2021全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析).pdf

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1、2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)2828 解直角三角形解直角三角形(含解析含解析)一、选择题一、选择题1（2021浙江金华，T7，3 分）如图是一架人字梯，已知 ABAC2 米，AC 与地面 BC 的夹角为，则两梯脚之间的距离BC 为（）A4cos 米B4sin 米C4tan 米D4米cosa【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BDDC,再利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得出答案。【解答】解：过点 A 作 ADBC 于点 D,ABAC2 米,ADBC,BDDC,cosDCDC,AC2

2、DC2cos(米），BC2DC22cos4cos(米）。故选：A【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确表示出 DC 的长是解题关键。2（2021 浙江温州，8，4 分）图1 是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2 所示的四边形 OABC若ABBC1，AOB，则 OC2的值为（）2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)A1+1sin2Bsin2+1C1+1cos2Dcos2+1【考点】解直角三角形的应用【分析】在 Rt OAB 中，sinAB,可得 OB 的长度，在 Rt OBC 中，

3、根据勾股定理OBOB2+BC2OC2,代入即可得出答案【解答】解：ABBC1,在 Rt OAB 中，sinOBAB,OB1,sin在 Rt OBC 中，OB2+BC2OC2,OC2(1221+1)+1 2sinsin故选：A【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键3（2021 重庆 A 卷，10，4 分）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和 ND甲在山脚点 C 处测得通信基站顶端 M 的仰角为 60，测得点 C 距离通信基站MA 的水平距离 CB 为 30m；乙在另一座山脚点F 处测得点 F 距离通信基站 ND 的水平距

4、离 FE 为 50m，测得山坡 DF 的坡度 i1：1.25若 ND5DE，点 C，B，E，F 在同一8水平线上，则两个通信基站顶端 M 与顶端 N 的高度差为（参考数据：21.41，31.73）（）2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)A9.0mB12.8mC13.1mD22.7m【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题；解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】根据正切的定义求出 MB，根据坡度的概念求出 DE，进而求出 ND，结合图形计算，得到答案【解答】解：在 RtMCB 中，MCB60，CB30m，tanMCBMBCBtanMCB

5、30351.9（m），山坡 DF 的坡度 i1：1.25，EF50m，DE40（m），NDMB，CB5DE，8ND25（m），两个通信基站顶端 M 与顶端 N 的高度差40+2551.913.1（m），故选：C【点评】本题考查的是解直角三角形的实际应用仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角和俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键3（2021 黑龙江牡丹江，17，3 分）如图，AOB 中，OA4，OB6，AB27，将AOB 绕原点 O 旋转 90，则旋转后点 A 的对应点 A的坐标是（）A（4，2）或（4，2）B（23，4）或（23，4）2021 全国中考数学试卷分类-28 解直

6、角三角形(含解析)C（23，2）或（23，2）【考点】坐标与图形变化旋转D（2，23）或（2，23）【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力【分析】如图，过点A 作 AHOB 于 H，设OHm，则 BH6m，利用勾股定理构建方程求出 m，再分两种情形求解即可【解答】解：如图，过点A 作 AHOB 于 H，设 OHm，则 BH6m，AH2OA2OH2AB2BH2，42m2（27）2（6m）2，m2，AH42-2223，A（2，23），若将AOB 绕原点 O 顺时针旋转 90，则旋转后点 A 的对应点 A（23，2），若将AOB 绕原点 O 逆时针旋转 90，则旋转

7、后点 A 的对应点 A（23，2），故选：C【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点 A的坐标，属于中考常考题型4（2021 广东广州，9，3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ABC，使点 C落在 AB 边上，连结 BB，则 sinBBC的值为（）2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)A35B45C55D2 55【考点】旋转的性质；解直角三角形【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力【分析】在 RtABC 中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得ACAC6，BCBC

8、8，CACB90，在 RtBBC中，由勾股定理可求 BB的长，即可求解【解答】解：C90，AC6，BC8，ABAC2BC2366410，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ABC，ACAC6，BCBC8，CACB90，BC4，BBCB2BC2 1664 4 5，sinBBC故选：C【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BB长是解题的关键5（2021 山东淄博，11，5 分）如图，在RtABC中，ACB 90，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF AB交AC于点F若BC 4，AEF的面积为 5，则sin CEF的值为()BC45，BB4 552021 全国中考

9、数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)3A5B55C45D2 55【考点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE AE BE 1AB，进而得到2BEC 2A BFC，从而有CEF CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在RtBCF中，求出CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可【解答】解：连接BF，CE是斜边AB上的中线，EF AB，EF是AB的垂直平分线，SAFE SBFE 5，FBAA，SAFB10 BC 4，1AF BC，2 AF 5 BF，在RtBC

10、F中，BC 4，BF 5，CF 52423，CE AE BE 1AB，2A FBA ACE，又BCA 90 BEF，CBF 90 BFC 90 2A，CEF 90 BEC 90 2A，CEF FBC，sinCEF sinFBC CF3，BF5故选：A2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【点评】本题考查折叠轴对称的性质，直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键6（2021黑龙江绥化T113 分）已知在Rt ACB 中，C90，ABC75，AB5，点E 为边 AC 上的动点，点 F 为边 AB 上的动点，则线段 FE+EB 的最小值是（）A5 32B5

11、2C5D3【考点】轴对称最短路线问题；解直角三角形【专题】几何变换；推理能力【分析】作 F 关于 AC 的对称点 F，延长 AF、BC 交于点 B，当 B、E、F共线且与 AB垂直时，即求 BD 的长即可【解答】解：作 F 关于 AC 的对称点 F，延长 AF、BC 交于点 B，BAB30，EFEF，FE+EBBE+EF，当 B、E、F共线且与 AB垂直时，长度最小，即作 BDAB于 D，在 ABD 中，BD15AB，22故选：B【点评】本题主要考查轴对称的知识，将BE+EF 转化为求线段 BD 是解题的关键2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)7（2021 浙江宁波，1

12、，4 分）如图，在ABC 中，B45，C60，ADBC 于点 D，BD3若 E，F 分别为 AB，BC 的中点，则 EF 的长为（）A33B32C1D62【考点】含 30 度角的直角三角形；三角形中位线定理【专题】三角形；运算能力；推理能力【分析】由直角三角形的性质求出ADBD3,由锐角三角函数的定义求出DC1,由三角形的中位线定理可求出答案【解答】解:ADBC,ADBADC90,B45,BD3,ADBD3,C60,DCAD31,tan60o3ACDC2,E，F 分别为 AB，BC 的中点，EF1AC12故选：C【点评】本题考查了直角三角形的性质,三角形中位线定理,锐角三角函数,熟练掌握三角形

13、的中位线定理是解题的关键二、填空题二、填空题1（2021 内蒙古赤峰，16，3 分）某滑雪场用无人机测量雪道长度如图，通过无人机的镜头 C 测一段水平雪道一端A 处的俯角为 50，另一端 B 处的俯角为 45，若无人机镜头2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)C 处的高度 CD 为 238 米，点 A，D，B 在同一直线上，则雪道 AB 的长度为538米（结果保留整数，参考数据 sin500.77，cos500.64，tan501.19）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】根据等腰直角三角形的性质求出 BD，根据正切的定义求

14、出 AD，结合图形计算即可【解答】解：由题意得，CAD50，CBD45，在 RtCBD 中，CBD45，BDCD238 米，在 RtCAD 中，tanCAD则 ADCD，ADCD200 米，tan50则 ABAD+BD438 米，答：AB 两点间的距离约为438 米故答案为：438【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键2（2021 辽宁丹东，23，10 分）如图，一架无人机在空中 A 处观测到山顶 B 的仰角为 36.87，山顶 B 在水中的倒影 C 的俯角为 63.44，此时无人机距水面的距离AD50 米，求点B到水面距离 B

15、M 的高度（参考数据：sin36.870.60，cos36.870.80，tan36.870.75，sin63.440.89，cos63.440.45，tan63.442.00）2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想【分析】过点 A 作 AHBM 交于点 H，由题意可得：ADHM50，设 BMx，在 RtABH 中，AH BHCHAH，在 RtAHC 中，进而可根据AHtan36.87otan63.44oAH，求出 x 的值，即为 BM 的值【解答】解：过点 A 作 AHBM 交于点 H

16、，由题意可得：ADHM50 米，设 BMx 米，则 MCBMx 米BHBMHMBH（x50）米，在 RtABH 中，AH HCHM+MCHC（50+x）米，在 RtAHC 中，AH BH4(x50)otan36.873CH50 x，tan63.44o2450 x(x50)，32解得 x110，即 BM110 米，答：点 B 到水面距离 BM 的高度约为 110 米2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【点评】本题主要考查了锐角三角形的实际运用，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型3（2021湖北省黄冈T143 分）如图，建筑物BC 上有

17、一高为 8m 的旗杆 AB，从 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 53，观测旗杆底部 B 的仰角为 45，则建筑物 BC 的高约为24.2m（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】根据正切的定义列出关于x 的方程，解方程即可【解答】解：在 Rt BCD 中，BDC45，则 BCCD，设 BCCDx，则 ACx+8，在 Rt ACD 中，tanADC则 x+8xtan53，ACx8，CDx2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)x+81.

18、33x，x24.2（m），故建筑物 BC 的高约为 24.2m，故答案为：24.2【点评】本题考查的是解直角三角形的应用51仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概2念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键4（2021 广西北部湾经济区，15，3 分）如图，从楼顶A 处看楼下荷塘 C 处的俯角为 45，看楼下荷塘 D 处的俯角为60，已知楼高 AB 为 30 米，则荷塘的宽 CD 为（30103）米（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想【分析】在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案【解答】解：由题意可得，ADB60，ACB45，

19、AB30m，在 RtABC 中，ACB45，ABBC，在 RtABD 中，ADB60，BD3AB103（m），3CDBCBD（30103）m，故答案为：（30103）5（2021 江苏南通，15，4 分）如图，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60方向，距离灯塔2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)50 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 45方向上的B 处，此时 B 处与灯塔 P 的距离为256海里（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用方向角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力【分析】过点 P 作 PCAB，在 Rt

20、APC 中由锐角三角函数定义求出PC 的长，再在 RtBPC 中由锐角三角函数定义求出PB 的长即可【解答】解：过 P 作 PCAB 于 C，如图所示：由题意得：APC30，BPC45，PA50 海里，在 RtAPC 中，cosAPCPC，PAPCPAcosAPC503253（海里），2PC，PB在 RtPCB 中，cosBPCPBPC25 3256（海里），cosBPC2()2故答案为：256【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)握锐角三角函数定义，求出PC 的长是解题的关键6（2021 湖北武汉

21、，14,3 分）如图，海中有一个小岛 A一艘轮船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上；航行 12nmile 到达 C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上小岛 A 到航线 BC 的距离是10.4nmile（31.73，结果用四舍五入法精确到 0.1）【考点】解直角三角形的应用方向角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】过点 A 作 AEBD 交 BD 的延长线于点 E，根据三角形的外角性质得到BADABD，根据等腰三角形的判定定理得到ADAB，根据正弦的定义求出AE 即可【解答】解：过点 A 作 AEBD 交 BD 的延长线于点 E，由题意得，CBA60，E

22、AD30，ABD30，ADE60，BADADEABD30，BADABD，ADAB12nmile，在 RtADE 中，sinADEAE，ADAEADsinADE6310.4（nmile），故小岛 A 到航线 BC 的距离是 10.4nmile，故答案为 10.4【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)7AB4（2021四川乐山T153 分）在 RtABC 中，C90，有一个锐角为 60，若点 P 在直线 AB 上（不与点 A，B 重合），且PCB30，则 CP 的长为2 或3

23、【考点】含 30 度角的直角三角形【专题】几何综合题；数形结合；解直角三角形及其应用；数据分析观念【分析】分ABC60、ABC30两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可【解答】解：（1）当ABC60时，则 BC当点 P 在线段 AB 上时，1AB2，2PCB30，故 CPAB，则 PCBCcos30233；2当点 P（P）在 AB 的延长线上时，PCB30，ABC60，则PBC 为的等腰三角形则 BPBC2，（2）当ABC30时，同理可得，PC2；故答案为 2 或3【点评】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30 度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键8（2021益阳

24、，18，4 分）如图，RtABC 中，BAC90，tanABC，将ABC绕 A 点顺时针方向旋转角（090）得到ABC，连接BB，CC，则2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)CAC与BAB的面积之比等于【考点】三角形的面积；旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力【分析】证明ACCABB，可得（）2，解决问题【解答】解：由旋转的性质可知，BACBAC，BABCAC，ABAB，ACAC，ACCABB，（）2，CAB90，tanABC，）2（故答案为：【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，

25、解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型9（2021 广西贵港，17，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，AEBD，垂足为 E，连接 CE，若 tanADB12，则 tanDEC 的值是232021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【考点】矩形的性质；解直角三角形【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力【分析】过点 C 作 CFBD 于点 F，设 CD2a，易证 ABECDF（AAS），从而可求出 AECF3a，BEFD1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：如图，过点C 作 CFBD 于点 F，在 ABE 与 C

26、DF 中，AEB CFDABE CDF，AB CDABECDF（AAS），AECF，BEFD，AEBD，tanADB设 ABa，则 AD2a，BD5a，S ABDAB1，AD211BDAEABAD，22AECF2 5a，55a，52 53 5aa，55BEFDEFBD2BE5atanDEC故答案为：CF2，EF3232021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【点评】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握含 30角直角三角形的性质是解题的关键10.（2021常州，18，2 分）如图，在RtABC 中，ACB90，CBA30，AC1，D 是 AB 上一点（点 D

27、 与点 A 不重合）若在 RtABC 的直角边上存在 4 个不同的点分别和点 A、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是AD2【考点】垂线段最短；含30 度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的性质【专题】与圆有关的位置关系；几何直观【分析】设 RtABC 的直角边上存在点 E，使以点 A，点 D，点 E 为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D 是直角顶点时，过点D 作 AB 的垂线；当点 E 是直角顶点时，点 E 是以 AD 长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边 BC 相切时，为临界状态，此时这样的点有2 个，当此圆过点 C 时，也为临界状态，点D 和点

28、 B 重合，不符合题意【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，CBA30，AC1，AB2，设 RtABC 的直角边上存在点 E，使以点 A，点 D，点 E 为顶点的三角形是直角三角形，当点 D 是直角顶点时，过点 D 作 AB 的垂线；当点 E 是直角顶点时，点 E 是以 AD长为直径的圆与直角边的交点，如图所示，当此圆与直角边有3 个交点时，符合题意；2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)当以 AD 为直径的圆与 BC 相切时，如图所示，设圆的半径为 r，即 AFDFEFr，EFBC，B30，BF2EF2r，r+2r2，解得 r；AD2r；综上，AD 的长的取值范围

29、为：AD2故答案为：AD2【点评】本题主要考查含30角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；找到临界状态即以AD 为直径的圆与 BC 相切，是本题解题关键11（2021 湖北荆州，14,3 分）如图 1 是一台手机支架，图 2 是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点 A，B 转动，测量知 BC8cm，AB16cm当 AB，BC 转动到BAE60，ABC50时，点 C 到 AE 的距离为6.3cm（结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94，31.73）2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【考点】解直角三角形的应用【专题】解直角三角形

30、及其应用；运算能力；模型思想【分析】通过作垂线构造直角三角形，在 RtABM 中，求出 BM，在 RtBCD 中，求出BD，即可求出 CN，从而解决问题【解答】解：如图，过点 B、C 分别作 AE 的垂线，垂足分别为 M、N，过点 C 作 CDBM，垂足为 D，在 RtABM 中，BAE60，AB16，BMsin60AB31683（cm），2ABM906030，在 RtBCD 中，DBCABCABM503020，BCD902070，又BC8，BDsin7080.9487.52（cm），CNDMBMBD837.526.3（cm），即点 C 到 AE 的距离约为 6.3cm，故答案为：6.3202

31、1 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键12（2021 浙江丽水，15，4 分）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图 1 的七巧板，设计拼成图 2 的“奔跑者”形象来激励自己已知图 1 正方形纸片的边长为 4，图 2 中 FM2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD 之间的距离是133【考点】七巧板；正方形的性质【分析】如图 2 中，过点 E 作 EIFK 于 I，过点 M 作 MJFK 于 J想办法求出 BM，MJ，FK 与 CD 之间的距离，可得结论【

32、解答】解：如图 2 中，过点 E 作 EIFK 于 I，过点 M 作 MJFK 于 J由题意，ABM，EFK 都是等腰直角三角形，ABBM2，EKEF2 2，FK4，FK 与 CD 之间的距离为 1，EIFK，KIIF，EI1FK2，2MJEI，MJFM2，EIEF32021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)MJ4，3413+1，33ABCD，AB 与 CD 之间的距离2+故答案为：133【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型13（2021 湖南娄底，17，3 分）高速公路上有一种标线叫

33、纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行 如图，用平行四边形 ABCD 表示一个“鱼骨”，AB 平行于车辆前行方向，BEAB，CBE，过 B 作 AD 的垂线，垂足为 A（A 点的视觉错觉点），若 sin0.05，AB300mm，则 AA15mm【考点】平行四边形的性质；解直角三角形的应用【专题】多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；推理能力【分析】由平行线的性质和垂线的性质可得ABCABE90，可求ABACBE，利用锐角三角函数可求解【解答】解：BAAD，ADBC，ABBC，ABCABE90，ABACBE，sinABAsinAA0.05，ABAA3000.0515

34、（mm），故答案为：15【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，求出 ABACBE是解题的关键2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)14（2021浙江金华，T16，4 分）如图1 是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置木条 BC 上的点 P 处安装一平面镜，BC 与刻度尺边 MN 的交点为 D，从 A 点发出的光束经平面镜 P 反射后，在 MN 上形成一个光点 E已知 ABBC，MNBC，AB6.5，BP4，PD8（1）ED 的长为13（2）将木条 BC 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC（如图2），点 P 的对应点为 P，BC与 MN 的交点为

35、D，从A 点发出的光束经平面镜P反射后，在MN 上的光点为 E若DD5，则 EE的长为11.5【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力【分析】（1）由题意可得，ABP EDP，则ABBP，进而可得出 DE 的长；DEPD（2）过点 E作 EFG EDF，过点 E作 EGBC于点 G，易得 ABP EFP，由此可得ABBP，在Rt BDD中，由勾股定理可求出BD的长，可求出 BDD 的正切值，EFPF设 PF 的长，分别表示 EF 和 ED及 FG 和 GD的长，再根据 BD13，可建立等式，可得结论【解答】解：（1）如图，由题意可得，

36、APB EPD，B EDP90，ABP EDP，ABBP，DEPD6.54，DE8 AB6.5，BP4，PD8，DE13；故答案为：132021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)（2）如图 2，过点 E作 EFG EDF，过点 E作 EGBC于点 G，EFED，FGGD，AB MN，ABD+EDB180，ABD+EFG180，EFB+EFG180，ABP EFP，又 APB EPF，ABP EFP，ABBP6.54即，EFPFEFPF设 PF4m，则 EF6.5m，ED6.5m，在 Rt BDD中，BDD90，DD5，BDBP+PD12，由勾股定理可得，BD13，cos BD

37、D5，13GD5，ED13在 Rt EGD中，cos BDD GD2.5m，FGGD2.5m，BP+PF+FG+GD13，4+4m+2.5m+2.5m13，解得 m1,ED6.5,EEDE+DDDE13+56.511.5故答案为：11.52021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【点评】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的性质与判定，构造正确的辅助线是解题的关键三、解答题三、解答题1（2021 辽宁营口，21，10 分）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在 A 处时，D 处学校和 E 处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m 到达 B 处时，E处图书馆

38、在他的北偏东 15方向，然后他由 B 处继续向正东方向跑 600m 到达 C 处，此时 D 处学校在他的北偏西63.4方向，求 D 处学校和 E 处图书馆之间的距离（结果保留整数）（参考数据：sin63.40.9，cos63.40.4，tan63.42.0，21.4，31.7，62.4）【考点】解直角三角形的应用方向角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】过 D 作 DMAC 于 M，过 B 作 BNAE 于 N，设 MDx，在直角三角形中，利用三角函数即可 x 表示出 AM 与 CM，根据 ACAM+CM 即可列方程，从而求得 MD 的长，进一步求得 AD 的长，在直角三角形中，

39、利用三角函数即可求出AN 与 NE，即可求得 DN，从而求得 DE【解答】解：过 D 作 DMAC 于 M，设 MDx，在 RtMAD 中，MAD45，ADM 是等腰直角三角形，AMMDx，AD2x，在 RtMCD 中，MDC63.4，2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)MC2MD2x，AC600+6001200，x+2x1200，解得：x400，MD400m，ADMD4002，过 B 作 BNAE 于 N，EAB45，EBC75，E30，在 RtABN 中，NAB45，AB600，BNAN2AB3002，2DNADAN400230021002，在 RtNBE 中，E3

40、0，NE3BN330023006，DENEDN30061002580（m），即临 D 处学校和 E 处图书馆之间的距离是580m【点评】本题考查了直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握方向角的概念，正确作出辅助线是解题的关键2（2021湖北鄂州T208 分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐一市民骑自行车由 A 地出发，途经 B 地去往 C 地，如图当他由 A 地出发时，发现他的北偏东45方向有一信号发射塔 P他由 A 地沿正东方向骑行 42km 到达 B 地，此时发现信号塔 P2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)在他的北偏东 15方向，然后他由 B 地沿北偏东 75

41、方向骑行 12km 到达 C 地（1）求 A 地与信号发射塔 P 之间的距离；（2）求 C 地与信号发射塔 P 之间的距离（计算结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用方向角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识【分析】（1）根据题意得到PAB45，PBG15，GBC75，过点B 作 BDAP于 D 点，求得 ADBD4，得到PBD60，由 BD4，求得PD 4 3，于是得到结论；（2）过点 P 作 PEBC 于 E，根据PBG15，GBC75，求得PBE60，得到BE4，PE 4 3，根据 BC12，于是得到结论【解答】解：（1）依题意知：PAB45，PBG15，GBC75，过

42、点 B 作 BDAP 于 D 点，DAB45，AB 4 2，ADBD4，ABDGBD45，GBP15，PBD60，BD4，PD 4 3，PA（4+43）（km）；（2）PBD60，BD4，2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)PB8，过点 P 作 PEBC 于 E，PBG15，GBC75，PBE60，PB8，BE4，PE4 3，BC12，CE8，PC47（km）【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解3（2021 广西贺州市，22，8 分）如图，一艘轮船离开 A 港沿着东北方向直

43、线航行602海里到达 B 处，然后改变航向，向正东方向航行20 海里到达 C 处，求 AC 的距离【考点】解直角三角形的应用方向角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识【分析】延长 CB 交 AD 于点 D，在 RtABD 中，根据三角函数的定义求出 AD，BD，进而求出 DC，在 RtADC 中，由勾股定理得即可求出AC【解答】解：延长CB 交 AD 于点 D，则ADB90，由题意可知DAB45，ABD90DAB45，ABDDAB，ADBD，在 RtABD 中，AB602海里，sinDABBD，AB2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)ADBDA

44、Bsin45602BC20 海里，DC60+2080（海里），在 RtADC 中，由勾股定理得，AC260（海里），2，AD2 DC2602802100（海里）答：AC 的距离为 100 海里【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形是解决问题的关键4（2021湖北恩施州T208 分）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D 处观测乙居民楼楼底B 处的俯角是 30，观测乙居民楼楼顶C 处的仰角为 15，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高（参考数据：21.414，31.732，结果精确到 0.1m

45、）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】根据矩形的性质得到 BEAD10m，根据三角函数的定义得到 BD，解直角三角形求得 BFBC14.6m1133BC，CFBC，DFCF，于是得到BC+BC20，解得22222021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【解答】解：作 DEBC 于 E，CFBD 于 F，在 Rt BED 中，BEAD10m，EDB30，EBD60，BD2BE20m，在 Rt CBF 中，CBF60，BF13BC，CFBC，22在 Rt CDF 中，CDF45，DFCF3BC，2BDBF+DF，13BC+BC20，

46、22BC4014.6（m），13答：乙居民楼的高约为 14.6m【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形5（2021 湖南娄底，22，8 分）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021 年 5 月 29 日成功发射，震撼人心 当天舟二号从地面到达点A 处时，在 P 处测得 A 点的仰角DPA 为 30且 A 与 P 两点的距离为 6 千米，它沿铅垂线上升 7.5 秒后到达 B 处，此时在 P 处测得 B点的仰角DPB 为 45，求天舟二号从A 处到 B 处的平均速度（结果精确到 1m/s，取31.732，21.414）2021

47、全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识【分析】在 RtAPD 中，根据三角函数的定义求出AO 和 PD，在 RtAPD 中，根据三角函数的定义求出 BD，进而求出求出 AB，根据速度公式即可求出天舟二号从A 处到 B处的平均速度【解答】解：由题意可得：APD30，BPD45，AP6km，BDP90，在 RtBPD 中，APD30，AP6km，ADP90，cosAPDcos30PD，PAAD13AP3km，PDPAcos30633（km），22在 RtAPD 中，BPD45，PD33km，BDP90

48、，tanBPDtan45BDPDtan4533（km），故 ABBDAD3335.19632.196（km）2196m，则天舟二号从 A 处到 B 处的平均速度约为：21967.5293（m/s），答：天舟二号从 A 处到 B 处的平均速度约为 293m/s【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求出得出 PD 的长是解题关键6（2021 湖南岳阳，22，8 分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥如图，该河旁有一座小山，山高 BC80m，坡面 AB 的坡度 i1：0.7（注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A 与河岸

49、E、F 在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为DBE45，DBF31（1）求山脚 A 到河岸 E 的距离；BD，PD2021 全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)（2）若在此处建桥，试求河宽EF 的长度（结果精确到 0.1m）（参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60）【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题；解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识【分析】（1）在 RtABC 中，根据 AB 的坡度求出 AC，在 RtBCE 中，根据等腰直角三角形的性质可得 CEBC，由线段的和差即可求得AE；（

50、2）在 RtBCF 中，由三角函数的定义求出，根据线段的和差即可求出【解答】解：（1）在 RtABC 中，BC80，AB 的坡度 i1：0.7，BC1，AC0.7801，AC0.7AC56，在 RtBCE 中，BC80，BECDBE45，CBE90BEC904545，BECCBE，CEBC80，AECEAC805624（m），答：山脚 A 到河岸 E 的距离为 24m；（2）在 RtBCF 中，BC80，BFCDBF31，tanBFCBC，CF800.6，CFCF133.33，EFCFCE133.338053.3353.3（m），答：河宽 EF 的长度约 53.3m2021 全国中考数学试卷分