2022年成人高考专升本高等数学二复习教程 .docx

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1、精品_精品资料_高等数学二复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1. 函数概念与性质函数的基本性质单调、有界、奇偶、周期几类常见函数复合、分段、反、隐、初等函数2. 极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法就求极限3. 连续函数连续左、右连续与间断懂得并会应用闭区间上连续函数的性质最值、有界、介值二、题型与解法A. 极限的求法 1用定义求 2代入法对连续函数,可用因式分解或有理化排除零因子 3变量替换法 4两个重要极限法 5用夹逼定理和单调有界定理求 6等价无穷小量替换法 7洛必达法就与 Taylor 级数法 8其他微积分性质,数列与级数的性质可编

2、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. limarctan xxlimarctan xx1 等价小量与洛必达 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 ln12 x3 x02 x36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知limsin 6xxf x0,求lim 6f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x3x0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limsin 6xxf xlim6 cos6xf xxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x0x 3x03x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

3、lim36 sin 6 x2 yxy lim216 cos 6x3 yxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x02166 x3 y 006x06y 072可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 6f xlimylimy 7236洛必达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x2x0 2 xx0 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. lim 2 x x 1重要极限 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x1a xb x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

4、4. 已知 a、b 为正常数,求 lim x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 taxb x2x3 x , ln t023 ln a xxb x ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim ln tlim3ax ln abx ln b3 ln ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0 a xbx2变量替换 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tab3 / 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. lim cos x1ln 1x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下

5、载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 t12cos x ln1 x , ln t1ln1x 2 lncos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limln tlimtan x1te1 / 2 变量替换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设x0f xx连续,02 xf 020, f 00 ,求limx 2f tdt01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 洛必达与微积分性质 lncos x x2 , x0x0 x2xf t dt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

6、_精品资料_7. 已知f xa, x0在 x=0 连续,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 alimlncosx / x21 / 2连续性的概念 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、补充习题作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. limex1x3洛必达 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x01xcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. lim ctgx11 洛必达或 Taylor x0sin xxxt

7、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xedt3. lim01洛必达与微积分性质 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x21e其次讲 导数、微分及其应用一、理论要求1. 导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导基本公式、四就、复合、高阶、隐、反、参数方程求导会求平面曲线的切线与法线方程2. 微分中值定理懂得 Roll 、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理睬用定理证明相关问题3. 应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会运算曲率半径二、题型与解法A. 导数微分的运算基本公式、四就、复合、高阶、隐函数、参数方程求导xarc

8、tan tdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. yy x由 2 yty 2et5 打算,求 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. yy x由ln xyx ysin x 打算,求dy| x 01dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23解：两边微分得x=0 时 yy cos xy ,将 x=0 代入等式得 y=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. yy x由2 xyxy 打算,就dy

9、 |x 0ln 21) dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B. 曲线切法线问题4. 求对数螺线e 在（ ,）（ e/ 2 ,/ 2处切线的直角坐标方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x e解：y eye / 2cos sin, x, y |x/ 20, e/ 2 ,y|/ 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.fx 为周期为5 的连续函数,它在x=1 可导,在x=0 的某邻域内满意f1+sinx-3f1-sinx=8x+ox.求 fx 在 6,f

10、6 处的切线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：需求f 6,f 6或f1,f 1,等式取 x-0 的极限有： f1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf 1sin x3 f 1sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xtlim f 1tf 13 f 1t f 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t04 f 18tf 12t2y2x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 导数应用问题6.

11、 已知 yf x对一切x满意xf x2x f x1e x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f x00x00 ,求 x0 , y0 点的性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 xx 代入, f x ex 0 10, x00,故为微小值点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000ex0 xx30, x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. yx1 2,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

12、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：定义域x,11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0y0驻点x拐点x0及x 0.x31：铅垂. yx2：斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 求函数 y x1e/ 2 arctan x 的单调性与极值、渐进线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：yx2x1x2 e/ 2 arctan x驻点 x0与x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

13、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_渐： ye x2与yx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D. 幂级数绽开问题dx9.dx 0sin xt 2 dtsin x21xt 2 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinxt 2 xt 21 xt 63.1 1 n2n1. xt 4n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinxxsinxt 2 dtt 2x31 x3t 31 x7 x3.7t) 71) nx 4n1 n 114n12n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

14、品资料_033.74n12n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdx 0sinxt 2 dtx21 x63. 1 nx2 2n2n11.sinx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或： xtud0 sin u 2 dx xdudxdx 0sin u2dusin x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 求f xx 2 ln1x在x0处的n阶导数 f n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x 2 ln1xx2 xxx2323

15、n 2x 1n 1n2o xn 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E. 不等式的证明=f n 0 1n1n.n2x 4x5x323nx 1 n 1n2o xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设x0,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证（ 1x) ln2 1xx , 11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ln 2ln1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证： 1令g x1x ln 2 1xx 2 ,

16、 g 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x, g x, g x2 ln1x0, g 0g 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0,1时g x单调下降,gx0, g x单调下降可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x0, g x单调下降,g x0.得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令h x1ln1x1, x0,1, h xx0, 单调下降,得证.可编辑资料 - - -

17、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F. 中值定理问题12.设函数f x在1,1 具有三阶连续导数,且f 10, f11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 00 ,求证：在 -1,1上存在一点,使f 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证： fxf 0f 0 x1 f 0 x22.1 f 3.x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中0, x, x1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0f 1将 x=

18、1 , x=-1 代入有f 01f 021f 1 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f 1f 01 f 021 f 26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减：f 1f 2 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1,2 ,2f 21 f2 21f4 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. eabe ,求证： lnblna2 ba e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证： Lagrange :f bbf a af 可

19、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f xln 2ln 2 bx,bln 2 a a2 ln可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 t ln t,t t1 ln tt 20e 2 ln2e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln 2 bln 2 a4 ba e2关键：构造函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、补充习题作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. f xln1x1x 2xet sin 2t,求y032可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 曲线yet cos 2t1在0,1处切线为 y2 x101

20、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. yx ln e xx0的渐进线方程为 yxe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24. 证明 x0 时 x1) ln x x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证：令g x x21) ln x x12, g x, g x, g x2 x21x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g 1g 10, g 120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

21、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0,1, g0, g2g0x0,1, g0g0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1, g0, g2x1, g0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1. 不定积分把握不定积分的概念、性质线性、与微分的关系会求不定积分基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部2. 定积分懂得定积分的概念与性质懂得变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题长、面、体会用定积分求物理问题功、引力、压力及函数平均值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、题型与解法A.

22、 积分运算dx1.x4xdx24x2arcsin x2C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.e 2x tan x1) 2 dxe2x sec2xdx2 e 2xtan xdxe 2xtan xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设f ln xln1x,求xf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：fxdxln1ex xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e x ln1ex ex

23、11exdxx1e x ln 1ex C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arctan x4. 1x 2dx1arctan x |1xlimbb 11xx1 x2dx1 ln 242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B. 积分性质5. fx 连续, x1f xtdt,且 limf xA ,求 x 并争论 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0在 x0 的连续性.x0xxf y dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f000, yxtx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xxf xxf ydy02 0Alim 0A / 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx6. tfdx 0 x 2x t 2 dtd 2dxxf x 202x0t 2 d t 2x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx2f y d yxf x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 积分的应用2dx 03a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 设f x 在0 ,1 连续,在0,1上f x0 ,且xf xf xx ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f x

25、 与 x=1,y=0 所围面积 S=2.求 f x ,且 a=.时 S 绕 x 轴旋转体积最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： d dxf x 3a x2f x3a x 2cx 21f xdx02 c4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x3a2x241 xV 12y dx0a50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 曲线 yx1 ,过原点作曲线的切线, 求曲线、 切线与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转的外表积.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：切线 yx / 2 绕 x 轴旋转的外表积为2 yds50可编辑资料 - -

26、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 yx1 绕 x 轴旋转的外表积为22 yds15 516可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总外表积为11 516可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、补充习题作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln sin x1.dxsin 2 xx52.2cotdxx ln sin 2 xcot xxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x6x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arcsinx3.dxx第四

27、讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1. 向量代数懂得向量的概念单位向量、方向余弦、模明白两个向量平行、垂直的条件向量运算的几何意义与坐标表示2. 多元函数微分懂得二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质懂得偏导数、全微分概念能娴熟求偏导数、全微分娴熟把握复合函数与隐函数求导法3. 多元微分应用懂得多元函数极值的求法,会用Lagrange 乘数法求极值4. 空间解析几何把握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、题型与解法A. 求偏导、全微分1.f x 有二阶连续偏导,z f e

28、sin y 满意z2 xyy ez ,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xz1xxuf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f f0f uc euc2e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22. z1 f xy xyxy) ,求z x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. yy x, zz x由zxf xy, F x, y, z0打算,求 dz / dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

29、品_精品资料_B. 空间几何问题4. 求xyza上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解： x /x0y /y0z /z0ada可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25. 曲面 x2 y3z21在点1,2,2 处的法线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 极值问题6. 设 zz x, y 是由 x26xy10 y22 yzz2180 确定的函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 zz x, y 的极值点与极值.三、补充习题作业xy2z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. zf xy, yg, 求xx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. zxf xy,yyzg,