2022年高等数学第四讲一元函数积分的概念性质与基本定理.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -一、一元函数积分的概念、性质与基本定理1、原函数、不定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间上,如 F/xfx,称 fx为 F x的导函数,称 F x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 fx的原函数,原函数与导函数是一种互逆关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 F x为 fx的一个原函数,就F xC 为fx的全体原函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

2、_精品资料_记为fxdx ,即fxdx = F xC不定积积分性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12fxdx /F/ xdxfx 或 dFxCfxdxfx dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3kfxdxkfxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 fxgxdxfxdxgxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原函数与导函数有互逆关系, 由导数表可得积分表.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例、P98例 3.1已知 F x

3、ln x是x的一个原函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求： dF sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： F /xlnx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dFsin xdFsinx dsinx dsinxlnsinx sinxcosxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例、 fx的导函数是sin x ,就 fx的原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x

4、c1 xc2 , c1 、c 2 为任意常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例、在以下等式中,正确的结果是C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、f / xdxfxB 、dfxfx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

5、_C、 d dxf xdxfxD 、 df xdxfx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例、x3x 4 - x47x 154 dx11 dxx 211x 2x 4 11 dxx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 44x 4C72、运算方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

6、 - - -01换元法第一类换元法（凑微分法）常用凑微分形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dkxxe dxkdxxded x1 dx xcdx dlnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosxdsin x1dxd 1 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21dx2xdx sec2xdxd tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dx 1 - x 2d arc sin xxdx1x 2d1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

7、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2- xdxd1x 2sin 2xdxd sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 - x 22sin 2x dxd cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例、dx32x11232xd32x1 ln 32xc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳

8、- - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、ln x dx xlnx d ln x2 lnx 2c33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、cos xxsin3 xdx1sin3 x d sin x21 sin 4 xc42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、d x1 - x 22-x 3d21-x 31 - x31xc1-x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_210、xedxed-xec 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、

9、1dx11dx1 arctan xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2x 21a1xaaa a1112x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12、9d x4x 21232d2x2x 21arctanc6a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13、x 2d x2x5x1 2dx 41c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 arctan x1c22114、d xarcsin xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15、a 2 - x 2adxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

10、_精品资料_112x- 9x 2523x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 arc sin 23xc35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16、sec2 x tan x11tan xdtanx112tanx1c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_217、tan4xdxtan2xsec2 x1dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2tanxd tanxsec x1dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 tan3 x3tanxx

11、C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18、arcsin4 xdxarcsin4xd arcsinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 21 arcsin5 xC 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19、ex si

12、nex1 dxsinex1d ex1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosex1C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20、cosxx ds2cosxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sinxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21、arctanx dx2arctanx dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x x1x2arctanx d arctanx2arctanxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22、11dx1exexdx1ex1ex 1e dxxex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

13、资料_xxd 1e1exxln 1exC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23、e x1dxe2 x4dexe2 x4dexex e 2 x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxxde2x1 arctan e11e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x1 arctane224eex1 lne2 x4844) C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P100,9,10,14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - -

14、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -除了凑微分法外其它常用变量代换(1) 被积函数中含有二次根式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2x 2a2x 2x 2a 2,令 x,令 x11au1,令 xa sin t a tan t a sect可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如是ax 2bxC 配方u 2a2 ,u 2a 2 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

15、例 1、dxx 2令 xsin t,dxcos tdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原式costcostdt1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tsin2 t x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cot2cot ttdttcsc2 t C1dt1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21xarcsinxC x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例 2、x 2x 2dx P105 例 4二种解法4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

16、迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（2）被积函数中含一般根式dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3例 3、1x2P106（6）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 3x2txt 32 dx3t 2 dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

17、_精品资料_3t 2原式dt1t3 t11dt1t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_233x2233x233ln1x2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、1dx令xt 6x3 x 26t 5t 2dx6t 5 dt1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式dtt 3t 46dt1t6 t1dt1t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26ttln 1tC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2363x6x66 ln 1xC可编辑资料

18、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x例 5、e解：令1dxex1text 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xln t 21dx 2t2tdt t 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式t2tt 21dt21t 21dtln t1C t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ex1 lnex11lnex11C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - -

19、- - - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_02 分部积分 如 u x、 v x均具有连续的导函数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u dvuvvdu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、xcos x dxxdsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x sin x -sin x dxx sin xcos xc可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品_精品资料_例 2、xe x dxxde x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xe xe x dxxe xe xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、arc2sin xdxxarc2sinxx 2arcsin x1dx 1 - x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x arc sinx2 arc sinxd1 - x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x arc sinx21x 2 arc sinx -1 - x 21dx21x

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x arcsinx21x 2 arcsinx- 2xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、ln xdx x 2ln x d1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lnx xlnx x1dx x 2- 1c x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,

22、共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5、ln lnxdx xln ln xd ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln xln ln x -ln x1ln x1 dx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln x lnln x- ln xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

23、品资料_例 6、xtan 2 xdxx 2x sec2 x1dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xdtanxxtanx22tan x dxx 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x tan xln cos x -c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、x 2 arctan x2dxx 2121 arctan xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1arctan xx1xarctan x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arctanxdx1x 2arctan

24、xdarctanx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x arctan xxdx1x 21 arctan x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x arctan x1 ln12x 2 1 arctan x 2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8、lnx21

25、xdxxlnx21xdxc21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xlnx1x 2 1x 2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9、e2xcosex dxex dsinex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex sinexsinex dexex sinexcosexc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10、x 3x 2sin12 xdxx 2 1 12cos 2 x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_64x 3164x

26、2 dsin2xx 2sin2x12xsin 2x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 3x 264x 31sin 2x1xd cos2x 411可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2sin2x64x cos2x4sin 2xc8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11、xarcsinxdxarcsinxd1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 221xarcsinxxc例 12、P109 例 3.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载