2022年相似三角形的性质及判定知识点总结经典题型总结.docx

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1、精品_精品资料_相像三角形的性质及判定中考要求考试要求板块A 级要求B 级要求C 级要求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相像三角形明白相像三角形把握相像三角形的概念,判定及性质,以及把握相关的模型会运用相像三角形相关的学问解决有关问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点睛一、相像的有关概念1. 相像形具有相同外形的图形叫做相像形相像形仅是外形相同,大小不肯定相同相像图形之间的相互变换称为相像变换2. 相像图形的特性两个相像图形的对应边成比例,对应角相等3. 相像比两个相像图形的对应角相等,对应边成比例二、相像三角形的概念1. 相像三角形的定义对应角相等,对应边

2、成比例的三角形叫做相像三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图, ABC与 A B C相像,记作 ABC A B C,符号 读作 “相像于 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AABCBC2. 相像比相像三角形对应边的比叫做相像比全等三角形的相像比是1 “全等三角形 ”肯定是 “相像形 ”, “相像形 ”不肯定是 “全等形 ”三、相像三角形的性质1. 相像三角形的对应角相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图, ABC与 A B C相像,就有AA ,B B ,C C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AABCBCABBCACA BB

3、 CA C2. 相像三角形的对应边成比例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABC与 A B C相像,就有k （ k 为相像比）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 相像三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相像比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1, ABC与 AABBCACA BB CA C如图B C相像, AM 是 ABC中 BC 边上的中线, A M 是 A B C中 B C 边上的中线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有kAM（ k 为相像比）A M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BMCBM C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图 2, ABC与 A B C相像, AH 是 ABC中 BC 边上的高线, A H 是 A B C图 1中 B C边上的高线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 ABBCACkAH（ k 为相像比）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A BB CA CA HAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BHCBHC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

5、品资料_如图 3, ABC与 A B C相像, AD 是 ABC中 BAC 的角平分线, A D 是 A B C图 2中 B A C 的角平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分线,就有ABBCACkAD （ k 为相像比）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A BB CA CA DAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BDCBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 34. 相像三角形周长的比等于相像比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图 4, ABC与 A B C相像,就有ABBCACk （ k 为相像比）应用比例的等比性

6、质有A BB CA C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABBCACABBCACk A BB CA CA BB CA C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AABCBC图 45. 相像三角形面积的比等于相像比的平方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图 5, ABC与 A B C相像, AH 是 ABC中 BC 边上的高线, A H 是 A B C中 B C 边上的高线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 ABBCACkAH（ k 为相像比）进而可得S ABC1BCAH 2BCAHk 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

7、A BB CA CA HS A B C1B CA H 2B CA H可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BHCBHC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 5四、相像三角形的判定1. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相像2. 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像可简洁说成：两角对应相等,两个三角形相像3. 假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相像4. 假如一个三角形的三条边与另一个三角形的

8、你对应成比例,那么这两个三角形相像可简洁的说成：三边对应成比例,两个三角形相像5. 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像6. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相像（常用但要证明）7. 假如一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等,那么这两个等腰三角形相像.假如它们的腰和底对应成比例,那么这两个等腰三角形也相像五、相像证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 横向定型法欲证 ABBCBEBF,

9、横向观看,比例式中的分子的两条线段是AB 和 BC ,三个字母 A ,B ,C 恰为 ABC 的顶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点.分母的两条线段是BE 和 BF ,三个字母 B ,E ,F恰为 BEF的三个顶点 因此只需证 ABC EBF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 纵向定型法欲证 ABDEBCEF,纵向观看,比例式左边的比AB 和 BC 中的三个字母 A ,B ,C 恰为 ABC的顶点.右边的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比两条线段是 DE 和 EF 中的三个字母D ,E ,F恰为

10、 DEF的三个顶点因此只需证 ABC DEF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 中间比法由于运用三点定形法经常会遇到三点共线或四点中没有相同点的情形,此时可考虑运用等线, 等比或等积进行变换后,再考虑运用三点定形法查找相像三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时,常用到中间比比例中项式的证明, 通常涉及到与公共边有关的相像问题.这类问题的典型模型是射影定理模型,模型的特点和结论要娴熟把握和透彻懂得倒数式的证明,往往需要先进行变形,将等式的一边化为1,另一边化为几个比值和的形式,然后对比值进行等量代换,进而证明之复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换）,

11、等比代换,等积代换,将复合式转化为基本的比例式或等积式,然后进行证明六、相像证明中常见帮助线的作法在相像的证明中, 常见的帮助线的作法是做平行线构造成比例线段或相像三角形,同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等如图： AD 平分BAC 交 BC 于 D ,求证： BDAB DCAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法一：过 C 作 CE AD ,交 BA 的延长线于 E E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1E , 23 12 , 3E ACAE A1 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AD CE

12、 , BDBABA DCBEACBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：做平行线构造成比例线段,利用了“A”型图的基本模型证法二.过 B 作 AC 的平行线,交 AD 的延长线于 E A 12E , ABBE 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BE AC , BDBEAB DCACACBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：做平行线构造成比例线段,利用了“X”型图的基本模型七、相像证明中的面积法EA面积法主要是将面积的比,和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1BCA

13、HBCHD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图：S ABCS ACD21CDAH 2BC CD图1： “山字A”型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BHGC O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图：S ABCSBCD1BCAH 21BCDG 2AHAO DGODD图2： “田字 ”型AED可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图：S ABDS ACES ABDS AEDS AEDS ACEABADABAD AEACAEACB C图3： “燕尾 ”型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

14、资料_八、相像证明中的基本模型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AAADEEDFE DAEIF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCBCBGC BDHGC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABABAEBAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OOFECDCDCFDCDAAAED ADHOEEBCBCDBCDBCAEAC A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BDCBCDBDCADB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AAA

15、ADDDGDEGEEE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B CFBC FBCFBGCF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADFBECGAHDFGBECBAADDFNFMPECBH EC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题精讲一、与三角形有关的相像问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】 如图,在 ABC中, ACAB ,点 D 在 AC 边上,如在增加一个条件就能使 ABC ACB,就这个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条件可以是ADBC【巩固】如图, D 、 E

16、是ABC 的边 AC 、 AB 上的点,且 ADACAE AB , 求证：ADEB .AEDBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】 如图, 在 ABC 中, ADBC 于 D ,CEAB 于 E , ABC 的面积是BDE 面积的 4 倍, AC的长 .6 ,求 DE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AEBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】 如图, ABC 中,ABC60,点 P 是 ABC内一点,使得APBBPCCPA ,PA8,PC6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 PBAPBC【巩固】如图,已知三个边长

17、相等的正方形相邻并排,求EBFEBG A HGFB CDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】 如图, 已知 ABC 中,5AE : EB1: 3 ,BC3: CD2 :1 , AD 与 CE 相交于 F ,就 AFEFFCFD的值为（）A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. B.1C.D.2 22EFBCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】在ABC 中, BDCE , DE 的延长线交 BC 的延长线于 P , 求证： ADBPAECP .ADEBCP【巩固】 如图, M 、 N 为 ABC 边 BC 上的两点, 且满意 BMMNN

18、C ,一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、AM 和 AN 的延长线于点D 、 E 和 F .求证： EF3DE .ADEBMNC F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】 如图,已知AB / / EF/ /CD ,如 ABa , CDb , EFc ,求证： 111 .cab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACEBFD【巩固】 如图, ABBD ,CDBD ,垂足分别为 B 、 D , AC 和 BD 相交于点 E , EFBD ,垂足为 F .证明：111.ABCDEF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACEBFD可编辑资料 - - -

19、欢迎下载精品_精品资料_【巩固】如图,已知AB / / EF/ /CD ,找出S ABD 、S BED 、 S BCD 之间的关系,并证明你的结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CAEBHF MDN【例 5】 如图,在四边形 ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O ,直线 l 平行于 BD ,且与 AB 、 DC 、 BC 、 AD及 AC 的延长线分别相交于点M 、 N 、 R 、 S 和 P .求证： PMPNPRPSABDOClMNPRS【巩固】已知,如图,四边形 ABCD ,两组对边延长后交于E 、F ,对角线 BD EF ,AC 的延长线交 EF 于 G 求证

20、： EGGF 【考点】相像三角形的性质与判定【难度】 5 星A【题型】解答【关键词】BDCEGF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 6】 如图,ABC 中, BCa ,如D1 ,E1 分别是 AB ,AC的中点,就D1E11 a .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 D2、E2分别是D1B、E1C的中点,就D2E21aa3 a .A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 D3、E3分别是D2B、E2C的中点,就D3E313 aa7 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 Dn

21、、En 分别是Dn-1 B、 En -1C的中点,就248Dn En .D 1E 1D2E2D 3E3DnEnBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 7】 如图, ABC内有一点 P ,过 P 作各边的平行线,把 ABC分成三个三角形和三个平行四边形如三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个三角形的面积S1 ,S2 ,S3 分别为 1 ,1 ,2 ,就 ABC的面积是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FDS1AIS2E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

22、精品资料_S3 PBHGC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 8】 如图,梯形 ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为（）p ,q ,就梯形的面积是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22A 2pq222B pqDCp 2 q2q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22C pqpqD Pq2222pqOp2AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】如图,梯形ABCD 中, AD BC ,两条对角线AC 、 BD 相交于

23、 O ,如S AOD: S COB1: 9,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S BOC : S DOCDAOCB二、与平行四边形有关的相像问题【例 9】 如图, 已知平行四边形 ABCD 中,过点 B 的直线顺次与AC 、 AD 及 CD 的延长线相交于点E 、F 、G ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 BE5 , EF2 ,就 FG 的长是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_GAFDEBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】如图,已知DE AB, OA2OCOE ,求证： AD BC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

24、品_精品资料_CDEOAB【例 10】 如 图,ABCD的对角线相交于点O ,在 AB 的延长线上任取一点E ,连接 OE 交 BC 于点 F ,如ABa, ADc, BEb,求 BF 的值DCDCKOOFFABEABE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】如图： 矩形 ABCD 的面积是 36,在 AB ,AD与 CF 的交点为点 O ,求 FOD 的面积.边上分别取点E ,F,使得 AE3EB , DF2 AF ,且 DE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCBC EEOOAFDAFDK三、与梯形有关的相像问题【例 11】 已知：如图,在梯形 ABCD 中,

25、 AB / /CD , M 是 AB 的中点,分别连接 AC 、 BD 、 MD 、 MC ,且 AC与 MD 交于点 E , DB 与 MC 交于 F .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证：EF / /CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 ABa , CDb ,求 EF 的长 .AMB EF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】 如图, 在梯形 ABCD 中, AD BC, ADa,BCb ,E ,F分别是 AD ,BC的中点, AF 交 BE 于 P ,可编辑资料 -

26、- - 欢迎下载精品_精品资料_CE 交 DF 于 Q ,求 PQ 的长AEDPQOBFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 12】如图,已知梯形 ABCD 中, AD/ BC ,A90, ABa , ADb , BC2b ab , DEDC , DE 交 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于点 E ,连接 EC .（ 1）判定DCE 与ADE , DCE 与BCE 是否分别肯定相像,如相像,请加以证明.（ 2）假如不肯定相像,请指出a 、 b 满意什么关系时,它们就能相像.DAECB四、与内接矩形有关的相像问题【例 13】ABC 中,正方形 EFGH的两个

27、顶点 E 、F 在 BC 上,另两个顶点 G 、H 分别在 AC 、 AB 上, BC15 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC 边上的高 AD10 ,求 S EFGH .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AAHGEF MBEDFCBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】如图,已知ABC 中, AC3 ,BC4 , C90,四边形 DEGF为正方形,其中 D ,E 在边 AC ,BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上, F ,G 在 AB 上,求正方形的边长CDEAFGB【例 14】如 图,已知ABC 中,四边形DEGF为正

28、方形,D ,E 在线段 AC ,BC 上, F ,G 在 AB 上,假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ADFS CDE1 , S BEG3 ,求 ABC 的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDEAFGB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】如图,在ABC 中, AB BC 于 F 点5 , BC3 , AC4 ,动点 E 与点 A , C 不重合 在 AC 边上, EF AB 交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等时,求 CE 的长当 ECF 的周长与四边形 EABF 的周长

29、相等时,求 CE 的长试问在 AB 上是否存在点 P ,使得EFP 为等腰直角三角形？如不存在,请简要说明理由.如存在, 恳求出 EF 的长CEFA B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课后作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 直线 DE 与 ABC的 AB 边相交于点 D ,与 AC 边相交于点 E ,以下条件： DE BC. AEDB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AEACADAB . AEEDACBC中,能使 ADE与 ABC相像的条件有（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个2.

30、 如图,在ABC 的边 AB 上取一点 D ,在 AC 取一点 E ,使 ADAE,直线 DE 和 BC 的延长线相交于 P ,求证： BPBDCPCEADEB CP3. 已知： P 为ABC 的中位线 MN 上任意一点, BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、 AB 于 D 、 E ,求证：ADAE1DCEBAEDMNPBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如图,已知在矩形ABCD 中, E 为 AD 的中点, EFEC 交 AB 于 F ,连接 FC （ ABAE ） .（ 1） AEF 与ECF 是否相像,如相像,证明你的结论.如不相像,请说明理由.（ 2）设 AB

31、k 是否存在这样的 k 值,使得AEF BCF ,如存在,证明你的结论并求出k 值.如不BC存在,说明理由 .AEDFBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如图,在梯形 ABCD 中, AD BC, AD3 ,BC9 ,AB6 , CD4 ,如 EF BC,且梯形 AEFD 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_梯形 EBCF 的周长相等,求 EF 的长ADEFBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 如图, 已知 ABC 中, AC5,AB11,BC4 5 ,四边形 DEGF为正方形, 其中 D ,E 在边 AC ,BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上, F ,G 在 AB 上,求正方形的边长CDEAFGB可编辑资料 - - - 欢迎下载