顶点。4.圆柱（参见必修二第 5 页图 1.1-7）（1）定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。（2）几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。5.圆锥（参见必修二第 5 页图 1.1-8）（1）定义：以直角三角形的一条直角边为轴旋转,旋转所成的曲面所围成的几何体。（2）几何特征：底面是一个圆；母线交于

21、圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。6.圆台（参见必修二第 5 页图 1.1-9）13（1）定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。（2）几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。7.球（参见必修二第 6 页图 1.1-10）（1）定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。（2）几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间几何体的三视图和直观图（一）中心投影与平行投影1.中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。（参见必修二第12 页图1.2-3）2.平行投影：在一束平行光照射下形

22、成的投影叫做平行投影。（二）空间几何体的三视图1.三视图（参见必修二第12 页图 1.2-4）（1）正视图：从前往后（2）侧视图：从左往右（3）俯视图：从上往下2.画三视图的原则：长对齐.高对齐.宽相等（三）空间几何体的直观图1.斜二测画法的步骤（参见必修二第16 页图 1.2-10）（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于 y 轴的线长度变半，平行于x.z 轴的线长度不变；（3）画法要写好；（4）成图。1.3空间几何体的表面积与体积（一）柱体.锥体.台体的表面积与体积1.表面积圆柱的表面积：圆锥的表面积：圆台的表面积：2.体积一般柱体的体积：一般锥体的体积：一般台体的体积：（二）

23、球的体积和表面积1.球的体积：2.球的表面积：（参见必修二第 24 页图 1.3-3）（参见必修二第 24 页图 1.3-4）（参见必修二第 24 页图 1.3-5）14第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系知识点梳理知识点梳理2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（一）平面1.平面（参见必修二第 41 页图 2.1-2）（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（二）空间中直线与直线之

24、间的位置关系1.空间两条直线的位置关系（参见必修二第44 页图 2.1-13）2.公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（空间平行线的传递性）符号表示为：设 a.b.c 是三条直线强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面.空间这个性质都适用。公理 4 的作用是判断空间两条直线平行的依据。3.定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（三）空间中直线与平面之间的位置关系1.空间直线与平面的位置关系（参见必修二第44 页图 2.1-22）（1）直线在平面内：有无数个公共点；（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行：没有公共点。直线与平面

25、相交或平行的情况统称为直线在平面外。（四）平面与平面之间的位置关系1.两个平面之间的位置关系（参见必修二第50 页图 2.1-25）（1）两个平面平行：没有公共点；（2）两个平面相交：有一条公共直线。152.2直线、平面平行的判定及其性质（一）直线与平面平行的判定1.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，符号表示：作用：直线与平面平行的判定定理（二）平面与平面平行的判定1.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，符号表示：作用：平面与平面平行的判定定理（三）直线与平面平行的性质1.直线与平面平行的性

26、质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（四）平面与平面平行的性质1.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。2.3直线、平面垂直的判定及其性质（一）直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（参见必修二第65 页图 2.3-5）2.线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。（二）平面与平面垂直的判定1.平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（参见必修二第 68 页图 2.3-13）2.二面角：从一

27、条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。3.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。4.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。5.求二面角的方法：（1）定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角；（2）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两个面的交线所成的角为二面角的平面角。（三）直线与平面垂

28、直的性质1.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。四、平面与平面垂直的性质1.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。16第三章第三章 直线与方程直线与方程知识点梳理知识点梳理3.1直线的倾斜角与斜率（一）平面1.直线的倾斜角（参见必修二第82 页图 3.1-2）定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是。2.直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 表示。即。斜率反映直线

29、与轴的倾斜程度。（2）过两点的直线的斜率公式：（二）两条直线平行与垂直的判定1.对于两条直线，其斜率分别为，注意：若直线，可能重合时，我们得到，有2.对于两条直线，且它们互相垂直。即3.2直线的方程（一）直线的点斜式方程1.点斜式：2.注意：当直线的斜率为0时，当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在。（二）直线的两点式方程1.两点式：（三）直线的一般式方程1.斜截式：2.截距式：。173.一般式：4.直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系平行于已知直线（2）过定点的直线系斜率为 k 的直线系：过两条直线，直线过定点的交点的直线方程系为其中，直线不在直线系中。5.两直线平行与垂直

30、（1）（2）的直线系注：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。3.3直线的交点坐标与距离公式（一）两条直线的交点坐标1.相交交点坐标即方程组方程组无解；方程组有无数解（二）两点间的距离1.两点间的距离公式：设的一组解。是平面直角坐标系中的两个点，则（三）点到直线的距离1.点到直线（四）两条平行直线间的距离1.两条平行直线18的距离间的距离第四章第四章 圆与方程圆与方程知识点梳理知识点梳理4.1圆的方程（一）圆的标准方程1.定义：平面内与定点间的距离等于定长的点的集合（轨迹）圆（定点为圆心，定长为半径）。2.标准方程：圆心为 C（a，b），半径为 r 的圆的标准方程是圆心在坐标原

31、点，半径为r 的圆的标准方程是（二）圆的一般方程1.圆的一般方程：形如（1）当配方，得所以圆心为（2）当，半径为时，方程表示一个点的二元二次方程，时，叫做圆的一般方程。，；（3）当时，它不表示任何图形（没有轨迹）。4.2直线、圆的位置关系（一）直线与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：设点到圆的圆心 C 的距离为 d，则若若若2.直线与圆的位置关系：直线与圆相交直线与圆相切19点点点在圆心 C 外；在圆心 C 上；在圆心 C 内；有两个公共点有一个公共点直线与圆相交没有公共点（二）圆与圆的位置关系1.利用圆心距和两圆半径比较大小（几何法）：设两圆与，则位置关系表示如下：外离；外切；相交；内切；2

32、.利用两圆的交点进行判断（代数法）：设由两圆的方程组成的方程组为由此方程组得：有两组不同的实数解两圆相交；有两组相同的实数解两圆相切；无实数解两圆相离。4.3 空间直角坐标系（一）空间直角坐标系1.定义：参见必修二第 134 页图 4.3-1，OABC-DABC是单位正方体。以 O 为原点，分别以射线 OA，OC，OD的方向为正方向，以OA，OC，OD的长为单位长，建立三条数轴：x 轴.y 轴.z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz。其中点O 叫做坐标原点，x 轴.y轴.z 轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面.yOz 平面.zOx 平面。2.右手直角

33、坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向 y轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。3.任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组（x,y,z）来表示。（二）空间两点间的距离公式1.设空间两点，则 A.B 两点的距离公式为内含的圆心距为 d，显然人教版必修人教版必修 3 3第一章第一章 算法初步算法初步20算法算法与程序框图基本算法语句算法案例辗转相除法与更相减损术秦九韶算法算法概念算法步骤程序框图输入与输出语句赋值语句顺序结构条件结构程序框图的画法条件语句循环语句循环结构进位制第二章第二章 统计统计收集数据整理、分析数据估计、

34、推断用样本估计总体变量间的相关关系简单随机抽样分层抽样系统抽样用样本的频率分布估计总体分布用样本数字特征估计总体数字特征线性回归分析知识点梳理知识点梳理（一）简单随机抽样（一）简单随机抽样1.总体和样本：总体：在统计学中，把研究对象的全体叫做总体。个体：把每个研究对象叫做个体。总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量。212.简单随机抽样：（1）定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本（nN）。如果每次抽取时总体内的各个个体抽到的机会都相等，称这种抽样方法为简单随机抽样。（2）特点：被抽取样本的总体中个体数有限。便于通过随机抽取的样本对总体进行分析；从总体中逐

35、个不放回地进行抽取；每次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同。（3）分类：最常用的简单随机抽样方法有：抽签法和随机数法。抽签法：把总体中的 N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个不透明容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容器为 n 的样本。随机数法：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。（二）系统抽样（二）系统抽样1.定义：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。2.特点：系统抽样也是等概率抽样，即每个个体被抽到的概率是相等的，从而保证了抽样的公平性。系统抽样

36、适合于总体的个体数较多的情形，操作上分四个步骤进行，除了剔除余数个体和确定起始号由事先定下的规则自动生成，从而使得系统抽样操作简单、方便。3.步骤：（1）将总体的 N 个个体编号。（2）确定分段间隔 k，对编号进行分段。当（n 是样本容量）是整数时，取=。（3）在第 1 段内用简单随机抽样确定起始个体编号()。（4）按照一定的规则抽取样本。（三）分层抽样（三）分层抽样1.定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，按照某种特征将总体中的个体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层抽出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。2.特点：使用分层抽样的前提是

37、总体可以分层，层与层之间有明显的区别。明确分层的界限和数目，只要分层得当，一般来说抽样结果就比简单随机抽样更能反映总体情况。3.步骤：（1）分层。（2）按比例确定每层抽取个体的个数。（3）各层抽样，方法可以不同。（4）汇合成样本。（四）用样本的频率分布估计总体分布（四）用样本的频率分布估计总体分布1.频率分布表：当总体容量很大或不便获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布。我们把反映总体频率分布的表格成为频率分布表。222.频率分布直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图成为频率分布直方图，简称频率直方图。具体画法参见必修3 第 66 页。（五）用样本的数字特征估计总体的数

38、字特征（五）用样本的数字特征估计总体的数字特征1.众数：出现次数最多的数。在样本数据的频率分布直方图中，众数就是最高矩形的底边中点的横坐标。2.中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数。频率分布直方图中，中位数左右的直方图面积相等。3.平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数。11=(1+2+)=1平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。4.样本标准差：反映样本数据的分散程度的大小，一般用s 表示。(1)2+

39、(2)2+()2s=,s 0标准差越大，离散程度越大，数据较分散；标准差越小，离散程度越小，数据较集中。5.样本方差：(1)2+(2)2+()21s=()2=1（六）变量间的相关关系（六）变量间的相关关系参见必修 3 第 84-87 页。1.如果散点图中点的分布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它成为正相关。同理，若从左上角到右下角的分布，则是负相关。2.回归直线：如果散点图重点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。3.最小二乘法：)=1()(=1 =222=1()=1 =第三章第三章 概率概率23随机事件频

40、率概率、概率的意义与性质古典概型几何概型应用概率解决实际问题随机数与随机模拟知识点梳理知识点梳理（一）随机事件的概率（一）随机事件的概率1.基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n次试验中事件 A 出现的次数为事件 A 出现

41、的频数；称事件 A 出现的比例()=为事件A 出现的概率。对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率()稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件 A 的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数数 n 的比值()=与试验总次它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。（二）概率的意义（二）概率的意义参见必修 3 第 113-118 页。（三）概率的基本性质

42、（三）概率的基本性质1.基本概念：24（1）事件的关系：包含事件、并事件、交事件和相等事件；（参见必修3 第 119 页图3.3-1、图 3.3-2）。（2）互斥事件：若AB为不可能事件，即AB=，那么称事件 A 与事件 B 互斥。（3）对立事件：若 AB为不可能事件，即A B为必然事件，那么称事件A 与事件 B 互为对立事件。2.基本性质：（1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，因此 0P(A)1。（2）当事件 A 与事件 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)（3）当事件 A 与事件 B 对立时，则AB为必然事件，所以P(AB)=P(A)+P(B)=1（4）互斥事

43、件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：事件 A 发生且事件 B 不发生；事件 A 不发生且事件 B 发生；事件 A 与事件 B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；事件 A 发生 B 不发生；事件 B 发生事件 A 不发生。（四）古典概型（四）古典概型1.概念：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型。2.古典概型的概率公式：P(A)=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数（五）几何概型（五）

44、几何概型1.概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。2.几何概型的概率公式：P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）构成事件 A 的区域长度（面积或体积）人教版必修四人教版必修四第一章第一章 三角函数三角函数25任意角与弧度制，单位圆任意角的三角函数定义三角函数线三角函数的图像和性质三角函数模型的简单应用同角三角函数的基本关系式诱导公式知识点梳理知识点梳理（一）任意角（一）任意角1.任意角的概念正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：不作任何旋转形成的角2.象限角：角的顶点与原点重合，角

45、的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角。第一象限角的集合为|360 k 360+90,k Z第二象限角的集合为|360+90 k 360+180,k Z第三象限角的集合为|360+180 k 360+270,k Z第四象限角的集合为|360+270 ,)的性质的性质1.振幅：A；2.周期：T=21；3.频率：=2；4.相位：x+；5.初相：。注意：函数=(+)+，若当 x=x1时，取得最小值为 ymin；当 x=x2时，取得最大值为 ymax，则A=2()，B=2(+)，2=2 1(x1 0时,的方向与的方向相同；当 0时,的方向与的方向相反。2.运算律（1）()=()

46、；（2）(+)=+；)=（3）(+。3.平面向量共线定理共线，当且仅当有唯一一个实数，使=)与向量 (0。（七）平面向量基本定理（七）平面向量基本定理如果 ,，有且只12是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量有一对实数1,2，使=1 1+22。=+=(,)。（八）平面向量的正交分解及坐标表示（八）平面向量的正交分解及坐标表示（九）平面向量的坐标运算（九）平面向量的坐标运算=(2,2)，则：1.设=(1,1)，=(1+2,1+2,)，（1）+=(1 2,1 2,)，（2）（3）=(1,1)，12=21。（4）=(2 1,2 1)。2.设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：

47、（十）平面向量共线的坐标表示（十）平面向量共线的坐标表示1.设A(x1，y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则（1）线段 AB 中点坐标为(1+21+22,2)，)。（2）ABC的重心坐标为(1+2+31+2+33,3（十一）平面向量数量积的物理背景及其含义（十一）平面向量数量积的物理背景及其含义=|。1.数量积的定义：|2.数量级的几何意义：方向上的投影为：|（1）在|等于在|的乘积。（2）几何意义：数量积 的长度与的方向上的投影|都是非零向量，则：3.性质：设和=0。（1）同向时，=|；当反向时，=|；（2）当与|与|=2=|2或|=。|。（3）|30=()=)；（3）()4运算律

48、：（1）；（2）()(+=+。（十二）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（十二）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角=(2,2)，则=12+12。1.坐标运算：设两个非零向量=(1,1)，性质：若=(,)，则|2=2+2，或|=2+2。=(2,2)，则=12+12=0。设=(1,1)，都是非零向量，=(2,2)，是的夹角，则2.设、=(1,1)，与 12+12cos=|+122+22122第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换差角余弦公式和差公式倍角公式简单三角恒等变换知识点梳理知识点梳理（一）两角差的余弦公式（一）两角差的余弦公式1.cos()=coscos+sinsin2.记住 15的三角函

49、数值：12sin6 24cos6+24tan2 3（二）两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.cos(+)=coscos sinsin2.sin()=sincos cossin3.sin(+)=sincos+cossin4.31tan(+)=5.tan()=tan+tan1 tantantan tan1+tantan（三）二倍角的正弦、余弦、正切公式（三）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.sin2=2sincos，2.cos2=cos2 sin2=2cos2 1=1 2sin2，变形 1：cos2=3.tan2=2tan 1tan21+cos 22，变形 2：

50、sin2=1cos 22。.（四）简单的三角恒等变换（四）简单的三角恒等变换三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：1.角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：（1）2是的二倍；4是2的二倍；是 的二倍；是 的二倍；224（2）15=45 30=60 45=（3）=(+)；（4）4+=2(4)；302；（5）2=(+)+()=(+)()；等等442.