公平席位分配.docx

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1、公平的名额分配摘要：公平分配的问题是关乎国家大局，人民情绪的重要问题。多年以来, 我们都在努力寻找“真正的公平”，就此本文讨论了两种常用的分配方法和一种名 为dHondt方法，并结合人们公认的衡量公平分配的理想化原那么，对两种基本方 法进行深入剖析。对于10个名额（席位）的分配，我们先按三个宿舍学生人数比例分配得到 2： 3： 4,然后剩余的一个名额参照惯例分给比例中小数最大的A宿舍，这就是 常用且简单的比例加惯例分配法。当然假设按照Q值方法，就必须舍弃所谓惯例, 建立新的衡量指标不公平度，按此指标计算，那么多的一个名额应给C宿舍。 十个名额如此，十五个亦然。dHondt法，对于名额（席位）不

2、多的情况更易实施：只需将A,B,C三宿舍 人数依次除以自然数列，商数按名额取大值即可，直观简单。最小方差原那么是希望各单位每个席位代表的人数差异不要太大，特别地应该 与整个分配方案中平均每个席位所代表的人数P/N差异不要太大。模型简化后, 可直接用比例分配的方差大小表示差异大小，方差小，那么说明分配合理，反之， 那么是不合理。关键词：比例惯例不公平度 Q值方差。一、问题的重述我们身边时时刻刻都能遇到分配问题，大到一个国家的政策，小到你我家庭 中的琐事，任何一个处理不好，都可能引发意想不到的恶果。因此，公平分配就 显得尤为重要。现在我们某校学生要组织一个一定人数的委员会，各宿舍人数给定，总 人数

3、亦可知道。摆在我们面前有三种分配方案，我们需要做的是找到一种方案， 这个方案一方面满足委员会的要求，另一方面也让个宿舍成员满意。怎样做才既 能让委员会发挥已有的作用，又不失公平。这是个问题。二、模型假设与符号说明假设：1、学校近期没有学生转入或转走现象2、此A,B,C三宿舍人员不再变动（即没有搬入，搬出或互换）。3、此委员会需三个宿舍共同参与，且此三宿舍均想参与委员会 管理。4、此委员会中无职位差异。符号表示：比例法得到的整数nOi局部参与分配各方的人Pi数N分配名额总数P参与分配总人数di模型衡量指标参与分配的单位数m量初次分配后待定名m，额ni 各方最终分配名额qiqi向左取整-qiqi向

4、右取整+Z目标函数zO变量名、z01三、问题分析与模型建立有了以上的假设，我们可按下面的思路得到分配方案的结果模型一：第一步：按各宿舍占总人数比例，计算得到固定名额局部第二步：将比例法所得各数取小数局部比拟大小，剩余待定名额大者得。具体步骤如下：步骤一 计算 nOi=int(Pi*N/P)；步骤二 如果Pi*N/P全为整数，那么分别分配第i个单位nOi个席位，席位 分配完毕，退出；否那么执行步骤三；步骤三 计算di=Pi*N/P-nOi,并从大到小进行排序；步骤四 计算m=N-ZnOi,赋给di值最大的前nV个单位nOi+l个席位，赋给 其他单位nOi个席位，席位分配完毕。模型二：第一步同模型

5、一第二步：将比例法所得各数取其整数局部(即已定名额局部)，计算各个宿 舍Q值并比拟大小，同样剩余的一个名额赋给Q值较大者的。此时如果名额已 完毕，即可结束。否那么继续计算此时的Q值，比拟大小，将下一个名额赋给Q 值较大者。循环执行此过程，直到分配结束。具体步骤如下：步骤一、二同模型一；步骤三 计算di=Pi八2/(n0i+l)*n0i,并从大到小进行排序；步骤四将nOi+1分配给di最大的一方，继续执行步骤三，直到所有名额分 配完毕。模型三:对于dHondt法，那么直接按其要求，一次随自然数列求商，将所得商数从小 到大取前十个，分别统计各宿舍入围个数，即是最终委员会名额分配结果。(详 见附录)

6、模型四：最小方差原那么的资源(席位)公平分配整数规划模型：min Z=Z(P/N-Pi/ni)八2s.t. Zni=N(3)其中 ni为整数，i=l,2,.,m如何求解这一非线性规划？有用Hamilton!方法的，有将模型化为动态规 划求解的；在求解过程中有采用遗传算法，也有采用贪婪算法及其他算法等等。 但这些算法还是偏于繁复，计算量偏大，当N增大时算法的有效性受到质疑。 同时模型和算法也或多或少出现一些不太“良好”的性质，如：分配给某些单位的 席位名额ni过分偏离nOi；当席位总数N增加时，有时会出现某单位席位名额反 而减少的不合理状况。可以认为最小方差原那么是希望各单位每个席位代表的人数

7、差异不要太大,特别地应该与整个分配方案中平均每个席位所代表的人数P/N差 异不要太大。因而对模型的约束条件做进一步的合理限制，构成模型(4)：ni 为 int(Pi*N/P)或 int(Pi*N/P)+l, i=l,2，.，m即ni只能取nOi和nOi+1其中之一，如此可以防止出现“席位名额ni过分偏 离nOi”的不合理状况。在模型中可将目标函数Z改写为Z=E(P/N-Pi/n0i)A2+(P/N-Pi/(n0i+l)A2-(P/N-Pi/n0i)A2令zO=Z(P/N-Pi/nOi)八 2,zO 1 =X(P/N-Pi/(nOi+1) A2-(P/N-Pi/n0i) A2,于是Z=z0+z0

8、1, zO是一常数，要求Z最小也就是求zOl最小，所以基于最 小方差原那么的资源(席位)公平分配整数规划模型的求解过程可按如下步骤 进行：步骤一、二同模型一；步骤三 计算di=(P/N-Pi/(n0i+l)A2-(P/N-Pi/n0i)A2,并从小到大进行排序；步骤三 计算m=NZnOi,赋给di值最小的前nV个单位nOi+1个席位，赋 给其他单位nOi个席位，席位分配完毕。四、模型求解()比例加惯例:宿舍学生人 数学生人数比例（）10个名额分配15个名额分配比例分 酉己惯例分 酉己比例分 酉己惯例分 酉己A23523.52.3533.534B33333.33.3334.995C43243.2

9、4.3246.486总和100 010010101515（二）Q值法:宿舍学生人 数10个名额分配15个名额分配比例分配Q方 各值分配 结果比例分配各方Q 值方值各Q分配结 果A2352.35920423.53460246024B3333.33924034.99554436965C4324.32933156.48444344436总和100010101515（三）dHondt 法:宿舍学生人数10个名额分配15个名额分配423523E33335C43257总和10001015（四）最小方差法:宿舍学生人 数10个名额分配15个名额分配比例分 酉己各方di值分配结 果比例分 酉己各方di值分配结

10、 果A2352.35163.1923.53-73.364B3333.33159.5634.99-2705C4324.32120.9656.48-3.846总和100010101515五、模型分析与评价衡量公平分配的理想化原那么：原那么一：qi-=ni=qi+,i=l,2,m,即 ni 必取qi-,qi+二者之一。原那么二：ni （N, Pl,Pm） =ni（N+l9Pl5, Pm）, i=l, 2,即总席位增加时ni不应减少。“比例加惯例”的方法显然满足原那么一，但是很多时候它不满足原那么二；Q值 方法显然满足原那么二，但是可以举出例子说明它不满足原那么一。cTHondt方法对于名额（席位）较

11、少时，可以使用，效果也不错，但是一旦 N或m值较大，使用起来就会非常麻烦，运算量也较大，不宜使用。最小方差法，目的只是希望分配结果不要偏离既定目标太远，符合人们对于 分配问题的主观理想，是很不错的分配方法，而且用计算机编程很方便，分配结 果也比拟贴近人们预期，但对于小模型（如此题），笔算还是比拟繁琐的。很明显，在Q值和最小方差法的前两步，其实还是比例法，可见比例法在 分配领域的重要作用，其简单，高效，易于上手，方便使用。虽然简单往往隐藏 着缺陷，但是这些缺陷丝毫没有影响它的广泛应用。六、参考文献姜启源，谢金星.数学模型.高等教育出版社，2003 管理经济学案例七、附录dHondt法的具体目标选择如下:10人的委员 会12345A235117.578.358.75 B333166.511183.25 C43221614410886.415人的委员会12345678A235117.578.358.7547.039.1733.5729.38B333166.511183.2566.655.547.5741.63C43221614410886.47261.7154.0