中职数学-8.2.1任意角的三角函数.ppt

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1、角角度度弧弧度度复习回顾：复习回顾：8.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数角的范围已经推广，那么对任一角角的范围已经推广，那么对任一角是否也能是否也能像锐角一样定义三角函数呢？像锐角一样定义三角函数呢？初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了为自变量，以比值为函数值，定义了角角的的正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切的三角函数的三角函数.本节课我们研究当角本节课我们研究当角是一个任意角时，其三是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示角函数的定义及其几何表示 1.任意角的三角函数的定义 设设锐角锐角

2、的顶点与原点的顶点与原点O重合，始边与重合，始边与x轴的非负半轴轴的非负半轴重合重合,那么那么的终边在第一象限，在的终边在第一象限，在的终边上任意一点的终边上任意一点P(a,b)(除开顶点除开顶点O),它与原点它与原点(即顶点即顶点)的距离是的距离是r(r0),那么那么根据初中所学过的三角函数的定义，有根据初中所学过的三角函数的定义，有 O Oxyr(1)(1)正弦正弦:sin=;:sin=;(2)(2)余弦余弦:cos=;:cos=;(3)(3)正切正切:tan=.:tan=.P P(a,b)ba 由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点P的位的位置改

3、变而改变，所以通常取置改变而改变，所以通常取r=1的位置。的位置。P(P(a,b)0 0 xyM MA(1,0)A(1,0)1 1 设设锐角锐角的顶点与原点的顶点与原点O重合，始边与重合，始边与x轴的非负半轴轴的非负半轴重合重合,那么那么的终边在第一象限，在的终边在第一象限，在的终边上的点的终边上的点P(a,b)与与原点原点(即顶点即顶点)的距离是的距离是1,那么根据初中所学过的三角函数那么根据初中所学过的三角函数的定义，有的定义，有(1)(1)正弦正弦:sin=:sin=b;(2)(2)余弦余弦:cos=:cos=a;(3)(3)正切正切:tan=.:tan=.我们称以原点为圆心，以单位长度

4、为半径的圆为我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆单位圆.1.任意角的三角函数的定义同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.1、任意角的三角函数的定义一 设设是任意一个角是任意一个角,的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P(P(x,y),),那么那么 (1)(1)正弦正弦:sin=:sin=y;(2)(2)余弦余弦:cos=:cos=x;(3)(3)正切正切:tan=(:tan=(x0).0).P(P(x,y)0 0 xyA(1,0)A(1,0)正弦、余弦、正切都是以角正弦、余弦、正切都是以角(弧度弧度)为自变量，以单位为自变量，以单

5、位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为们统称为三角函数三角函数。角的概念推广后，实际上是把角的集合角的概念推广后，实际上是把角的集合 与实数集与实数集R之间建立了一一对应的关系：之间建立了一一对应的关系：实数集实数集R角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数例例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：求下列角的正弦、余弦和正切值：解：解：（1）在直角坐标系中，作）在直角坐标系中，作（如图），（如图），得的终边与单位圆的交点坐标为得的终边与单位圆的交点坐标为 例例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：求下列

6、角的正弦、余弦和正切值：解：解：（2）当当 时，时，在直角坐标系中，在直角坐标系中，角角 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为（3）当当 时，时，在直角坐标系中，在直角坐标系中，角角 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 不存在不存在.xyO特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 例例2.已知角已知角终边上经过点终边上经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值求角的正弦、余弦和正切值.P P0 0(-3,-4)(-3,-4)0 0 xyM M0 0P(P(x,y)M M如图，设角如图，设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P(x,y)，解：解：分别过

7、点分别过点P、P0作作x轴的垂线轴的垂线MP，M0P0，则则 且且一般地一般地，设角，设角终边上任意一点终边上任意一点(异于原点异于原点)P P(x,y),),它到它到原点原点(顶点顶点)的距离为的距离为r00，则，则sinsin=;cos=;cos=;tan=;tan=.=.三角函数的坐标定义三角函数的坐标定义：(见教材见教材86页页)例例2.已知角已知角终边上经过点终边上经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值求角的正弦、余弦和正切值.解法解法2：点点P0(-3,-4),到原点的距离为到原点的距离为故由三角函数的坐标定义知：故由三角函数的坐标定义知：.P P0 0(-3,-4)(

8、-3,-4)0 0 xyM M0 0变式变式1 1：已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2a,-3a)(a0)，求，求角角的正弦、余弦、正切值的正弦、余弦、正切值变式变式2 2：已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2a,-3a)，求角，求角的的正弦、余弦、正切值正弦、余弦、正切值变式3划归的思想划归的思想划归的思想划归的思想例例3.若角的终边落在直线若角的终边落在直线 y=2x上，求上，求的三角函数值的三角函数值.解：解：若角的终边在第一象限，若角的终边在第一象限，xyO可在其终边上取一点可在其终边上取一点 P(1,2)，P则则由三角函数坐标定义得：由三角函数坐标定义得：例例3.若角的

9、终边落在直线若角的终边落在直线 y=2x上，求上，求的三角函数值的三角函数值.解：解：若角的终边在第三象限，若角的终边在第三象限，xyO可在其终边上取一点可在其终边上取一点 P(-1,-2)，P则则由三角函数坐标定义得：由三角函数坐标定义得：2、三角函数值的符号 均为正均为正sinsintantanx0 0ycoscos口诀：口诀：“一全、二正、三切、四余一全、二正、三切、四余”(1)(1)正弦正弦:sin=:sin=y;(2)(2)余弦余弦:cos=:cos=x;(3)(3)正切正切:tan=(:tan=(x0).0).规律：规律：“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正一全正、二正弦正、三正

10、切正、四余弦正”“一全二正弦，三切四余弦一全二正弦，三切四余弦”例4 判断下列各三角函数值得符号思考：思考：若若 成立时，角成立时，角为第几象限角？为第几象限角？解：解：由由知知的终边在第三或第四象限或与的终边在第三或第四象限或与x轴的非正半轴重合轴的非正半轴重合 的终边在第一或第三象限的终边在第一或第三象限 故角故角为第三象限角为第三象限角.1.角角的终边经过点的终边经过点P(0,b)则则()A.sin=0 B.sin=1C.sin=-1 D.sin=12.若角若角600o的终边上有一点的终边上有一点(-4,a),则则a的值是的值是()DB课后课后 练习练习课后课后 练习练习3.已知是第三象限且 ，问 是第几象限角？4.若在第四象限，试判sin(cos)cos(sin)的符号 课后作业课后作业1.教材第教材第88页页 习题习题2.作业本作业本